难点专题07 新定义综合（含数列、函数、集合等新定义）（40题大题难题）-【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用）

【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用） 难点专题07 新定义综合 （含数列、函数、集合等新定义） （40题大题难题） 挑战新高考数学140+备考秘籍 新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力；以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。 题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。 压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式、多角度的提问，考查学生的数学能力. 新定义题型的特点是；通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 难度较难，可以预测2024年新高考大题压轴题命题方向将会以新定义类题型展开命题． 一、数列新定义问题 1. 考察对定义的理解。 2. 考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质. 3. 考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握. 二、函数新定义问题 涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答. 关于新定义题的思路有： 1. 找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； 2. 由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； 3. 将已知条件代入新定义的要素中； 4. 结合数学知识进行解答. 三、集合新定义问题 对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1. 紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2. 用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3. 涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 4. 认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题． 1．（2025·江西鹰潭·一模）设为正数，若以为首项的等比数列满足：，，也构成等比数列，则称为所对应的一个型数列. (1)若型数列存在并且唯一，求的值； (2)若，，其中，是一个型数列. （i）求的值； （ii）令，，探究，，之间的关系，并求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）， 【分析】（1）由等比数列的中项公式列出方程，再由数列存在并且唯一知，方程（*）必有一个实根为0，代入方程，即可求出的值； （2）（i）由，得到型数列，利用等比数列的中项公式列出方程，由，分析方程的根，即可求出的值； （ii）由（i），得，进而求得，，则由，即可得到，，之间的关系，令，则，可得，得，即可求得. 【详解】（1）设数列的公比为， 因为，，构成等比数列，则， 化简得：（*），又， 故方程（*）有两个不等的实根，再由数列存在并且唯一知，方程（*）必有一个实根为0， 将代入方程（*）得，检验当时，方程（*）可化为，解得或（舍）. （2）（i）因为，则为型数列， 则，，也成等比数列， 则有，即， 因式分解得：， 方程的两根为， 其正根为，满足， 令， 由，，，，知， 函数的三个零点分别在区间，，内， 所以方程满足的根只有， 所以. （ii）由（i）知，即， 由知，， 由知，， ， 即， 由，知，，， 令，则， ， 即，所以，即. 2．（2025·山东青岛·一模）若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”. (1)若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由； (2)若数列满足，，证明：数列“非零可表”； (3)证明：存在满足的数列“非零可表”. 【答案】(1)不“非零可表”，理由见解析； (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析 【分析】（1）举出反例，得到不“非零可表”； （2）构造法求出，满足①②，，，显然满足要求，当时，，，综上，满足③，假设存在，使得，推出矛盾，从而满足④，数列“非零可表”； （3）构造：，，其中为的前项和，满足①②③④，证明出结论. 【详解】（1）不“非零可表”，理由如下： 中，则当， ，不满足④，故不“非零可表”； （2），当时，， 则，所以，， 故，， 又，所以，， 时，，， 所以，满足①②， ，，显然满足要求， 当时， ， 显然，，综上，满足③， 假设存在，使得， 则，， 其中 ， 即，显然矛盾，故不存在，使得，满足④， 综上，数列“非零可表”； （3），定义为小于等于的最大整数， 取数列：，，其中为的前项和， 显然是严格递增的正整数列，满足①②， ，， 假设对，都有， 则， ， 故， 下面证明满足③④， 若存在正整数以及，，…，，有， 故， 所以满足④， 若整数，不妨设，则由，取， 则有， 取，则有，③成立， 综上，构造的数列：，，其中为的前项和，“非零可表”. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 3．（2025·全国·一模）若互不相交的非空集合满足：，且对任意，，则称是“集合对”. (1)写出一个集合对； (2)若，，证明：不存在集合对，使得，，； (3)若数列满足，，证明：当时，不存在集合对. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）写出集合对，再说明其满足题意即可； （2）记为时对应的不同的，再利用反证法即可证明； （3）当时，利用反证法即可说明不存在集合对，再利用数学归纳法证明其他情况时也不存在这个的集合对. 【详解】（1）为符合题意的一个集合对， 因为， 因为， 则对任意，， 故上述集合对满足题意. （2）记为时对应的不同的， 由题意得，， 易证，（若，则， 而，矛盾，故， 而，故， 同理记为时对应的不同的， 则，， 不妨，假设存在集合对使得， ，， 则，，而，故， 而，同上知，故， 而，故， 则假设不成立，则不存在集合对， 使得，，. （3）当时，，假设存在集合对， 由抽屉原理知其中一个集合至少有3个元素，不妨记（元素个数）， 若中有3个元素，记， 则且不属于， 即，， 而， 而，，故， 故假设不成立，时不存在集合对， 假设当时不存在集合对， 当时，不妨记元素个数， 由抽屉原理知元素个数， 记，（其中）， 则，， 故这个元素需分给， 而元素个数，故个数， 个数，可记，个数，可记， 易得，， 同理 ， 故，而， 故时，不存在集合对， 综上所述时，不存在集合对. 4．（2025·福建厦门·一模）若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对公差”． (1)若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2，且，求的值； (2)已知“绝对等差数列”满足，，且的“绝对公差”为1，记为的前n项和． （ⅰ）若，求； （ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在，使得． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）设，结合，分析与正负性可得答案； （2）（ⅰ）由题可得，然后由累加法可得，据此可得答案；（ⅱ）记，，由（ⅰ）可得若m为奇数，满足题意；若m为小于8的偶数，满足题意；当m为大于8的偶数时，通过构造数列可完成证明. 【详解】（1）设，则， 因为， 若与均为负数，则，解得，不合题意； 若与一正一负，则或-2，不合题意； 所以，， 所以，解得，故． （2）（ⅰ）由题 则 ， 又因为． 则，所以． （ⅱ）依题意，，记，其中， ①若m为奇数， 令，由（ⅰ）可知，， 因为， 所以，符合题意； 所以对任意给定的奇数m，存在满足的使得； ②若m为偶数， 因为， ， …… ，， 累加得 由（ⅰ）知，令'可得，． 若，则，符合题意，故下面只讨论的情况． 当k为大于1的奇数时，，，设此时的， 即，， 构造新数列，其中，，其余各项均不变 即， 记调整为后该数列的前m项和为， 则 ，结合及（ⅰ）可得 令，解得， 则对任意给定的偶数m，当，或时， 存在一个对应的满足，其中为不超过x的最大整数，， 综上所述，对任意给定的正整数m，总存在一个满足 【点睛】关键点睛：数列新定义问题关键为读懂题意，第二问（ⅰ）给第（ⅱ）证明提供了思路，证明较复杂问题时，可先证明较简单情况，然后在已证明的条件下做出适当调整，从而完成证明. 5．（2025·江西新余·一模）设，若，且不存在，使得依次成等差数列，则称为的简单集，元素个数最多的简单集称为的最大简单集，的最大简单集的元素个数记为. (1)写出4的所有最大简单集，并求； (2)设，证明：，并求； (3)设，若对任意，都有恒成立，证明：. 【答案】(1)或；. (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）由简单集及最大简单集定义可得； （2）先证明性质，再应用性质得，分别验证不满足，再找到使的集合则可求； （3）先证明，说明当时结论不成立；再利用数学归纳法证明当时，结论恒成立，由此得当时也成立. 【详解】（1）若，， 由简单集及最大简单集定义可知，4的最大简单集为或． 故. （2）设．若为的最大简单集， 且，则． 由于为的简单集，为的简单集， 由最大简单集的定义可知， 故． 因此当时，①， 下面求： 由于，由①可知． 其中中最多只能取三个数：或； 中最多也只能取三个数：或． 若，共四种情况：或或或. 在和中，成等差数列； 在和中，成等差数列； 以上情况均不满足定义，故． 若，则和恰有一个集合有三个数， 依据对称性，不妨设该集合为，三个数为或． 则中选两个数，且不能选7（否则成等差数列）， 故只有三种情况：5，6；5，8；6，8． 若选两数为，则在与中，为等差数列； 若选两数为，则在中，为等差数列； 在中，为等差数列； 若选两数为，则在与中，为等差数列； 均不满足定义，故． 又为简单集，故. （3）一方面，对，若是的最大简单集， 则必为的简单集，故②， 下面证明：当，不满足结论“对任意，恒成立”． 即证：当时，存在，使得. 证明：当时，由①②可知，， 又因为为简单集，所以， 故可知，当时，存在，满足且， 故当，不满足结论“对任意，恒成立”，得证. 另一方面，我们先求出. 对于，可知． 若，因为，所以在中最多选个数， 故必选，因此也不能选； 同理，在中最多选个数，故必选，因此也不能选； 又由选可知，不能选；选可知，不能选； 此时，最大简单集中不能出现，因此必选； 而中，成等差数列，故； 对于，由， 若，同理可知，必属于最大简单集， 此时，最大简单集中不能出现， 则在中需选个数，共种情况， 或或或， 其中分别包含等差数列；；；，故. 下面再证明： 当时，对任意，都有恒成立， 即证：对任意，都有恒成立， 下面用数学归纳法证明： （i）当时，由①及上面分析可知； 当时，； 当时，； 当时， （ii）假设当时，有， 则当时，由（1）可知. 故当时，命题也成立． 根据（i）（ii）可知，对任意，都有恒成立. 自然地，当时，，故对任意时，恒成立． 综上所述，若，则“”是“对任意，都有恒成立”的充要条件. 即：若对任意，都有恒成立，则有，得证. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是理解并应用定义挖掘以下性质并应用： （1）当时，； （2）对，若是的最大简单集，则必为的简单集，且. 6．（2025·河南·模拟预测）若函数满足：、，均有成立，则称函数为“绝对平方根函数”． (1)判断是否为绝对平方根函数，并说明理由； (2)证明：为绝对平方根函数． 