1 第1课时 正切（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)

1　锐角三角函数 第1课时　正切 数学 九年级下册 北师版 练闯考 A A 2 增大 OF B 5m B A 知识点一：正切的概念 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A＝( ) A． eq \f(4,3) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(3,5) 2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝ eq \f(1,2) ，则BC的长是( ) A．2 B．8 C．2 eq \r(5) D．4 eq \r(5) 3．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tan α的值是___________． 【变式】若锐角α是正比例函数y＝－2x的图象与x轴的夹角，则tan α＝______． eq \f(1,2) 4．(教材P4随堂练习T1变式)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD是中线，且AD＝4，求tan ∠BAD的值． 解：∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∴BD＝ eq \r(AB2－AD2) ＝3，∴tan ∠BAD＝ eq \f(BD,AD) ＝ eq \f(3,4) 知识点二：正切与梯子的倾斜程度的关系 5．如图，CA表示墙面，OA表示地面，梯子OE和OF与地面所成的锐角分别为∠AOE和∠AOF，已知∠AOF>∠AOE. (1)求证：tan ∠AOF>tan ∠AOE； (2)锐角的正切值随角度的增大而_________(填“增大”“减小”或“不变”)； (3)梯子_________更陡(填“OE”或“OF”). 解：(1)证明：∵CA⊥AO，∴△FOA和△EOA均为直角三角形，∴tan ∠AOF＝ eq \f(AF,OA) ，tan ∠AOE＝ eq \f(AE,OA) .∵AF>AE，∴ eq \f(AF,OA) > eq \f(AE,OA) ，∴tan ∠AOF>tan ∠AOE 知识点三：坡度 6．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( ) A．5 eq \r(3) 米 B．6 eq \r(5) 米 C．12 eq \r(5) 米 D．24米 7．一个小球沿着坡度为1∶ eq \r(3) 的坡面向上前进了10 m，则此时小球上升的高度是___________． 8．如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC，若两斜坡的坡度均为i＝ eq \f(2,3) ，顶宽为3 m，路基高为4 m．求路基下底宽． 解：过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.在Rt△ABE中，i＝tan B＝ eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(2,3) .∵AE＝4 m，∴BE＝6 m，同理，CF＝6 m．易知四边形AEFD为矩形，∴EF＝AD＝3 m，∴BC＝BE＋EF＋CF＝15 (m) 9．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC的值为( ) A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(\r(3),3) D． eq \r(3) 10．如图，河堤的横断面为梯形，上底为4 m，高为6 m，斜坡AD的坡比为1∶3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为( ) A．96 m2 B．48 m2 C．192 m2 D．84 m2 11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan ∠OAP的值是_____________． eq \f(1,3) 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ eq \f(1,2) ∠BAC，则tan ∠BPC＝_______________． eq \f(4,3) 13．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶ eq \r(3) ，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，求斜坡AF的长度．(结果精确到0.01 m，参考数据： eq \r(3) ≈1.732， eq \r(17) ≈4.123) 解：∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶ eq \r(3) ，∴在Rt△DCE中，DE＝ eq \r(DC2＋CE2) ＝2DC＝10(m)，解得DC＝5 m．∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5 m．∵斜坡AF的坡度为i2＝1∶4，∴ eq \f(AB,BF) ＝ eq \f(1,4) ，∴BF＝4AB＝20(m)，∴在Rt△ABF中，AF＝ eq \r(AB2＋BF2) ＝5 eq \r(17) ≈20.62(m).故斜坡AF的长度约为20.62 m 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，tan A＝ eq \f(4,3) . 求：(1)DE，CD的长； (2)tan ∠DBC的值． 解：(1)∵在Rt△ADE中， eq \f(DE,AE) ＝tan A＝ eq \f(4,3) ，∴DE＝ eq \f(4,3) AE＝ eq \f(4,3) ×6＝8.又∵∠C＝90°，DE⊥AB，BD平分∠ABC，∴CD＝DE＝8 (2)∵AD＝ eq \r(AE2＋DE2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10，∴AC＝AD＋CD＝10＋8＝18.又∵在Rt△ABC中，tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(4,3) ，∴BC＝ eq \f(4,3) AC＝ eq \f(4,3) ×18＝24，∴tan ∠DBC＝ eq \f(DC,BC) ＝ eq \f(8,24) ＝ eq \f(1,3) 15．定义：如图，在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cot α，即cot α＝ eq \f(∠α的邻边,∠α的对边) ＝ eq \f(AC,BC) ，根据上述角的余切定义，解答下列问题： (1)若α＝30°，则cot α＝______________； (2)若tan A＝ eq \f(3,4) ，其中∠A为锐角，试求cot A的值． eq \r(3) 解：(2)∵tan A＝ eq \f(3,4) ，∴ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(3,4) .设BC＝3x，则AC＝4x，∴cot A＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(4x,3x) ＝ eq \f(4,3) $$