专题04 整式的乘除压轴大题（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题04 整式的乘除压轴大题 题型概览 题型01多项式乘法中的规律性问题 题型02多项式乘多项式与图形面积 题型03完全平分公式应用---配方法 题型04完全平方公式与图形面积 题型05完全平方公式---四大金刚 题型06三项完全平方的应用 多项式乘法中的规律性问题题型01 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）观察下列算式，探究并说明其中的规律：，，，， (1)请你写出一个具有类似结构的算式 ； (2)设满足上述规律的两个因数分别为，（，，，且n，a，b都是正整数）． ①正整数a，b满足的条件为 ； ②用所学的整式乘法说明上述规律中方法的正确性； (3)请你用文字语言表达规律： ． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键．本题主要考查规律型：数字的变化类，认真观察算式中存在的规律是解题的关键． （1）观察已知算式∶十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和，即可得出答案； （2）①按照(1)中的规律可知；②归纳总结得到的规律用n，a及b表示出来，根据多项式乘多项式的运算法则，左右两边化简后可得出左右两边相等，即可得出答案； （3）按照（1）中的规律即可得出答案； 【详解】（1）观察已知算式∶十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和， ， 故答案为∶ ． （2）①按照（1）中的规律可知 故答案为∶ ． ② ； （3）十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和． 多项式乘多项式与图形面积题型02 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图1和图2，其面积分别为． (1)请用含的式子分别表示； (2)当时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）分别把各部分面积相加即可； （2）把与相加，再把代入计算即可． 【详解】（1）， ； （2）当时， ． 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）很多代数原理都能用几何模型来解释．如果用来表示边长为a的正方形，其面积为．用来表示长和宽分别为b和a的长方形，其面积为ab，用来表示边长为b的正方形，其面积为，（b大于a） 那么，可以用如下图形解释： (1)你能用几何模型解释吗？______（请将几何模型画出来）； (2)试用几何模型分析并填空：______（请将几何模型画出来）． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据完全平方公式展开计算即可，画几何图形解释即可； （2）根据，画几何图形解释即可． 本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得， 故答案为：． 画图如下： ， （2）根据， 故答案为：， 画图如下： ． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米） (1)用含，的整式表示花坛的面积； (2)若，，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？ 【答案】(1)花坛的面积为平方米 (2)建花坛的总工程费为57500元 【分析】（1）用割补法，花坛面积等于一个大长方形的面积减去一个小长方形的面积即可； （2）将a和b的值代入（1）中的代数式，求出花坛的面积，再计算工程费即可． 【详解】（1）解：由图可知： 花坛面积 平方米． 答：花坛的面积为平方米． （2）当，时： （平方米）， ∴建花坛的总工程费为（元）， 答：建花坛的总工程费为57500元． 【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积，代数式求值，解题的关键是根据图形列出代数式，熟练掌握多项式的乘法运算法则和运算顺序． 5．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）某市有一块长 ，宽 的长方形地块，如图所示，城市规划部门计划在中间正方形地上修建泳池，其余部分（阴影）进行绿化，已知中间正方形的边长为    (1)绿化的面积是多少平方米?（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当 时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)2720平方米 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值： （1）绿化面积大长方形面积中间空白部分正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出对应的值． 【详解】（1）解： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）解：当，时， （平方米)． 答：绿化面积是平方米． 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某市有一块长方形地块，城市规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含a、b的代数式表示绿化面积； (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）根据题意可得地块面积：，雕像占地面积：，再根据绿化面积等于地块面积减去雕像占地面积，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得∶地块面积：，雕像占地面积： ∴绿化面积： 即绿化面积是平方米． （2）解∶当，时， ， 即当，时，绿化面积是平方米． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 完全平分公式应用---配方法题型03 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知的三边长a，b，c，且a，b满足，若的周长为偶数，求的周长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据题中所给方法利用完全平方公式把变形，进行求解a、b的值，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可； （2）把变形为，然后可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 的周长为偶数， ， 的周长为：； （2）解：， ， ， ， ，即， ， 综上的值为． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如，求代数式的最大值： ． 可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求围成的生物园的最大面积．    【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为；（3）． 【分析】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键． （1）依据题意，由配方法的意义得，是完全平方式，进而判断可以得解； （2）依据题意，由，再由平方数是非负数进而可以判断得解； （3）依据题意，设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，然后再表示出四边形的面积，结合x的取值范围进而可得围成的植 物园的最大面积． 