【答案】(1)是绝对平方根函数，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据“绝对值平方根”函数的定义验证即可得出结论； （2）先证明结论：对，有，然后分三种情况：、、讨论，利用导数结合“绝对值平方根函数”的定义可证得结论成立. 【详解】（1）是绝对平方根函数．理由如下： 设、，则， 令，函数，所以，故， 即， 故函数是绝对平方根函数． （2）先证明一个结论：对，有． 令，则，易得时，时，， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 故（当且仅当时等号成立），所以， 且， 所以，即． 由，可知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论． 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有． 对任意的，设，则， 显然在上单调递增，且有 ， 且当，且时，， 所以． 所以在上存在零点，再结合在上单调递增， 得当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． ①当时，有； ②当时，由于，取． 当时，， ． 再根据在上单调递减，即知当时，都有； 综合①②可知对任意，都有，即． 根据和的任意性，取，就得到． 所以． 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论， 可得， 而根据的单调性，知或， 故一定有成立． 综上所述，对恒成立，故为绝对平方根函数． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 7．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立. 8．（2025·山东济宁·一模）已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由； (2)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围； (3)证明：函数为“切线支撑”函数． 【答案】(1)是； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先由降幂公式和辅助角公式得到，再结合函数新定义和正弦函数的取值可得； （2）先由导数分析单调性得到切点必在轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函数新定义构造函数，分析单调性得到极值； （3）由函数新定义结合导数的意义得到点处的切线方程，再结合余弦函数的取值证明. 【详解】（1）, 显然， 令，得，即， 所以是的极小值点，且为曲线得一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取. （2）当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的左侧； 所以切点必在轴的两侧. 不妨设，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为两点处的切线重合，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为. （3）因为，设， 所以点处的切线方程为和， 所以， 所以， 不妨取， 则，即， 所以，不妨取，则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造函数，利用单调性得到隐零点，再求极值. 9．（2025·辽宁大连·一模）已知是无穷数列，是数列的前n项和，对于，给出下列三个条件：①；②；③； (1)若，对任意的，数列是否恒满足条件②，并说明理由； (2)若，数列同时满足条件①②，且，求数列的通项公式； (3)若，数列同时满足条件①③，求证： 【答案】(1)不恒满足条件②，理由见解析 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）由，求得，令取特殊值验证即可说明； （2）由②可得，可推得数列是等差数列，求出和，即可求得的通项公式； （3）由已知，通过条件③可得，进行递推，即可证得数列为常数列. 【详解】（1），则数列是以为首项，2为公比的等比数列， ， 不防令， 则， ， 则， 所以数列不恒满足条件②. （2）若，由②得，即， 当时，， 两式相减得， 即，， 两式相减得，即，，又， 时，，即， 数列是等差数列， 设数列的公差为， 是无穷数列，， 或， 或. （3）当时，由③得， 即， 所以， 若，由①不妨设，则，则数列为常数列. 若，当时，，与矛盾. 当时，令， 则， ， ， 则， 各式相加得. 当时，，与矛盾. 综上所述，只有当，即，且时满足①③， 所以数列为常数列. 10．（2025·山东菏泽·一模）定义正方形数阵满足，其中i，. (1)若，求数阵所有项的和T； (2)若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； (3)若，，且，求的值为奇数的概率. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据确定的所有取值情况，通过分析的性质，发现以及，从而得出数阵所有项的和为. （2）对进行展开变形，再根据数阵的定义，证得结论成立. （3）先根据以及与具有相同奇偶性，得出为奇数时与一奇一偶，然后分为奇数和偶数两种情况，分别计算的取值情况数，进而计算出概率. 【详解】（1）若，则的所有取值情况为： 故数阵共99项，由知：， ， 所以. （2） 由知，，故， 所以也是数阵中的项. （3）若知：， 由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数， 即i与j必定一奇一偶， 当时，的取值情况有4种，故； 当时，的取值情况有8种，故； 当时，的取值情况有12种，故； 当且n为奇数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 当且n为偶数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 综上所述，当且n为奇数时，；当且n为偶数时，. 【点睛】方法点睛： 对于求满足特定条件的数阵所有项的和，先确定数阵中元素的组成情况，再通过分析元素之间的关系（如本题中的对称关系与）来简化求和过程. 证明一个式子是数阵中的项，通常对式子进行代数变形，使其符合数阵元素的定义形式，再结合数阵中参数的取值范围进行判断. 求概率问题，先分析事件发生的条件（如本题中为奇数时与的奇偶性要求），然后根据条件计算满足条件的情况数以及总情况数（利用排列组合知识），最后根据概率公式计算概率.当参数有不同取值情况（奇数或偶数）时，要进行分类讨论. 11．（2025·河南·模拟预测）对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列． (1)若数列是－数列，且，，直接写出，，的值； (2)若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性； (3)能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？ 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)能，理由见详解 【分析】（1）已知数列的递推公式以及数列的前两项和的值，直接将的值依次代入递推公式，通过前两项的值计算出后续项的值即可； （2）首先进行存在性证明，采用数学归纳法，先验证时的基础情况，然后假设时命题成立，对于，通过找到满足的最大正整数，将拆分为与的和，再利用归纳假设说明能表示成若干个的和，从而得出也能表示成若干个互不相邻互不相同的的和，完成归纳递推.然后进行唯一性证明，从假设的两种不同表示形式中最大的项入手，利用数列单调递增且增长速度的特点（即较大项大于前面若干项的和），通过反证法，若最大项不相等会推出矛盾，然后依次去掉最大项继续比较，从而证明表示形式的唯一性. （3）考虑将正整数集进行划分，构造多个集合.根据数列的定义，从一些较小的正整数开始，按照一定的规律，如先确定每个集合的前两项，再根据递推公式生成后续项，分别构建不同的－数列，使得这些数列所对应的集合两两交集为空，且它们的并集能够覆盖整个正整数集. 【详解】（1），. （2）采用数学归纳法证明， 当时，，显然存在， 假设当时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数，使得， 当时，设是满足的最大正整数，则， 因为（若，则与是满足的最大正整数矛盾）， 且由归纳假设可以表示成的形式， 其中互不相邻且与也不相邻（因为， 所以也可以表示成若干个互不相邻互不相同的的和； 再证明唯一性：假设， 不妨设， 设， 根据数列的增长性质，得单调递增且增长速度由递推关系决定， 从最大项开始分析，若，不妨设，则， 因为的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以， 去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得且； （3）首先构造集合，设是以1，2为首项的数列构成的集合， 根据－数列的递推公式， 则，，， ,， 以此类推可得， 然后构造集合，为了保证，从正整数集中去掉的元素后，取最小的正整数4作为的首项，再取一个不同于中元素的数作为第二项，不妨取6，则，，，，依此类推， 则是以4为首项的数列构成的集合，即， 再构造集合，在正整数集中去掉的元素，此时最小的正整数为7，取7作为的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则，，，,， 那么是以7为首项的数列构成的集合，即， 按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，再选取一个合适的数作为第二项，依据数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是从前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意都有， 因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以，在构造每个集合时，都是根据－数列的递推公式来生成集合内的元素，所以每个集合的数从小到大排列之后都是数列， 综上，能将正整数集拆成若干个集合（可以是无穷个集合），使得对于任意，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是－数列. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 12．（2025·贵州黔东南·模拟预测）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.已知集合，其中 (1)求集合的所有非空子集的“交替和”的总和； (2)集合的所有非空子集的“交替和”的总和构成数列，求数列的通项公式； (3)证明：，其中e是自然对数的底数. 【答案】(1)12； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出集合的所有非空子集，再求出“交替和”及总和. （2）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，进而求出数列的通项公式. （3）用导数证明，再利用此不等式，结合对数运算及等比数列前n项和公式推理得证. 