9.4 矩形、菱形、正方形 讲义　2022—2023学年苏科版数学八年级下册

第9章 中心对称图形——平行四边形 9.4 矩形、菱形、正方形 知识点一 概念： 1. 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 3. 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 知识点二 性质 1.矩形的性质 图形 性质 符号表示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC， 角 四个角都是直角 ∠ABC＝∠BCD＝ ∠CDA＝∠DAB＝90° 对角线 对角线互相平分且相等 OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD 对称性 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形 提示 （1）矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质. （3）矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线. 例1 如图9-4-1，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连接AF，CE。A D E F B C 图9-4-1 求证：（1）△BEC≌△DFA； （2）四边形AECF是平行四边形。 2.菱形的性质 图形 性质 符号表示 菱形ABCD 边 对边平行且相等 AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD＝AD＝BC， 角 对角相等 ∠ABC＝∠ADC, ∠BAD＝∠BCD 对角线 对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分对角 AC⊥BD,AO=CO,BO=DO, ∠1=∠2=∠5=∠6, ∠3=∠4=∠7=∠8 对称性 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形 拓展： 菱形对角线的应用：①菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，由勾股定理可知，菱形边长的平方等于两对角线的一半的平方和.②由于菱形的对角线互相垂直平分，所以许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中得以解决，因此要抓住这一有利条件.③由于菱形的四条边相等，故常常连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 提示 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.对于对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算 例2 如图9-4-3①所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ） A.50° B.60° C.70° D.80° 3．正方形的性质 图形 性质 符号表示 正方形ABCD 边 对边平行，四 条边都相等 AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD＝AD＝BC， 角 四个角都是直角 ∠ABC＝∠BCD＝ ∠CDA＝∠DAB＝90° 对角线 对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 AC＝BD,AC⊥BD，AO=CO＝BO=DO, ∠1=∠2=∠5=∠6＝ ∠3=∠4=∠7=∠8＝45° 对称性 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形 注意 （1）正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形； （2）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形的对角线与边的夹角是45° 例5 如图9-4-5所示，以△ABC的边AC，BC为一边分别向外作正方形ACDE和正方形BCFG，求证：AF=BD. 图9-4-5 知识点三 判定定理 1.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）三个角是直角的四边形是矩形． （3）对角线相等的平行四边形是矩形． （4）平行线间的距离：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离.两条平行线之间的距离处处相等。 例2 如图9-4-2所示，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形. 图9-4-2 2. 菱形的判定方法 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；