难点专题02 数列（40题难题）-【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用）

【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用） 难点专题02 数列 （40题难题）（10单选10多选10填空10大题） 挑战新高考数学140+备考秘籍 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列 4. 等差数列前n项和公式：或 5. 等差数列的前项和中，，（为奇数） 6. 等比数列通项公式： 7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列 9. 等比数列前项和公式： 10. 已知与的关系 11. 分组求和若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和 12. 裂项相消求和 13. 等差数列任意前n项和的关系 14. 等比数列任意前n项和的关系 15. 数列不动点 定义：方程的根称为函数的不动点 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 (1)若有两个相异的不动点，则 （这里） (2)若只有唯一不动点，则 （这里） 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 16. 错位相减---万能公式求和 为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为 17. 通项公式的构造 （1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解 （2）已知用求通项 （3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式 （4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法 （5）已知用求通项公式，其本质是除以 （6）已知用求通项公式，其本质是取到数 （7）已知用求通项公式，其本质是取对数 一、单选题 1．（2025·辽宁·一模）已知在数列中，，则的前项中的最大项为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·一模）设是关于的方程的正实数根.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）设数列的前项和为，已知，数列的前项和为，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和（   ） A．9 B．12 C．18 D．27 5．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列满足是数列的前n项和．若（m为正偶数），则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·上海杨浦·一模）设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（    ） A． B．0 C．6 D．12 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列，若该数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．26 B．27 C．28 D．29 8．（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2025·黑龙江·模拟预测）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2025·广东·模拟预测）已知数列满足，数列满足为数列的前项的积，，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为12 12．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知正项数列满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B． C．存在，使得 D． 13．（2025·安徽黄山·一模）如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，（为坐标原点）．设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（   ） A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 14．（2025·北京·模拟预测）已知无穷数列满足：，，，，其中表示不超过的最大整数.则下列说法中正确的是（   ） A．对于任意，，都不是常数列 B．存在正数，，使得是递增数列 C．对于任意正数，q，都存在正整数，使得是周期数列 D．如果是常数列，则一定有 15．（2025·陕西西安·二模）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（   ） A． B．数列是单调递增数列 C．若p为质数，则数列为等比数列 D．数列的前5项和等于 16．（2025·江西九江·二模）若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是递减数列 D．当时， 17．（2025·山东济南·一模）已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 18．（2025·四川广安·二模）已知定义域为的函数满足，.数列的首项为1，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（2025·陕西咸阳·二模）若数列满足，，（），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（   ） A．， B． C．，使得，，成等比数列 D． 20．（2025·山西晋中·模拟预测）若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（    ） A．为平方递推数列 B． C． D．使得成立的的最小值为2026 三、填空题 21．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知正项数列满足，若存在非零常数，使得数列为等比数列，则 ；数列的通项公式为 ． 22．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知数列的通项公式为，为其前项和，则 ． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象平分系列圆的周长与面积，记圆在轴右侧的圆心的横、纵坐标分别组成数列，则的前项和为 . 24．（2025·山西·一模）数列满足，，，则数列的前n项和是 ． 25．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知正项等比数列的公比不为1，若在的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为 .（用最简分数作答） 26．