【详解】（1）集合，其所有非空子集为：， 它们的“交替和”分别为，且， 所以集合的所有非空子集的“交替和”的总和为12. （2）集合，其非空子集共有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 第一类的“交替和”为3； 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3，如取，则， 集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为， 所以数列的通项公式为. （3）令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，即，因此， 于是 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：将集合分类，再将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和是求出通项公式的关键. 13．（2025·河北保定·模拟预测）记数阵，其中，设集合，其中且.现定义变换为“对于数阵中的每一行，若其中含有或，则这一行中的每一个数都乘；若其中没有且没有，则这行数字均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，以此类推，最后将经过变换得到”.记数阵中四个数的和为. (1)若先后经过和变换后得到的数阵，求的最大值； (2)若，求使取得最大值的集合的个数； (3)对于任意确定的一个数阵所有可能取值的和记为，当时，证明：且. 【答案】(1) (2)集合的个数为11. (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的新定义计算求解； （2）根据集合的新定义结合组合数计算求解； （3）根据集合的新定义结合乘法原理得出子集的个数计算求解； 【详解】（1）先后经过和变换后得到的数阵， 则或集合中一个元素为7，另一个元素为或8， 所以的最大值为. （2）根据变换的定义，要使的值最大，则每一行变符号偶数次， 当时，集合的个数为1； 当时，集合的个数为10. 综上可知，集合的个数为11. （3）证明：若，在的所有非空子集中，含有且不含的子 集共有个，经过变换后第一行均变为 含有且不含的子集共有个，经过变换后第一行均变为一； 同时含有和的子集共有个，经过变换后第一行仍为； 不含有且不含的子集共有个，经过变换后第一行仍为 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为. 若，在的所有非空子集中， 含有的子集共有个，经过变换后第一行均变为； 不含有的子集共有个，经过变换 后第一行仍为； 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为， 同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为， 所以的所有可能取值的和为. 又，， 则当时取得最大值， 当一时，， 根据12的分解情况可知，， 所以，且. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解和应用. 14．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知函数，，当的值能使在区间上取得最大值时，我们就称函数为“关于的界函数”. (1)若为“关于的界函数”，求实数的取值范围; (2)在数列中，已知，且，，判断当时，是不是“关于的界函数”？若是，请证明：当时，，的值不小于“关于的界函数”；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求证：. 【答案】(1)； (2)是，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据函数新定义，利用导数研究函数的单调性，进而求得其最大值，结合新定义即可求得实数的取值范围； （2）因为，所以由（1）可知，当时，为“关于的界函数”， 构造等比数列，可得，可得，再结合新定义即可证明; （3）由（2）知，当时，，有成立，所以，，再结合（1），时，上式取得最大值，进而得证. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以当时，，所以在区间上单调递减，无最值，不符合题意； 当时，且当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值. 故若为“关于的界函数”，则实数的取值范围是. （2）因为，所以由(1)可知，当时，为“关于的界函数”. 当时， 要证当时，，的值不小于“关于的界函数”，即证. 因为， 所以，则. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，即有.   检验知当时，结论也成立， 故.  所以. 所以由(*)式知，. 所以当时，，的值不小于“关于的界函数”. （3）证明：由（2）知，当时，，有成立， 所以 . 由(1)可知时，上式取得最大值， 所以. 所以. 所以原不等式成立. 【点睛】解题方法：1.要抓住函数新定义，结合函数的性质解决问题； 2.数列递推公式求通项公式时注意构造新数列时，对于首项的检验. 本题通过函数与数列知识的交汇，考查导数的应用、数列的递推、等比数列及不等式的证明等有关知识，着重考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力和计算能力. 15．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间. (1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间. 【答案】(1)存在， (2)答案见解析 【分析】（1）根据“正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程在区间内有实数解”，利用构造函数法来求得的取值范围. （2）根据“不等式的解集”求得的可能取值，再结合“等域区间”的定义求得正确答案. 【详解】（1）因为函数是上的减函数， 所以当时，，即 两式相减得，即， 代入得， 由，且得， 故关于a的方程在区间内有实数解， 记， 则，解得. （2） 由不等式的解集恰为，且为二次函数， 得，且. 所以，①，② 将代入①，， 整理得.又，a，， 从而或.所以或 当时，， 当时，，所以不是的等域区间. 当时，，. 当时，，所以不是的等域区间. 【点睛】函数中的新定义问题， “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，以不变应万变才是制胜法宝. 16．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． (1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； (2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程； (3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义求得切点，再分别求切线方程验证即可. （2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程. （3）利用“双重切线”的定义，分别设出对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得. 【详解】（1）的定义域为，求导得，直线的斜率为2， 令，解得，不妨设切点， 则点处的切线方程为，即， 点处的切线方程为，即， 所以直线是曲线的“双重切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）设对应的切点为，对应的切点为， 由，得，， 由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中， 由及余弦函数在上递增知，， 则， ， 因此，又，， 则，同理， 令，求导得， 则在上单调递增，显然，且， 函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有， 由，同理可得，而，因此， 于是，即有， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键点有两个：一是利用导数的几何意义求解切线的斜率；二是设切点并利用和切线方程得到之间的等式，进而消去一个未知数，构造函数利用导数的性质求得方程的零点. 17．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”． (1)设函数． （i）当时，求在上的最大“Ω点”； （ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； (2)设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由题意可得对，，当时，都有，即可结合导数研究单调性后取最大值点即可得； （ii）由题意可得在时恒成立，借助导数分、、及讨论函数单调性即可得； （2）分“Ω点”个数为，及大于等于进行讨论，结合，从而得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系. 【详解】（1）（i）当时，， 则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即对，，当时，都有， 即在上的最大“Ω点”为； （ii）由题意可得在时恒成立， ， 令，， 则， 当时，恒成立，故在上单调递减， 则， 故在上单调递减，此时，符合要求； 当时，令，则， 则当，即时，，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 有，不符合要求，故舍去； 当，即时，恒成立，故在上单调递减， 则，故在上单调递减， 此时，符合要求； 当，即时， 若，，若，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则若需恒成立，有，解得， 由，故， 由，故， 即当时，符合要求； 综上所述，； （2）若在D上的“Ω点”个数为，则，符合要求； 若在D上的“Ω点”个数为，令在D上的“Ω点”分别为、、、， 其中、，、、、， 若， 则若，由，则，即， 若，由题意，，， 故，即，又，故，符合要求； 若， 则，，，， 由，则， 若，即，则， 若，由题意，，且， 又，故，即，，，， 即有，即， 由，故， 又，故， 即在D上的“Ω点”个数不小于. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，结合定义得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系. 18．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. (1)判断是否为上的非负函数，并说明理由. (2)已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. (3)已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 【答案】(1)是上的非负函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过求导分析函数单调性可得，即可判断结论. （2）通过分析函数单调性得，根据得，即可证明结论. （3）通过分析函数单调性结合得，通过构造函数，利用放缩法可证明结论. 【详解】（1）是上的非负函数. 理由如下： 因为，，所以. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，故是上的非负函数. （2）由，，得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则. 因为为上的非负函数，所以，解得，则. 因为，所以为等差数列. （3）由，，得. 因为且，所以由得，，解得， 由得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 由为上的非负函数，得，则，. 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，则，从而在上恒成立. 令，得，则，从而在上恒成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是分析函数单调性得到，结合非负函数的定义得到，即可证明结论.