2024-2025学年苏科版数学八年级下册期中提升练2（矩形专练）

2024-2025学年苏科版数学八年级下册期中提升练2 （矩形专练） 【典型例题】 【例1】如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【例2】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A.对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6．则AB＝____． 【例4】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则________． 【例5】已知：如图，在中，，分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【举一反三】 【变式1】矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【变式2】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式3】如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________． 【变式4】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝______°． 【变式5】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________． 【变式6】如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【巩固练习】 1.如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 2.关于矩形的性质，下面说法错误的是（ ） A. 矩形的中点四边形是菱形 B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的两条对角线互相垂直平分 D. 两组对角分别相等且一组邻边也相等的四边形是正方形 3.如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点的对称点处，当时，则的长（   ） A． 或5 B．或 C．1或 D．5或 4.如图，在矩形中，，点E在上且，点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为（　　） A. B. 10 C. 20 D. 8 5.如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是 ． 6.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则________． 7.如图，在矩形中，，E为上一点，且，作交边于F，将沿折叠后点C恰好落在边上的G处，则长＝______． 8.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 9.如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB． （1）判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若点F是BC的中点，求AE的长． 10.在中，分别是的中点，连接 求证：四边形是矩形； 请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 11.如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 12.如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【例2】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A.对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 【答案】C 【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6．则AB＝____． 【答案】3 【例4】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则________． 【答案】30 【例5】已知：如图，在中，，分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 【举一反三】 【变式1】矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【变式2】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【变式3】如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________． 【答案】（答案不唯一） 【变式4】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝______°． 【答案】55 【变式5】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________． 【答案】 【变式6】如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 四边形是矩形， ． 【巩固练习】 1.如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.关于矩形的性质，下面说法错误的是（ ） A. 矩形的中点四边形是菱形 B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的两条对角线互相垂直平分 D. 两组对角分别相等且一组邻边也相等的四边形是正方形 【答案】D 3.如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点的对称点处，当时，则的长（   ） B． 或5 B．或 C．1或 D．5或 【答案】D 4.如图，在矩形中，，点E在上且，点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为（　　） A. B. 10 C. 20 D. 8 【答案】C 5.如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是 ． 【答案】12 6.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则________． 【答案】3 7.如图，在矩形中，，E为上一点，且，作交边于F，将沿折叠后点C恰好落在边上的G处，则长＝______． 【答案】 8.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 9.如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB． （1）判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若点F是BC的中点，求AE的长． 【答案】1）△DEF是等腰三角形 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90° ∴∠2＝∠3 ∵FE平分∠DFB ∴∠1＝∠2 ∴∠1＝∠3 ∴DE＝DF ∴△DEF是等腰三角形 （2）∵AB＝1，BC＝2 ∴CD＝1，AD＝2 ∵点F是BC的中点 ∴FC＝＝1 Rt△DCF中，∠C＝90° ∴DF＝ ∴DE＝DF＝ ∴AE＝AD－DE＝2－ 10.在中，分别是的中点，连接 求证：四边形是矩形； 请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）证明：分别是的中点， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形 连接交于点，作射线，射线即为所求． 11.如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，， ， 设，则， ，， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 四边形的面积为． 12.如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 【答案】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ，， 垂直平分，垂足为O， ，， 在和中， ， ， ， 又，， 四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长cm，则cm， 在中，cm， 由勾股定理得：， 解得：， cm， 四边形是菱形， ， ， ， 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 综上所述，a与b满足的数量关系式是或． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$