（2025·陕西榆林·二模）已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得. （1） ；（写出一个可能的取值） （2）对于数列中的项，若存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则 . 27．（2025·贵州毕节·二模）定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ， . 28．（2025·北京平谷·一模）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 29．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则 . 30．（2025·山西太原·一模）对于数列，称为数列的1阶商分数列，其中；称为数列的阶商分数列，其中，当时，．已知数列，，且为数列的2阶商分数列，则数列的前项和为 ． 四、解答题 31．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 32．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列. (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)求的通项公式，并证明：. 33．（2025·云南昆明·一模）已知数列，，，是的前项和. (1)证明：数列为等差数列； (2)求； (3)若，记数列的前项和为，证明：． 参考数据：. 34．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 35．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知. (1)求证：当时，； (2)设. （ⅰ）求证：数列为递减数列； （ⅱ）求证：. 36．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 37．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 38．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 39．（2025·黑龙江·二模）已知数列满足是函数的零点，且.证明： (1)； (2)数列是递减数列； (3)当时， 40．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列中的项落在区间中的项数为． （i）求数列的前项和； （ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用） 难点专题02 数列 （40题难题）（10单选10多选10填空10大题） 挑战新高考数学140+备考秘籍 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列 4. 等差数列前n项和公式：或 5. 等差数列的前项和中，，（为奇数） 6. 等比数列通项公式： 7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列 9. 等比数列前项和公式： 10. 已知与的关系 11. 分组求和若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和 12. 裂项相消求和 13. 等差数列任意前n项和的关系 14. 等比数列任意前n项和的关系 15. 数列不动点 定义：方程的根称为函数的不动点 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 (1)若有两个相异的不动点，则 （这里） (2)若只有唯一不动点，则 （这里） 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 16. 错位相减---万能公式求和 为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为 17. 通项公式的构造 （1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解 （2）已知用求通项 （3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式 （4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法 （5）已知用求通项公式，其本质是除以 （6）已知用求通项公式，其本质是取到数 （7）已知用求通项公式，其本质是取对数 一、单选题 1．（2025·辽宁·一模）已知在数列中，，则的前项中的最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数是减函数，结合递推公式分析即可得解. 【详解】因为，所以函数是减函数， 因为，所以，即， 由函数是减函数，， 得，即， 由函数是减函数，， 得，即， 由函数是减函数，， 得，即， 以此类推，可知数列的最大项为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据指数函数是减函数，结合递推公式类推，是解决本题的关系. 2．（2025·山东青岛·一模）设是关于的方程的正实数根.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出，可得出，对为奇数和偶数进行分类讨论，讨论的取值，结合并项求和法以及等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】令，则函数在上为增函数， 因为， ， 由零点存在定理可得，则， 当为正奇数时，设，则，则， 当为正偶数时，设，则，则， 所以， . 故选：B. 【点睛】关键点睛：解本题的关键在于利用零点存在定理得出的取值范围，并由此讨论的取值，结合数列求和求解. 3．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）设数列的前项和为，已知，数列的前项和为，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与之间的关系整理可得，进而可得，利用裂项相消法求，进而逐项分析判断. 【详解】因为，即， 可得，即， 可知数列是常数列，则，即， 可得， 所以. 对于选项AB：因为， 可知，故A正确，B错误； 对于选项C：因为，即，故C错误； 对于选项D：因为，即，故D错误； 故选：A. 【点睛】方法点睛：裂项相消的规律 （1）裂项系数取决于前后两项分母的差； （2）裂项相消后前、后保留的项数一样多． 4．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和（   ） A．9 B．12 C．18 D．27 【答案】C 【分析】根据条件求出等比数列的公比，由此计算数列的通项公式，化简即可计算数列的前12项和. 【详解】设等比数列的公比为，则，，， ∵，，∴，解得或， ∵等比数列是递减数列，∴. ∵，∴，∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 5．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列满足是数列的前n项和．若（m为正偶数），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差、等比数列的定义，分析，，，之间的关系可求解. 【详解】设数列的公差为，则： ， ， 即①， 又 ， 即②， 由①，②，可得：或（因为为正偶数，故舍去）. 