解决第（3）问的关键是通过分析函数单调性得到，根据为上的非负函数得到，通过构造函数，利用放缩法证明结论. 19．（2025·河南洛阳·模拟预测）定义：设为数列，为定值，若对任意给的正数，总存在正整数，使得当时，都有，则称数列收敛于，定值称为数列的极限，并记作，读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”．例如，设，对任意给的正数，取为比大的正整数，有，可得当时，有，可得．已知数列满足，且当'时，． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)求和． 【答案】(1) (2)0 (3)0，0 【分析】（1）根据条件得到方程组，求出，由可得，的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项也是公差为2的等差数列，从而求出通项公式； （2）取为比大的正整数，有，从而得到； （3）当时，，，故，由题意得到，对任意给定的正数，总存在正整数，当时，都有，有，取为比大的正整数，取正整数且，当时， ，可得． 【详解】（1）中，取，有， 又，联立方程，解得， 当时，由及，两式作差得， 可得的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项也是公差为2的等差数列， 可得， ，可得， 故数列的通项公式为； （2）对任意给的正数，取为比大的正整数，有， 可得当时，有，可得； （3）当时，由， 有， 有， 对任意给的正数，取为比大的正整数，有， 可得当时，有，可得， 由，可得对任意给定的正数，总存在正整数，当时，都有， 有 ， 又由对任意给的正数，取为比大的正整数， 有，可得当时，有， 取正整数且，当时， ， 有，可得． 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 20．（2025·广东深圳·一模）若数列满足.定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为项为1，且对任意项，中的－1的个数不少于1的个数．当时，满足上述定义的数列称为规范数列．记表示“广义规范数列”的个数. (1)若既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有的通项公式； (2)求；进一步证明：当时，； (3)当且时，记表示项数列中符合广义规范数列的概率，求证：． （提示：） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出公比，求出首项，分为奇数和偶数即可求解； （2）对递推关系进行分析，求解，递推计算，证明递推式（当）即可求解； （3）求出，求出，根据单调性和数值计算即可求解. 【详解】（1）规范数列要求，即数列中-1和1的数量相等，均为项， 等比数列的公比必须使得所有项， 因此公比只能是-1或1， 若公比，则所有项均为首项的值， 但若，则数列全为1， 此时-1的数量为0，与1矛盾， 同理，若，则数列全为-1， 此时1的数量为0，亦矛盾，因此公比不满足条件， 若公比，则数列为交替数列， 由于规范数列要求-1和1的数量相等，总项数为， 故，即， 这与规范数列定义一致，接下来需验证前缀条件：对任意，前项中-1的个数不少于1的个数， 若首项，则数列为， 此时前1项中1的个数为，的个数为0， 不满足前缀条件，因此首项必须为-1， 即，数列为， 当为奇数时，前项中有个-1和个1， 显然-1的个数多于1，当为偶数时， 前项中有个-1和个1，满足-1的个数不少于1的个数， 因此，唯一满足条件的等比数列为， 进一步验证总项数时和的数量均为， 符合规范数列定义； （2）当时，若第一个位置为-1， 则剩余个-1和2个1，此时广义规范数列的数目为， 若第一个位置为1，则剩余个-1和1个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数， 这种情况等价于的广义规范数列，其数目为， 因此，递推关系为， 当时，数列中有个-1和1个1， 且每个前缀中-1的个数不少于1的个数， 此时1必须放在第2到第位中的任意一个位置， 共有种选择，因此， 初始条件为（规范数列情况）， 因为， 所以， 若第一个位置为-1，则剩余个-1和个1， 对应数目为，若第一个位置为1， 则剩余个-1和个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数， 这种情况等价于的广义规范数列， 对应数目为，由于， 上述两种情况互斥且穷尽所有可能，故递推式成立， 综上，当时，广义规范数列的个数为， 且递推关系（当）得证； （3）当时，广义规范数列的个数满足递推式， ， 其中， ，， ，， ， 因此概率为， 广义规范数列的数目可表示为， ， ，因为， 所以 此不等式恒不成立，说明随增大而递增， 因此，最大概率出现在最小时， ， 当时，， 当时，通过数值验证严格递减， 故命题成立. 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于求解，递推计算，证明递推式（当）. 21．（2025·河北秦皇岛·一模）若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和. (1)若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到. (2)若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值. (3)若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有. 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析. 【分析】(1)欲使，则只需找寻的最大值，故而选择即可； (2)因，故而数列不可能仅满足，因此先解决特殊情况，即数列仅满足，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生； (3)采用数学归纳法即可. 【详解】（1）因数列为“2阶归化数列”，则， 则或， 因且欲使尽可能的大，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，此时， 故，且等号在时取到. （2）因数列为“16阶归化数列”， 则， 则或， 若满足，则数列为递增数列； 若，则，则，则数列为周期数列， 即奇数项为，偶数项为. ①若对任意恒成立，则， 此时. ②存在为偶数且，使得，则第项之后的项 ， 其中，，值为或， 故. 存在为奇数且，使得，则 ， 其中，值为或， 故. 则若存在使得，则将变大或变小， 综上，的值只可能为. （3）因正项数列为“阶归化数列”，则，即， 现用数学归纳法证明：对于任意的，均有. 因，则 假设当时有， 则当时有， 故对于任意的，均有. 【点睛】关键点点睛： (1)抓住关键点，故而探寻的最大值； (2)由已知信息抓住关键点，数列不可能仅满足，因此考虑是否可以仅满足，得出满足题意的答案，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生； (3)正面证明无法说明任意性，故而采用数学归纳法证明. 22．（2025·浙江·一模）设，对于数列，，…，，若对任意，与均为非负数或者均为负数，则称数列，，…，为强数列. (1)判断数列，，，，与数列，，，，分别是否为强数列； (2)若存在公比为负数的等比数列，，…，，使得它为强数列，求公比q的取值范围； (3)设，，…，为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列，，…，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求两个数列中所有三角函数值，然后根据强数列的定义判断即可. （2）思路一：利用等比数列求和公式，借助，分别得出，，从而得出，即，验证后，可得解；思路二：借助局部分析，得出与，从而得出，验证后，可得解； （3）注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小，取数列中绝对值最小的一项，若，由（2）知矛盾，得出不为首项和末项，再取，，三项,进行与讨论即可得证. 【详解】（1）数列0，1，0，，0，前两项和为1，后三项和为，不是强数列； 数列1，0，，0，1，满足第一项、前两项、前三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均非负，是强数列. （2）（方法一：等比数列求和）设首项，公比， 依题意，，即， 故，即，故. 另一方面，，即， 故，即，故. 于是，，又1，，1，…，1，，1满足条件，综上，. （方法二：局部分析）设首项，公比， 依题意，，∴， 即， 又∵，∴ 即， 故，即，故，. 同理，， 故，， 于是，又1，，1，…，1，，1满足条件，综上，. （3）注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小，取数列中绝对值最小的一项， （若最小的同时存在正项和负项，取负项）. 如果， ①若，则，，故，与（2）中矛盾； ②若，则，，故，由（2）知矛盾， 于是不为首项，同理不为末项，我们取，，三项. （ⅰ）若，则，，且，，故，，，，构成强数列； （ⅱ）若，则，，且，，故，，，，构成强数列. 23．（2025·陕西渭南·二模）若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”. (1)设，证明：数列是数列的“分割数列”； (2)设是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由； (3)设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围. （附：当时，若，则） 【答案】(1)证明见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）由新定义，可得，求得，即可得证； （2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断； （3）由题意，可得，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到范围． 【详解】（1）若是递增数列，且， 则， ，且，即. ， ，即， 对任意的，存在，使得. 是的“分割数列”. （2）. 假设是的“分割数列”，则对任意的，存在，使得， ，即， 当时，， 易知在上单调递增， ， 满足条件的正整数不存在， 不是的“分割数列”. （3）是的“分割数列”，， 是递增数列， . ，即， 即， 即， ， 记，则. 下面分析的取值范围. 因为，单调递减，单调递增， 所以为减函数，且时，， . （i）当时，， ， 总存在满足条件，符合题意. （ii）当时，，根据函数零点存在定理， 并结合的单调性可知，存在唯一正整数，使得， 此时有，则， 即，显然不存在满足条件的正整数. 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是对新定义“分割数列”的理解和运用. 24．（2025·山东烟台·一模）设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且. (1)若数列，求数列； (2)若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 【答案】(1)； (2)（i）3；（ii）的所有可能取值为且. 【分析】（1）根据数列的定义，依次求出，进而确定； （2）（i）注意，各不相同，有，依此研究在各不同情况下的周期，即可得最小正周期；（ii）讨论的奇偶性，注意为奇数情况下证明时，即可得结论. 