【详解】解：（1）由题意得，是完全平方式． 故答案为：9； （2） 当时，代数式有最小值，最小值为． （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得： 当时，有最大值，最大值是50． 围成的植物园的最大面积是． 完全平方公式与图形面积题型04 9．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【方法介绍】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．在教科书第一章《整式的乘除》中，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地解释了整式乘法的法则．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 数学老师为各小组同学提供若干张大小形状完全相同的小长方形卡片，如图1，小长方形卡片的长记为a，宽记为b．各小组同学利用“数形结合”探究时，摆放卡片要求不能重叠．第一小组同学用4张小长方形卡片如图2摆放，构造出一个正方形；第二小组同学用5张小长方形卡片如图3摆放，构造出一个大长方形，两个小组联合提出下列问题，请回答： （1）图2中阴影部分的形状为 ； （2）求图3中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （3）若图2中阴影部分的面积为67，图3中阴影部分的面积为246，求每个小长方形卡片的面积． 【方法拓展】 在第一、二小组的带动下，第三小组同学用9张小长方形卡片如图4摆放，构造出一个更大的长方形，若图中左下角的阴影部分的面积为，右上角阴影部分的面积为，且． （4）求小长方形卡片的长a和宽b的值； （5）若将AB的长增加x，如图5，此时图中左下角的阴影部分增加的面积为，右上角阴影部分增加的面积为，请说明的值与x的值是否有关． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）28；（4），；（5）见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）由题意得，图2中阴影部分是边长为的正方形； （2）用最大的长方形面积减去5个小长方形卡片的面积即可得到答案； （3）根据题意得到，，再根据进行求解即可； （4）由题意得，， ，再由得到，解方程即可得到答案； （5）由题意得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，图2中阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：正方形； （2）图3中最大的长方形的长为，宽为，则其面积为， ∴图3中的阴影部分面积为； （3）由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴每个小长方形卡片的面积为28； （4）由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （5）由题意得，， ∴ ． 10．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2） ， 的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 11．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴ ． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 完全平方公式---四大金刚题型05 13．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如： 若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法， 解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）根据完全平方公式得出的值，根据完全平方公式变形得出，将代入即可求解． 【详解】（1）解：若，则，即， ∵， ∴； （2）解：由 ， 即， 若， ∴． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式及其变形． 由图可得，边长为的正方形面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积，据此式即可求解； 将完全平方公式变形成，将，代入即可求解； 设，，则长方形面积为，将和的值代入即可求解．． 【详解】（1）解：由图得：边长为的正方形面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， 即． （2）解：由得：， ， 又，， ． （3）解：设，， 即为， 则长方形面积为， ， 长方形面积为． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）我们将进行变形，如：等．根据以上变形解决下列问题： (1)已知，则____________； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)255 (3)10 【分析】（1）由完全平方公式变形即可求得结果； （2）利用换元法，设25－x＝a，x－10＝b，则a＋b＝15，ab＝－15，所求的算式即为，由变形即可求得结果； （3）设AC＝a，BC＝b，则AD＝a，BE＝b，ab=10，由S△DCE＝S梯形ABED－S△DAC－S△EBC =ab即可求得结果． 【详解】（1）由得： 故答案为：4 （2）令25－x＝a，x－10＝b，则a＋b＝15，ab＝－15． 所以（25－x）2＋（x－10）2＝ a2＋b2＝（a＋b）2－2ab   ＝152－2×（－15） ＝225＋30＝255． （3）设AC＝a，BC＝b，则AD＝a，BE＝b． 因为DA⊥AB，FB⊥AB， 所以S△DCE＝S梯形ABED－S△DAC－S△EBC    =ab． 所以S△DCE＝AC•BC＝10． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，掌握完全平方公式并能变形是关键，注意换元思想的应用． 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）[挑战题]数学活动课上，老师准备了如图①所示的长为，宽为的长方形纸片沿着长方形纸片内部的虚线剪开得到4个面积相等的小长方形，其中阴影部分为一个小正方形． (1)请你观察图形，写出之间的等量关系； (2)如图③，为两个大小不同的正方形，面积分别是和，已知面积之和为36，连接点A，F与边，若，求． 【答案】(1)； (2)16． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．解决问题的关键是观察几何图形之间的面积关系，找到等量关系． （1）根据大正方形面积-4个小长方形面积=阴影部分正方形的面积写出等式即可； （2）利用可求解． 【详解】（1）解：小正方形的边长为，因此面积为， ∵大正方形的面积为， 小长方形的面积为， ∴之间的等量关系为； （2）设大正方形的边长为m、小正方形的边长n， 则， 由得，， 即， ∴． 17．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．图1中阴影部分面积可表示为： 图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． (1)用两种不同方法表示图4 中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； (2)由(1)可得到一个关于 的等量关系式是 ； (3)若， ，求的值． 