又， 所以③， 由① ，③，可得：，即，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用等差、等比数列的定义，分析，，，之间的内在联系进行整体替换. 6．（2024·上海杨浦·一模）设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（    ） A． B．0 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据与的关系，探索数列的结构特点，分别求出和，再根据及数列是无穷数列对各选项进行判断. 【详解】当时，. 当时，，所以， 两式相减得：，因为，所以. 所以数列的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，且. 所以. 同理，数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. 所以. 若，则数列各项均不为0，数列是无穷数列，故A正确； 若，这与矛盾，故B错误； 若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故C错误； 若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：观察出数列的特点后，一定要注意及数列是无穷数列这两个条件的应用. 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列，若该数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造新数列，利用分组求和法，并借助单调性求出最小正整数的值. 【详解】依题意，设原数列为， 令， ， 令数列的前项和为，则， 而是单调递增数列，， 则使的最小整数，又 ，于是，又， 所以满足的最小正整数的值为28. 故选：C 【点睛】关键点点睛：把给定数列按分组并求和是求解问题的关键. 8．（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到，然后对选项逐一分析即可. 【详解】, 取，则公差， 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为， 又，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值， 故选：D. 9．（2025·黑龙江·模拟预测）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得，将数列中每项除的余数一一列举，找出余数的周期性，进而可求得结果. 【详解】当且时，蜜蜂到达第号蜂房，可以从第号蜂房到达第号蜂房， 也可从第号蜂房到达第号蜂房，所以，，且，， 所以，，，，，，，，， ，，，，，，， ，， 所以，中每项除的余数依次为：、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、， 发现余数的周期是，而，因此，被除的余数为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是列举出每项除的余数，结合周期性求解. 10．（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先需要根据雪花曲线的构造规律求出其周长的通项公式，再据此得出数列的通项公式，最后通过分析该数列的单调性来确定最大项. 【详解】对于初始的正三角形，边长，周长, 由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍. 因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以. 从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以. 以此类推，可得,代入可得： , 令,则, 则, 令，解得, 令，解得. 所以，. 故选：B 二、多选题 11．（2025·广东·模拟预测）已知数列满足，数列满足为数列的前项的积，，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为12 【答案】AC 【分析】先根据条件得到，A选项，方法1：利用累乘法得到；方法2：先得到，故；B选项，得到，故B错误；C选项，在B基础上得到，则，得，C正确；D选项，推导出，解不等式，得到. 【详解】由于，则，得， 因为，所以， 所以，即， 依次类推，得到. 对于选项A： 方法1：，将上述不等式累乘得：. 方法2：由得，即成立. 故选项A正确. 对于选项B：由于，则， 整理得，故选项B错误. 对于选项C：由于， 则， 则，得，故选项C正确. 对于选项D：由，则， ， ，将以上式子累加得：，① 另外，， 将以上式子累加得：，② 结合①②式得：，解得， 显然符合题意，此时，综上所述，的最大值为8，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：先得到，在此基础上，利用累乘法，结合和累加法对四个选项进行分析求解 12．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知正项数列满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B． C．存在，使得 D． 【答案】BC 【分析】由已知可得，设，结合已知可求得判断A；计算判断B；，累加可判断C；令，求导可证，进而得，计算可判断D. 【详解】由， 展开可得， 移项得到， 两边同时除以因为是正项数列，， 则，即， 所以是等差数列. 已知，设，则， 设的公差为d， 因为， 所以，易知， 所以， 即，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以是递减数列，故A错误； ，故B正确； ， 所以 ， 令，得，解得，故C正确； 设， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，， 即，所以， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于构造，证明不等式，利用放缩法求得. 13．（2025·安徽黄山·一模）如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，（为坐标原点）．设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（   ） A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用正三角形的性质以及曲线方程找出数列与的递推关系，即可判断AB，然后求得，由平方和公式代入计算，即可判断C，再由时，，由裂项相消法代入计算，即可判断D. 【详解】已知，设，因为为正三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，化简可得，因为，解得，则， 即，则， 由，则的横坐标为，纵坐标为， 且在曲线上，故①， 又因为，即代入①可得， 即②， 当时，， 再将代入上式可得③， 由②③可得，即， 由 ，可得，故得， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，因， 则 ，故B错误； 对于C，因为是正三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得， 故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则 ，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了数列的递推关系以及求和公式与不等式的相关知识，难度较大，解答本题的关键在于由曲线方程得到数列的递推公式，从而求解. 14．