【详解】（1）由，对于，则， 同理，， 所以，对于，则， 同理，， 所以，依上的过程，易知； （2）（i）若，，则，记， 若，，则，记， 若，，则，记， 令，各不相同， 则， 若，则，，，显然，即是周期； 若，则，，，显然，即是周期； 若，则，即是周期；（注意为正整数）， 综上，对任意，为数列组周期，最小正周期是3； （ii）当为偶数，不妨设，则，为正整数， 此时不存在正整数，使得数列与为同一数列，即数列组不存在周期； 当为奇数，由的每一项均为中元素，所以至多有个， 对于给定的，总存在，，使得， 下证：若时，， 事实上，设表示除以的余数， 由数列到的变换结果，知，， 不妨设，， 由，则，， 所以， 即， 结合为奇数，，，可得，则， 同理可证：对任意，均有，所以， 以此类推，有，，， 所以，对于任意均存在整数，使得， 在变化时，所有的最小公倍数，即为数列组的一个周期， 综上，数列组均存在周期时，的所有可能取值为且. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问，注意，各不相同，有，二小问，讨论的奇偶性，其中为奇数的情况下证明时，为关键. 25．（2025·广东·一模）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． (1)求和的值； (2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； (3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据交错数列的概念列举出所有情况可得结果. （2）构造数列，则，分析可得对于每一个都有且仅有一个与之对应，由此可证明结论. （3）分析可得，累加可得，由此可得结果. 【详解】（1）当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此； 当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此． （2）设数列是取自集合的交错数列， 因为且是奇数，所以， 构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应， 所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为． （3）设数列是取自集合的交错数列， 由（2）得，当时，所有交错数列的个数为， 当时，若，则仅有一个交错数列； 若，构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应， 又因为，所以数列的所有交错数列的个数为， 综上所述，． 当时，由累加得， 因为，所以， 由及（1）得， 显然单调递增， 因为， 所以， 所以使得成立的的最小值为． 26．（2025·新疆喀什·二模）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”． (1)已知等比数列的前n项和为，且，证明：数列为“数列”，并求出其通项公式； (2)已知等差数列满足=15，探究数列中是否存在由某些项构成的数列为“数列”？若存在，写出一个“数列”；若不存在，请说明理由； (3)已知等差数列的通项公式为，设m为正整数，若存在“数列”，对任意正整数k，当时，都有成立，求m 的最大值． 【答案】(1) (2)存在“数列”为 (3)5 【分析】（1）根据已知条件求出首项和公比即可； （2）根据已知条件求出数列的通项公式，即可求解； （3）根据已知条件得到对恒成立，时可单独得出的范围；当，两边取对数可得，对有解，即，构造，利用导数研究单调性求得相应最值，然后研究上述关于的不等式有解的必要条件，即成立的整数的取值范围，得到正整数最大为5时的范围，进一步验证此处得出的的范围满足时得到的的范围的要求，进而求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，则，解得（舍）或， 若，则与不符，所以， 所以，解得，则， 所以数列为“σ− 数列”， 通项公式为； （2）设等差数列的公差为，，所以， 因为，所以，所以， 则， 因为， 所以数列中存在由某些项构成的数列为“数列”为； （3）设的公比为， 存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立， 当时，，当时，， 当，两边取对数可得对有解， 即， 令，则， 当时，，此时递减，当时，， 令，则， 令，则， 当时，，为单调递减函数，， 即，在上单调递减， 即时，，所以，其中， 下面求解不等式， 化简，得， 令，则， 由得，进而，在上单调递减， 又由于， ， 故使得的最大整数，此时， 又因为， 所以当时，满足题意， 综上所述，满足题意的实数的最大值为5. 27．（2025·山西·一模）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数，则称数列具有“性质”.已知项数为的数列的所有项之和为，且数列具有“性质”. (1)若，数列具有“性质2”，且，，写出的所有可能值； (2)若数列具有“性质2”，且，，证明：“”是“（）”的充要条件； (3)若数列具有“性质”，其中为奇数，，，，证明：或. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义计算的值，列出所有符合要求的数列，即可得到结果. （2）从充分性和必要性两个方面证明可得结论成立. （3）令，则，通过对数据的分析可得4整除，由此可证明结论. 【详解】（1）根据定义，有，所以或3. 由得或5. 因此有如下三种情况： 若为，此时， 若为，此时， 若为，此时. 综上,的所有可能值为. （2）必要性：因为，， 所以，故数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以，必要性成立. 充分性：因为，，所以，，…，， 累加可得，，即， 因为，所以上述不等式的每个等号都取到， 所以，所以，充分性成立. 综上所述，“”是“”的充要条件. （3）令，由题意得，. 因为，，，…，， 所以 . 因为，且为奇数，所以为偶数， 所以为偶数. 所以要使，必须使为偶数，即4整除， 因为中有一个奇数和一个偶数，所以中有一个是的倍数，故或. 当时， 比如，，，或，，时，有，； 当时， 比如，，，， 或，，，，有，. 当或时，或，不能被4整除，. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 28．（2025·北京丰台·一模）已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. (1)若，写出数列的自身子数列的前4项； (2)证明：； (3)若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 【答案】(1)1，5，9，13； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）由自身子数列定义即可求； （2）由题意可得，设，即可证明，进而命题得证； （3）（i）根据等差数列的通项公式及题意可得，进而得到，进而命题得证； （ii）分别假设存在，使和成立，分别推出矛盾，进而说明，设，由定义求出，从而得出通项公式. 【详解】（1）因为 所以数列的自身子数列为， 所以前4项为：， 即数列的自身子数列的前4项为1，5，9，13. （2）因为数列是递增数列且各项均为正整数，于是， 所以， 设，则， 所以. （3）（i）由题得，， 又及是递增数列，得， 即， 即， 由于对任意正整数均成立，则，否则矛盾. 所以. （ii）由， 若存在，使得， 设， 不妨设，有， 则， 又， 因此与矛盾， 所以对任意，都有. 若存在，使得， 设， 不妨设，有， 则， 又， 因此与矛盾， 所以对任意，都有， 综上，对任意，都有. 设， 则数列是公差为的等差数列，， 又， 因此，又， 所以. 29．（2025·云南·一模）定义数列的 “衍生数列”如下：. (1)若，求的值. (2)已知是首项为，公比为的等比数列，求的通项公式. (3)设是有界数列，即存在，使得对任意成立.证明：数列收敛. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据及，代入即可求解； （2）利用了的幂级数展开，令即可求解； （3）根据，则.根据柯西收敛准则即可证明. 【详解】（1）当时，. （2）由题知，则. 考虑幂级数，令，（这里利用了的幂级数展开）. （3）因为，则. 对于，其收敛（因为，去掉有限项不影响收敛性）. 由柯西收敛准则，对于任意，存在，当（不妨设）时，，所以收敛. 30．（2025·安徽池州·二模）设正项数列，如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合（其中）. (1)若，求； (2)若，且，证明：； (3)若中存在使得，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“时刻”的概念可得，，由此可得结果. （2）根据题意可得，由得，由此可证明结论. （3）记，可证明，即证明结论. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，. （2）由题意知， 即，所以， 由得，所以，所以，即. （3）因为存在使得，所以， 记， 显然，且对任意的正整数，即， 又因为，所以，所以，所以. 31．（2025·江西·模拟预测）设和是整数数列，若对于任意，都有.，我们就称数列和为一组耦合数列. (1)若数列和为一组耦合数列，且，都有，且，求数列的通项公式； (2)若数列和为一组耦合数列，证明：； (3)若数列和为一组耦合数列，探究是否存在实数，使得对于某个，从，，，中任取一个数，这个数是的概率大于，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）利用给定条件化简得到或，再结合求解通项公式即可. （2）利用给定定义对进行变形，证明不等式即可. （3）利用给定定义得到到中至少有个等于，再求解概率，证明结论即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 即或.又，且， 故，即的通项公式为. （2）因为， 所以 . （3）由（2）知为不严格单调递减数列， 又和是整数数列，则， 使得对于某个，，有， 此时， ，故，， 取此，则. 令，则到中至少有个等于， 即从，，，中任取一个数，这个数是的概率为，故存在实数，使得对于某个， 从，，，中任取一个数，这个数是的概率大于. 32．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数. (1)判断4和6是否为可分数，并说明理由； (2)求小于81的最大可分数； (3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)不是可分数；是可分数 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中新定义，举例说明即可得解； （2）利用题中新定义，结合等差数列的性质，列出满足的集合，从而得解； （3）根据题中新定义，分类讨论、与三种情况，分析得是等比数列，进而求得，再利用分组求和法即可得证. 【详解】（1）令，①，； ②，；③，， 综上所述，不是可分数， 令，，由，， 则是可分数. （2）由，且，则令， 由，且， 则是小于最大的可分数. （3）设偶数为可分数，则存在使得， 由可知二元子集中两元素和的最大值为， 于是集合中所有大于等于的整数所在二元子集中两元素之和均为， 于是必定与在同一个二元子集中， 必定与在同一个二元子集中， 必定与在同一个二元子集中， 若，由可知不属于集合， 故无法对进行分组，此时不是可分数； 若，则分组之后还剩下大于等于的整数， 此时不是可分数； 若，则分组之后还剩下， 因为，则是可分数等价于也是可分数， 若，则可将划分成以下各组：， 每组中两元素之和均为，因此此时是可分数， 由于小于的可分数的个数为，则， 又小于3的可分数只能为2，则，于是， 故是首项为，公比为2的等比数列， 则，于是， 又， 因此. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 33．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知集合，若存在数阵满足： ①； ②. 则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”. (1)已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值： (2)若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)不是“好集合”； 是“好集合”，且满足,,,,的好数阵有四个：；；；． 