【知识迁移】 (4)如图，正方形 和正方形 的边长分别为，()，若 是的中点，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】（1）， （2） ；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积问题； （1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积等于长方形的面积，即可求解． （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据完全平方公式变形即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：方法方法2：， （2） （3）∵，， （4）阴影部分面积等于 ∴阴影部分面积等于 18．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）阅读材料： (1)如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形，请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系：_______． (2)若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： ①已知求的值． ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①4052；②51 【分析】本题考查的是完全平方公式几何背景和应用，解题的关键是掌握，，之间的等量关系． （1）根据正方形的是面积由两个小正方形面积加上两个长方形面积，即可求解； （2）利用，，之间的等量关系和平方差公式计算． 【详解】（1）解：根据正方形面积公式得：正方形的面积， 根据正方形的是由两个小正方形与两个长方形组合而成的，得正方形的面积， ∴， 故答案为：． （2）解：①设，，则，， ∴ ； ②设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即． 19．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【阅读理解】 “若x满足，求的值．” 解：设，， 则，， 所以． 【学以致用】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)若满足，求的值； 【问题解决】 (4)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是240，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】(1)880 (2)109 (3) (4)964 【分析】本题考查了完全平方公式，换元等知识，解题关键是灵活利用换元思想，熟练掌握完全平方公式． （1）根据阅读材料的方法，设，，则，而，根据，即可求解； （2）根据阅读材料的方法，设，，则，而，根据，即可求解； （3）设，，则，而，根据，即可求解； （4）由题意得，，，设，，，由长方形的面积是240，得，表示出，，，变形即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴． （2）设，， 则，， ∴． （3）设，， 则，， ∴， ∴， 则． （4）由题意得，，， 设，，， 长方形的面积是240， ， 四边形和都是正方形， ，， ， 同理，， ， 因此，图中阴影部分的面积964． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）读材料，解答下列问题： 若，求的值． 小明的解题方法： ，， ∴10． 小亮的解题方法： 设：， ，则 ， ∴． (1)任选材料中一种方法解答：若，求的值； (2)如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形中， 米， 米（用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2)， (3)平方米 【分析】本题综合考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）设，则，；根据即可求解； （2）根据、即可求解； （3）由题意得、，可得，根据种花的面积即可求解 【详解】（1）解：设， 则，， ∴ ∴； （2）解：由图可知：（米）； （米）； 故答案为：， （3）解：由题意得： 由（2）可得： ∵ ∴种花的面积(平方米) 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图． 这个图形的面积可以表示成：或， 这就验证了两数和的完全平方公式．    (1)类比解决： 如图，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为______． 则②的阴影面积表示为______． 由此可以得到的等式是______． (2)尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？ 如图，表示个的正方形，即：，B表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：、、就可以表示个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形． 由此可得：． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：（要求写出结论并构造图形）． (3)问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：______．（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 【答案】(1)， ， (2)，图见解析 (3) 【分析】（1）类比解决：如图：边长为，的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是，第二个图形的阴影部分的面积是，可以验证平方差公式； （2）尝试解决：如图，表示一个的正方形，、、表示个的正方形，、、、、表示个的正方形，而、、、、、、、、恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出； （3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，，进一步化简即可． 【详解】（1）解：图①的阴影部分的面积是， 图②的阴影部分的面积是， ， 故答案为：，，， （2）如图，表示个的正方形，即； 表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形， 因此：、、就可以表示个的正方形，即：； 与，与和可以表示个的正方形，即； 而整个图形恰好可以拼成一个的大正方形， 由此可得：；    （3）由上面表示几何图形的面积探究可知，， 又， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．      (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看做由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积，即可得到一个乘法公式___________． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积 列出等式即可； （2）①观察图形得出，，的关系，并用面积法进行证明即可； ②根据垂线段最短，过点A作于D，沿开沟，才能使沟最短，据此作出图形，运用①的结论求出的长，然后根据面积法求出长即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：①，，之间的数量关系是：，推理过程如下： 由题意可知：正方形的面积个三角形的面积， ， 正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积个三角形的面积， ； ②过点A作于D，    由①得： ∴米， ∵ ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了整式的有关运算，完全平方公式的几何意义，垂线段最短，三角形面积，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和完全平方公式． 23．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积．可以得到一个恒等式． （1）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个大正方形．根据图2，完成下列填空： ①用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ． ②由①可得到一个关于，，的等量关系式是 ． ③若，，则 ． 【类比迁移】 （2）万物复苏的春天，美丽校园中浅浅的绿意渲染出浓浓的生气，学校计划在如图3的阴影部分空地种些花，以淡淡的花香装点烈烈的校园书香，其中C是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分用来种花的面积为多少？ 【答案】（1）①；；②；③44；（2）8 【分析】本题考查了利用完全平方公式求图形面积，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）①可以直接算阴影部分面积或者大正方形减去四个小长方形面积，两种方法即可解答； ②根据阴影部分面积不变，列等式，即可解答； ③根据完全平方变形公式，即可解答； （2）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据可得，根据，可得，延长交于点，延长交于点，可得为正方形，利用面积差，用表示阴影部分面积，利用完全平方公式变形公式，即可解答． 【详解】（1）①直接算阴影部分面积可得方法1：； 大正方形减去四个小长方形面积可得方法2：， ②由①可得； ③解：∵，， ∴； （2）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，可得，， 如图，延长交于点，延长交于点， 可得四边形为正方形，且边长为， ， 根据完全平方公式， 阴影部分的面积为8． 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1 ；图2 ； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1）图1：，图2：；（2）；（3）；（4）13 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图形的阴影部分可直接进行求解； （2）根据图中所给阴影部分面积可直接进行求解； （3）设，则有，然后根据完全平方公式可进行求解； （4）由题意易得，然后根据整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图1可知满足的乘法公式为；由图2可知满足的乘法公式为； 故答案为，； （2）根据图形可知：图中阴影部分的面积为或者， ∴满足的关系式为； （3）由可设，则， ∴， ∵两正方形的面积和为20，即， ∴， ∴， ∴； （4）由题意可知：， ∴ ∵， ∴； 故答案为13． 三项完全平方的应用题型06 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式； （2）利用（1）中的等式变形后，直接代入求得答案即可； 【详解】（1）； （2）∵，， ∴； 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的乘除压轴大题 题型概览 题型01多项式乘法中的规律性问题 题型02多项式乘多项式与图形面积 题型03完全平分公式应用---配方法 题型04完全平方公式与图形面积 题型05完全平方公式---四大金刚 题型06三项完全平方的应用 多项式乘法中的规律性问题题型01 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）观察下列算式，探究并说明其中的规律：，，，， (1)请你写出一个具有类似结构的算式 ； (2)设满足上述规律的两个因数分别为，（，，，且n，a，b都是正整数）． ①正整数a，b满足的条件为 ； ②用所学的整式乘法说明上述规律中方法的正确性； (3)请你用文字语言表达规律： ． 多项式乘多项式与图形面积题型02 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图1和图2，其面积分别为． (1)请用含的式子分别表示； (2)当时，求的值． 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）很多代数原理都能用几何模型来解释．如果用来表示边长为a的正方形，其面积为．用来表示长和宽分别为b和a的长方形，其面积为ab，用来表示边长为b的正方形，其面积为，（b大于a） 那么，可以用如下图形解释： (1)你能用几何模型解释吗？______（请将几何模型画出来）； (2)试用几何模型分析并填空：______（请将几何模型画出来）． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米） (1)用含，的整式表示花坛的面积； (2)若，，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？ 5．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）某市有一块长 ，宽 的长方形地块，如图所示，城市规划部门计划在中间正方形地上修建泳池，其余部分（阴影）进行绿化，已知中间正方形的边长为    (1)绿化的面积是多少平方米?（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当 时的绿化面积． 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某市有一块长方形地块，城市规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含a、b的代数式表示绿化面积； (2)求出当，时的绿化面积． 完全平分公式应用---配方法题型03 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知的三边长a，b，c，且a，b满足，若的周长为偶数，求的周长； (2)已知，求的值． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如，求代数式的最大值： ． 可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求围成的生物园的最大面积．    完全平方公式与图形面积题型04 9．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【方法介绍】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．在教科书第一章《整式的乘除》中，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地解释了整式乘法的法则．