【分析】（1）直接根据新定义解出未知量的值； （2）先证是不同于的“好数阵”，再证、，列举两个“好数阵”，即可证明； （3）假设为“好集合”，根据新定义可得，证明不是偶数即可求解. 【详解】（1）由“好数阵”的定义， 知，，，,,,,4,5,， 故，，，,,，进一步得到，， 从而，，，． （2）如果是一个“好数阵”， 则，. 从而， . 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 所以数阵和的第1行第2列的数不相等，故是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为S，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 即，从而是满射，由是有限集，知也是单射，故是一一对应. 对于“好数阵”， 已证数阵和是不同的数阵， 故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则； 如果，则.所以，当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. （3）设是集合的一个“好数阵”， 由题意得；， 相加得：， 即， 当时，，与矛盾；所以不是“好集合”． 当时，，若,,,,， 因为,,,,，,,,,， 所以,,,,只有以下两种可能：,5,9,8,和,5,9,7,， （i）若,,,,,5,9,8,，则,,,,,2,4,6,， 使的只有，使的有两种可能：，或， 情形一：时，只有，，，可得； 情形二：时，只有，，，可得； （ii）若,,,,,5,9,7,，则,,,,,2,3,6,， 使的只有，使的有两种可能：，或， 情形一：时，只有，，，可得， 情形二：时，只有，，，可得， 综上，不是“好集合”； 是“好集合”，且满足,,,,的好数阵有四个： ；；；． 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 34．（2025·广东茂名·一模）已知数列，满足：为等比数列，，且. (1)求； (2)求集合中所有元素的和； (3)若集合中存在个不同元素，使得，则称为类集合.试判断是否为类集合.若是，求出所有的值；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用已知条件求出、，结合数列为等比数列即可求，结合已知条件利用赋值作差求出，得到数列为等差数列，即可求出； （2）根据已知条件，确定集合中元素的情况，分成集合、集合两种情况，分析判断除去两集合中的重复元素，分组求和减去重复元素的和即可求解； （3）按照类集合的定义，分、、三种情况分别判断即可. 【详解】（1）根据题意可得：，因为，代入上式解得， 又因为，因为，，，解得， 因为为等比数列，所以的公比为， 所以， 所以， 即：， 当时，， 两式相减得：， 化简得：，整理得：， 所以是公差为的等差数列，所以. （2）因为， 整理得： 记集合的全体元素的和为， 集合，为首项为，公比的等比数列， 所有元素的和为， 集合，为首项为，公差为的等差数列， ，所有元素的和为， 集合的所有元素的和为，则有， 对于数列， 当时， 是数列中的项， 当时，，不是数列中的项， 所以，其中 所以， 即（其中表示不超过实数的最大整数）， 因为为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以. （3）， 当，时， 是的整数倍， 故一定不是数列中的项，即， 当时， 不是数列中的项， 即， 当时， 是数列中的项， 即， 综上，是类集合，. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于理解类集合的定义，按照定义的条件去判断求证即可. 35．（2025·浙江·模拟预测）已知是给定的正整数，设是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合：①定义域为；②；③，，其中，.对给定的整数，（其中），记. (1)当时，直接写出集合和（无需说明推导过程）； (2)若且不是3的倍数，证明：； (3)从集合中随机取出一个函数，证明：对任意，随机事件“”发生的概率都不超过. 【答案】(1)；； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据定义，分类讨论即可； （2）分和讨论即可； （3）根据条件概率公式得，然后再计算和即可. 【详解】（1）当时，，若是，则， （i）当，时， 条件①为的定义域为，条件②为， 条件③当时，， （ii）当，时， 条件①为的定义域为，条件②为， 条件③当时，， （iii）当，时， 条件①为的定义域为，条件②为， 条件③当时，， 若取当时，，则， 则此时，满足， 若取当时，，则， 则此时，不满足，舍去； （iv）当，时， 条件①为的定义域为，条件②为， 条件③当时，， 若取当时，，则， 则此时，不满足， 若取当时，，则， 则此时，不满足，舍去； 综上，完整的 则； 同理，当时，，若是，则， 依然得到上述（i），（ii）的结果， 讨论（iii）的条件③时，若最终，不满足，舍去； 若最终，满足； 此时，完整的； 讨论（iv）的条件③时，若最终，满足； 若最终，不满足； 此时，完整的； 综上，. 综上所述，，. （2）若，则所求证结论显然成立； 若，则对任意的， 由题意得且， 则． 设中有个等于-1，有个等于2， 则． 因此 所以若不是3的倍数则即． （3）记＂从集合中随机取出一个函数属于＂为事件，则所求概率记为， 则. 下面计算： 由题意得，集合中共有个不同函数， 设中有个等于，有个等于2，则． 解方程组得． 由于， 故当不能被3整除或时或时，上述方程组无解，此时； 当能被3整除且时，方程组有解，此时符合题意的函数共有个，因此． 下面计算： 对函数，若它也满足，则， 而． 因此，三者中有一个等于2，两个等于，所以共有种可能． 因此． 因此 由前面分析可知当不能被3整除或时或时，成立； 当能被3整除且时，． 由于，因此， 所以． 综上所述，从集合中随机取出一个函数， 它既属于又属于的概率不超过． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分空集和非空讨论. 36．（2025·江西新余·模拟预测）记一个由实数构成的有行列的数表并称为阶数表（），表示数表中第行第列的数字.对于，，我们规定加法：.若对于，，我们就称为“均分数表”，为其“均分值”. (1)直接判断数表和是否为均分数表. (2)设是均分值相同的阶均分数表，均是某类阶均分数表的集合，其中中数表的均分值为0且有且仅有由某不固定的两行两列所交的四个数字非零；中数表的每行每列均有且仅有1个数字非零. （ⅰ）计算：，并证明：一定能通过加上有限个中的元素变为； （ⅱ）证明：一定能表为中有限个元素相加. 【答案】(1)是均分数表，不是均分数表，理由见解析 (2)（ⅰ），证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）中，A为均分数表；而中，不是均分数表； （2）（ⅰ）利用定义进行加法法则得到，先加上一系列数表，把第1行元素变为中对应元素，再按照同样的操作则可使前行元素均变为对应元素，再按照，，最后一行元素也变形完成： （ⅱ）设的均分值为，分为奇数和为偶数，两种情况来构造序列，以奇数为例，通过变形得到一个阶数表，这个数表的某一行（列）的数字均不相同，且其为均分值是的均分数表，这个数表中任取各行（列）中相同的元素构成数表则，于是可以分成个中元素相加，并举例说明. 【详解】（1）是均分数表，不是均分数表，理由如下： 中，故为均分数表， 中，两者不等，故不为均分数表； （2）（ⅰ）原式= ； 证明：设：按次序依次加上， ，...，， 易知这些加上的元素均属于， 此时：第1行的前个元素已变为中对应元素， 而， 可知此时同时第1行最后一个元素也变为中对应元素， 对第2至第行进行同样的操作则可使前行元素均变为对应元素， 下面说明此时最后一行元素也变形完成： . ， 所以加上有限个中元素后可以使变为； （ⅱ）设的均分值为， 若为奇数，则构造序列：，，，...，，，...，； 若为偶数，则构造序列：，，...，，，...，. 以奇数为例，这个序列中有个数作为数表的第1行，将最后一个数置于首位， 其他位次不变，依次向后移一个单位做第2行，以此类推，得到一个阶数表， 这个数表的某一行（列）的数字均不相同，且其为均分值是的均分数表， 这个数表中任取各行（列）中相同的元素构成数表则， 于是可以分成个中元素相加， 例如：. 设，，， 从中删除第行与第列得到一个阶数表， 令其某一对角线上的元素均为， 再令后将行与列插入回去得到数表， 令同一对角线上元素为， 再令后将行与列插入回去得到数表，此时， 所以任意一个中的元素都可以表为两个中的元素相加， 例如：，考虑到非零数字出现在第2、4行与第2、5列， 故删去这些行列，然后令： 第1列 第3列 第4列 第1行 -1 0 0 第3行 0 -1 0 第5行 0 0 -1 再将删去行列的1变为0后添回去即得：， 同理，将中的变为得到，此时. 而由（ⅰ）得：加上若干个中的元素可变为，又可以写成若干中的元素相加， 所以可以写成有限个元素相加，而每一个中的元素又可以表为2个中元素相加， 所以可以表为有限个中元素相加. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 37．（2025·四川成都·二模）对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质. (1)证明：集合具有性质； (2)若集合具有性质，求的最小值； (3)若集合具有性质，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由新定义可得，证明，都有，进而结合作差法求证即可； （2）由，令，结合新定义可得，成立，进而结合对勾函数的性质求解即可； （3）由新定义可得，分析易得，进而结合基本不等式可得的最小值为1，令，，易得，令，，进而利用导数求解可得的最大值为，进而求解. 【详解】（1）要证明集合具有性质， 即证明，都有， 因为，所以. 因为，所以， 所以，都有， 即集合具有性质. （2）因为， ， 令，则， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又集合具有性质， 于是，有， 即， 即，成立， 令，， 因为函数在上单调递减，且， 所以，则， 所以，当且仅当时等号成立； ，当且仅当或时等号成立， 则，即的最小值为. （3）因为集合具有性质， 由题意，得， 都有， 即， 注意到 所以， 又， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值为1. 又，当且仅当时等号成立，则， 又， 令，，则，即， 则，即， 所以 ， 令，， 则，即函数在上单调递增， 又，所以， 当且仅当或时等号成立， 所以的最大值为，又的最小值为1， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 38．（2025·河北石家庄·一模）已知数列，其中. (1)若，集合表示集合的非空子集个数.集合的第个非空子集中的所有元素之和记为，设. （i）直接写出； （ii）计算的前项相和； (2)取，在数列中至少有一项为负值，且，将数列各项依次放在正五边形各顶点上，每个顶点一项.任意相邻三个顶点的三项为，若中间项，则进行如下交换，将变换为，直到正五边形各顶点上的数均为非负时变换终止.求证：对任何符合条件的，上述变换终止只需进行有限多次. 【答案】(1)（i）（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）根据定义写出； （ii）由题意得集合，所以，法1：利用子集构成特点，由于集合的每个元素在其子集中出现的次数均为，得，求出，用裂项相消法求其前项和；法2：利用递推关系，得到，构造数列，借助累加法求出，再求出，用裂项相消法求其前项和； （2）由题意所述的变换不变，且始终为整数，所以，构造一个函数，经过每一次变换，函数的值至少减少2，且恒非负，即可证结论. 【详解】（1）（i）由则，，因此可得； 由则，，因此可得； 由则，，因此可得； 故； （ii）由题意得集合，所以， 解法1：（利用子集构成特点） 由于集合的每个元素在其子集中出现的次数均为， 故， 所以， 所以. 解法2：（利用递推关系） 将集合拆分为集合与， 集合的所有非空集合中的元素之和的和为， 集合的所有非空子集中的元素之和的和为与集合的所有子集中的元素加上的和， 集合共有个子集， 所以. 即，易得，累加得， 所以. 所以， 所以. （2）由题意所述的变换不变，且始终为整数，所以， 构造一个函数， 不妨对进行一次操作，此时五边形顶点上的数变为， 所以有 ， 因为，得，又， 所以， 则经过每一次变换，函数的值至少减少2，且恒非负， 所以变换只能进行有限多次. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先由题意知每次变换不变，再构造一个函数，证明经过每一次变换，函数的值至少减少2，且恒非负，说明之间的差值越来越小，又其和为正，故变换只能进行有限多次，使得五边形各顶点上的数均为非负. 39．（2025·湖北·一模）随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的取值，其中为正整数，且可以由关于该健康指标的专门体检数据推算，具体方法为：某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合，重复的数据只能用一次，且，设集合中最小的元素为，最大的元素为，然后由随机变量u，v的值计算有关的概率或期望等数据，以此推算集合中对应的值，从而对该项健康状况作出评价，以此指导体检人选择有利于该项指标保持正常的健康生活方式，当正整数时，该项健康状况为正常. (1)若，试用表示符合条件的集合的个数； (2)若的概率，求值； (3)①当时，求，的概率； ②记随机变量是随机变量u，v的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现，随机变量的期望为12，试问：小帅的该项健康状况是否正常?请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)①；②不正常，理由见解析 【分析】（1）由题意可知集合的个数即为集合的不含元素1且必须含有2的非空子集的个数，从而可求出答案； （2）由题意得，然后列方程求解即可； （3）①由题意可知集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无的是6，7，从而可求出符合条件的集合的个数，进而可求出；②由题意得，然后根据期望的定义求解化简，再由求出进行判断即即可. 【详解】（1）由及知符合条件的集合的个数即为集合的不含元素1且必须含有2的非空子集的个数， 等于； （2）依题意 又，故 解之得； （3）①当，且，时，集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无的是6，7， 故符合条件的集合的个数为， 所以 ②易知 又的可能取值为，，…，，，，…，，，，…，，…，， 故 又随机变量是随机变量的等差中项，故 所以 依题意，故，则， 所以小帅的该项健康指标不正常. 【点睛】关键点点睛：此题考查集合的有关知识，考查概率的求解，考查随机变量期望的计算，第（3）问解题的关键是根据期望的定义正确化简计算，考查计算能力，属于难题. 40．（2025·江西赣州·一模）十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）. (1)写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数； (2)若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合； (3)若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二进制与十进制定义进行相互转化，即可得结果； （2）根据题中与定义，利用列举法得结果； （3）先根据整数二进制表示找到满足条件一个值，再证明其为最小值. 【详解】（1）， ； （2）根据题意为非空集合， ， 所以集合为中一种， 可能值为， ， 所以集合为中一种， 可能值为， 因此与的所有可能值组成的集合分别为； （3）根据整数二进制表示可知：1到中正整数可以表示为， 可知，对每个正整数，都存在的子集S，使得， 从而对每个正整数，都存在的子集S，使得，     进而对每个正整数，都存在的子集S，使得，即满足题意，此时， 下证：， 一方面，因为前10个数之和不能小于1012，否则设，则， 对于 ，显然不存在A的子集S，使得， 另一方面，因为， 所以根据整数二进制表示知，其前9个数之和最大为511，故， 综上：. 【点睛】解决新定义解题策略：（1）先要耐心审题，弄清其内涵与性质，确定解题方向，（2）再按照新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、探索解题方法，直至解决问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用） 难点专题07 新定义综合 （含数列、函数、集合等新定义） （40题大题难题） 挑战新高考数学140+备考秘籍 新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力；以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。 题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。 压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式、多角度的提问，考查学生的数学能力. 新定义题型的特点是；通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 难度较难，可以预测2024年新高考大题压轴题命题方向将会以新定义类题型展开命题． 一、数列新定义问题 1. 考察对定义的理解。 2. 考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质. 3. 考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握. 二、函数新定义问题 涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答. 关于新定义题的思路有： 1. 找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； 2. 由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； 3. 将已知条件代入新定义的要素中； 4. 结合数学知识进行解答. 三、集合新定义问题 对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1. 紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2. 用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3. 涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 4. 认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题． 1．（2025·江西鹰潭·一模）设为正数，若以为首项的等比数列满足：，，也构成等比数列，则称为所对应的一个型数列. (1)若型数列存在并且唯一，求的值； (2)若，，其中，是一个型数列. （i）求的值； （ii）令，，探究，，之间的关系，并求的值. 2．（2025·山东青岛·一模）若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”. (1)若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由； (2)若数列满足，，证明：数列“非零可表”； (3)证明：存在满足的数列“非零可表”. 3．（2025·全国·一模）若互不相交的非空集合满足：，且对任意，，则称是“集合对”. (1)写出一个集合对； (2)若，，证明：不存在集合对，使得，，； (3)若数列满足，，证明：当时，不存在集合对. 4．（2025·福建厦门·一模）若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对公差”． (1)若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2，且，求的值； (2)已知“绝对等差数列”满足，，且的“绝对公差”为1，记为的前n项和． （ⅰ）若，求； （ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在，使得． 5．（2025·江西新余·一模）设，若，且不存在，使得依次成等差数列，则称为的简单集，元素个数最多的简单集称为的最大简单集，的最大简单集的元素个数记为. (1)写出4的所有最大简单集，并求； (2)设，证明：，并求； (3)设，若对任意，都有恒成立，证明：. 6．（2025·河南·模拟预测）若函数满足：、，均有成立，则称函数为“绝对平方根函数”． (1)判断是否为绝对平方根函数，并说明理由； (2)证明：为绝对平方根函数． 7．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 8．（2025·山东济宁·一模）已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由； (2)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围； (3)证明：函数为“切线支撑”函数． 9．（2025·辽宁大连·一模）已知是无穷数列，是数列的前n项和，对于，给出下列三个条件：①；②；③； (1)若，对任意的，数列是否恒满足条件②，并说明理由； (2)若，数列同时满足条件①②，且，求数列的通项公式； (3)若，数列同时满足条件①③，求证： 10．（2025·山东菏泽·一模）定义正方形数阵满足，其中i，. (1)若，求数阵所有项的和T； (2)若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； (3)若，，且，求的值为奇数的概率. 11．（2025·河南·模拟预测）对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列． (1)若数列是－数列，且，，直接写出，，的值； (2)若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性； (3)能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？ 12．（2025·贵州黔东南·模拟预测）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.已知集合，其中 (1)求集合的所有非空子集的“交替和”的总和； (2)集合的所有非空子集的“交替和”的总和构成数列，求数列的通项公式； (3)证明：，其中e是自然对数的底数. 13．（2025·河北保定·模拟预测）记数阵，其中，设集合，其中且.现定义变换为“对于数阵中的每一行，若其中含有或，则这一行中的每一个数都乘；若其中没有且没有，则这行数字均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，以此类推，最后将经过变换得到”.记数阵中四个数的和为. (1)若先后经过和变换后得到的数阵，求的最大值； (2)若，求使取得最大值的集合的个数； (3)对于任意确定的一个数阵所有可能取值的和记为，当时，证明：且. 14．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知函数，，当的值能使在区间上取得最大值时，我们就称函数为“关于的界函数”. (1)若为“关于的界函数”，求实数的取值范围; (2)在数列中，已知，且，，判断当时，是不是“关于的界函数”？