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 数学老师为各小组同学提供若干张大小形状完全相同的小长方形卡片，如图1，小长方形卡片的长记为a，宽记为b．各小组同学利用“数形结合”探究时，摆放卡片要求不能重叠．第一小组同学用4张小长方形卡片如图2摆放，构造出一个正方形；第二小组同学用5张小长方形卡片如图3摆放，构造出一个大长方形，两个小组联合提出下列问题，请回答： （1）图2中阴影部分的形状为 ； （2）求图3中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （3）若图2中阴影部分的面积为67，图3中阴影部分的面积为246，求每个小长方形卡片的面积． 【方法拓展】 在第一、二小组的带动下，第三小组同学用9张小长方形卡片如图4摆放，构造出一个更大的长方形，若图中左下角的阴影部分的面积为，右上角阴影部分的面积为，且． （4）求小长方形卡片的长a和宽b的值； （5）若将AB的长增加x，如图5，此时图中左下角的阴影部分增加的面积为，右上角阴影部分增加的面积为，请说明的值与x的值是否有关． 10．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 11．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 完全平方公式---四大金刚题型05 13．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如： 若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法， 解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）我们将进行变形，如：等．根据以上变形解决下列问题： (1)已知，则____________； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）[挑战题]数学活动课上，老师准备了如图①所示的长为，宽为的长方形纸片沿着长方形纸片内部的虚线剪开得到4个面积相等的小长方形，其中阴影部分为一个小正方形． (1)请你观察图形，写出之间的等量关系； (2)如图③，为两个大小不同的正方形，面积分别是和，已知面积之和为36，连接点A，F与边，若，求． 17．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．图1中阴影部分面积可表示为： 图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． (1)用两种不同方法表示图4 中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； (2)由(1)可得到一个关于 的等量关系式是 ； (3)若， ，求的值． 【知识迁移】 (4)如图，正方形 和正方形 的边长分别为，()，若 是的中点，求图中的阴影部分面积的和． 18．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）阅读材料： (1)如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形，请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系：_______． (2)若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： ①已知求的值． ②已知，求的值． 19．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【阅读理解】 “若x满足，求的值．” 解：设，， 则，， 所以． 【学以致用】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)若满足，求的值； 【问题解决】 (4)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是240，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）读材料，解答下列问题： 若，求的值． 小明的解题方法： ，， ∴10． 小亮的解题方法： 设：， ，则 ， ∴． (1)任选材料中一种方法解答：若，求的值； (2)如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形中， 米， 米（用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留π） 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图． 这个图形的面积可以表示成：或， 这就验证了两数和的完全平方公式．    (1)类比解决： 如图，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为______． 则②的阴影面积表示为______． 由此可以得到的等式是______． (2)尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？ 如图，表示个的正方形，即：，B表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：、、就可以表示个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形． 由此可得：． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：（要求写出结论并构造图形）． (3)问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：______．（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．      (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看做由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积，即可得到一个乘法公式___________． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离． 23．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积．可以得到一个恒等式． （1）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个大正方形．根据图2，完成下列填空： ①用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ． ②由①可得到一个关于，，的等量关系式是 ． ③若，，则 ． 【类比迁移】 （2）万物复苏的春天，美丽校园中浅浅的绿意渲染出浓浓的生气，学校计划在如图3的阴影部分空地种些花，以淡淡的花香装点烈烈的校园书香，其中C是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分用来种花的面积为多少？ 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1 ；图2 ； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 三项完全平方的应用题型06 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$