若是，请证明：当时，，的值不小于“关于的界函数”；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求证：. 15．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间. (1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间. 16．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． (1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； (2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程； (3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：． 17．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”． (1)设函数． （i）当时，求在上的最大“Ω点”； （ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； (2)设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于． 18．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. (1)判断是否为上的非负函数，并说明理由. (2)已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. (3)已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 19．（2025·河南洛阳·模拟预测）定义：设为数列，为定值，若对任意给的正数，总存在正整数，使得当时，都有，则称数列收敛于，定值称为数列的极限，并记作，读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”．例如，设，对任意给的正数，取为比大的正整数，有，可得当时，有，可得．已知数列满足，且当'时，． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)求和． 20．（2025·广东深圳·一模）若数列满足.定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为项为1，且对任意项，中的－1的个数不少于1的个数．当时，满足上述定义的数列称为规范数列．记表示“广义规范数列”的个数. (1)若既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有的通项公式； (2)求；进一步证明：当时，； (3)当且时，记表示项数列中符合广义规范数列的概率，求证：． （提示：） 21．（2025·河北秦皇岛·一模）若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和. (1)若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到. (2)若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值. (3)若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有. 22．（2025·浙江·一模）设，对于数列，，…，，若对任意，与均为非负数或者均为负数，则称数列，，…，为强数列. (1)判断数列，，，，与数列，，，，分别是否为强数列； (2)若存在公比为负数的等比数列，，…，，使得它为强数列，求公比q的取值范围； (3)设，，…，为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列，，…，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 23．（2025·陕西渭南·二模）若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”. (1)设，证明：数列是数列的“分割数列”； (2)设是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由； (3)设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围. （附：当时，若，则） 24．（2025·山东烟台·一模）设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且. (1)若数列，求数列； (2)若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 25．（2025·广东·一模）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． (1)求和的值； (2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； (3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 26．（2025·新疆喀什·二模）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”． (1)已知等比数列的前n项和为，且，证明：数列为“数列”，并求出其通项公式； (2)已知等差数列满足=15，探究数列中是否存在由某些项构成的数列为“数列”？若存在，写出一个“数列”；若不存在，请说明理由； (3)已知等差数列的通项公式为，设m为正整数，若存在“数列”，对任意正整数k，当时，都有成立，求m 的最大值． 27．（2025·山西·一模）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数，则称数列具有“性质”.已知项数为的数列的所有项之和为，且数列具有“性质”. (1)若，数列具有“性质2”，且，，写出的所有可能值； (2)若数列具有“性质2”，且，，证明：“”是“（）”的充要条件； (3)若数列具有“性质”，其中为奇数，，，，证明：或. 28．（2025·北京丰台·一模）已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. (1)若，写出数列的自身子数列的前4项； (2)证明：； (3)若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 29．（2025·云南·一模）定义数列的 “衍生数列”如下：. (1)若，求的值. (2)已知是首项为，公比为的等比数列，求的通项公式. (3)设是有界数列，即存在，使得对任意成立.证明：数列收敛. 30．（2025·安徽池州·二模）设正项数列，如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合（其中）. (1)若，求； (2)若，且，证明：； (3)若中存在使得，证明：. 31．（2025·江西·模拟预测）设和是整数数列，若对于任意，都有.，我们就称数列和为一组耦合数列. (1)若数列和为一组耦合数列，且，都有，且，求数列的通项公式； (2)若数列和为一组耦合数列，证明：； (3)若数列和为一组耦合数列，探究是否存在实数，使得对于某个，从，，，中任取一个数，这个数是的概率大于，并说明理由. 32．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数. (1)判断4和6是否为可分数，并说明理由； (2)求小于81的最大可分数； (3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：. 33．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知集合，若存在数阵满足： ①； ②. 则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”. (1)已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值： (2)若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由. 34．（2025·广东茂名·一模）已知数列，满足：为等比数列，，且. (1)求； (2)求集合中所有元素的和； (3)若集合中存在个不同元素，使得，则称为类集合.试判断是否为类集合.若是，求出所有的值；若不是，说明理由. 35．（2025·浙江·模拟预测）已知是给定的正整数，设是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合：①定义域为；②；③，，其中，.对给定的整数，（其中），记. (1)当时，直接写出集合和（无需说明推导过程）； (2)若且不是3的倍数，证明：； (3)从集合中随机取出一个函数，证明：对任意，随机事件“”发生的概率都不超过. 36．（2025·江西新余·模拟预测）记一个由实数构成的有行列的数表并称为阶数表（），表示数表中第行第列的数字.对于，，我们规定加法：.若对于，，我们就称为“均分数表”，为其“均分值”. (1)直接判断数表和是否为均分数表. (2)设是均分值相同的阶均分数表，均是某类阶均分数表的集合，其中中数表的均分值为0且有且仅有由某不固定的两行两列所交的四个数字非零；中数表的每行每列均有且仅有1个数字非零. （ⅰ）计算：，并证明：一定能通过加上有限个中的元素变为； （ⅱ）证明：一定能表为中有限个元素相加. 第1列 第3列 第4列 第1行 -1 0 0 第3行 0 -1 0 第5行 0 0 -1 37．（2025·四川成都·二模）对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质. (1)证明：集合具有性质； (2)若集合具有性质，求的最小值； (3)若集合具有性质，求的最大值. 38．（2025·河北石家庄·一模）已知数列，其中. (1)若，集合表示集合的非空子集个数.集合的第个非空子集中的所有元素之和记为，设. （i）直接写出； （ii）计算的前项相和； (2)取，在数列中至少有一项为负值，且，将数列各项依次放在正五边形各顶点上，每个顶点一项.任意相邻三个顶点的三项为，若中间项，则进行如下交换，将变换为，直到正五边形各顶点上的数均为非负时变换终止.求证：对任何符合条件的，上述变换终止只需进行有限多次. 39．（2025·湖北·一模）随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的取值，其中为正整数，且可以由关于该健康指标的专门体检数据推算，具体方法为：某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合，重复的数据只能用一次，且，设集合中最小的元素为，最大的元素为，然后由随机变量u，v的值计算有关的概率或期望等数据，以此推算集合中对应的值，从而对该项健康状况作出评价，以此指导体检人选择有利于该项指标保持正常的健康生活方式，当正整数时，该项健康状况为正常. (1)若，试用表示符合条件的集合的个数； (2)若的概率，求值； (3)①当时，求，的概率； ②记随机变量是随机变量u，v的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现，随机变量的期望为12，试问：小帅的该项健康状况是否正常?请说明理由. 40．（2025·江西赣州·一模）十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）. (1)写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数； (2)若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合； (3)若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$