（2025·北京·模拟预测）已知无穷数列满足：，，，，其中表示不超过的最大整数.则下列说法中正确的是（   ） A．对于任意，，都不是常数列 B．存在正数，，使得是递增数列 C．对于任意正数，q，都存在正整数，使得是周期数列 D．如果是常数列，则一定有 【答案】BD 【分析】根据数列的递推关系、数列的周期性、数列的单调性进行计算，同时每个选项可以取具体的数值进行解答，从特殊到一般，运用逻辑推理等数学核心素养. 【详解】对于选项A，当时，，是常数列，故A错误； 对于选项B，当时， 是递增数列，故B正确； 对于选项C，当时， 不是周期数列，故C错误； 对于选项D，当是常数列时， 故D正确； 故选：BD. 15．（2025·陕西西安·二模）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（   ） A． B．数列是单调递增数列 C．若p为质数，则数列为等比数列 D．数列的前5项和等于 【答案】AC 【分析】根据欧拉函数的定义，即可判断A，利用列举特殊项法，即可判断B，利用欧拉函数的定义，列举求，根据等比数列的定义，即可判断C，根据C的结果，即可判断D. 【详解】A.12与1,5,7,11均互质，所以，17与1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互质，所以，所以，故A正确； B.7与1,2,3,4,5,6互质，则，9与1,2,4,5,7,8互质，所以，，所以数列不是单调递增数列，故B错误； C.设为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为， 即每个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为, 故，所以为常数， 所以数列为等比数列，故C正确； 根据选项C可知，，数列的前5项和为，故D错误. 故选：AC. 16．（2025·江西九江·二模）若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是递减数列 D．当时， 【答案】ABD 【分析】对A：由递推关系构造数列，即可证明；对B：根据A中证，求得，再利用逐差法即可求得；对C，先求得，再求得，再根据其通项公式，判断其单调性即可；对D：利用作差法判断的大小，再根据C中所求的单调性，即可判断. 【详解】对A：由，得，且， 故是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 对B：由上可知，， 即，故是等比数列，B正确； 对C：设的前项积为的前项和为， 当时，；当时，单调递减， 而，，故C错误； 对D：当时，，，故D正确. 故选：ABD. 17．（2025·山东济南·一模）已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A直接代入计算即可；对B，利用反证法即可证明，对C，通过不断代入得到，再结合其单调性即可判断C，对D，通过代入归纳总结得到时，，再代入合理值即可判断. 【详解】对A，在原式中令，则，故A正确； 对B，若，单调递增，则，则，即矛盾，舍去，故，故B正确； 对C，由得，则，则， ，，原式中令， 令，因为递增数列，C错； 对D，由，令，由单调递增， ，令，令则， 则时，，且， 则时，时，， 当时，时，， 在原式中令， 同理由，D正确， 故选：ABD． 18．（2025·四川广安·二模）已知定义域为的函数满足，.数列的首项为1，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意，根据求导法则，求得函数的解析式，代入，可得A的正误；构造函数，利用导数求得其最值，可得B的正误；由函数解析式求得数列的递推公式，利用B才不等式进行放缩，构造函数证明数列单调性，可得CD的正误. 【详解】因为，所以， 又，. 取可得，由， 令，得. ，，， ，，故A正确； 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， ，即，当且仅当时，等号成立. 故，又，所以，故B正确. 由，所以， 得， 即，所以， ，即， 因为函数定义域为， 所以，有，即， 下证数列单调递减，即证，即证， 即证，即证， 令，则， 当时，，所以在上单调递减. 因为，，所以，即数列单调递减， 所以，，故C正确，D错误. 故选：ABC. 19．（2025·陕西咸阳·二模）若数列满足，，（），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（   ） A．， B． C．，使得，，成等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，B和D，利用和，，即可求解；对于C，利用，，，，，猜想，再利用数学归纳法证明猜想成立，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，因为，所以选项A正确， 对于选项B，因为， 又，所以，故选项B正确， 对于选项C，假设，使得，，成等比数列，则有，即， 前几项：，，，，， 则，，， 猜想，当时，猜想成立， 假设时，猜想成立，即成立， 则时，则， 所以，对于任意的，都有成立，所以选项C错误， 对于选项D，因为，， ， 则 ， 所以选项D正确， 故选：ABD. 20．（2025·山西晋中·模拟预测）若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（    ） A．为平方递推数列 B． C． D．使得成立的的最小值为2026 【答案】AC 【分析】由题意可得，可得，结合“平方递推数列”的定义，可判断A；由等比数列的定义和通项公式，可判断B；由等比数列的求和公式和对数的运算性质，可判断C；由等比数列的求和公式和不等式的解法，可判断D. 【详解】对于A，由题意得，所以，所以为平方递推数列，故A正确； 对于B，得，其中， 所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以，所以，即，故B错误； 对于C，因为 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 由得，故D错误， 故选：AC. 【点睛】思路点睛：先根据已知条件找到数列相邻两项的关系，再通过变形和相关定义进行证明.求对数形式的数列前项积的对数，先将其转化为对数的和，再结合数列通项和求和公式计算.对于由等差数列和等比数列组成的数列求和，采用分组求和法，求解不等式时结合数列特点和取值范围确定的值. 三、填空题 21．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知正项数列满足，若存在非零常数，使得数列为等比数列，则 ；数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据已知有，进而有，结合数列为等比数列，讨论、确定参数，并求出数列的通项公式，即可得. 【详解】因为，所以， 所以，设， 所以． 因为数列为等比数列，所以为常数． 当时，， 当时，，且， 所以数列成等比数列，其公比，满足题意； 则， 所以，解得； 当时，，且， 所以数列成等比数列，其公比，满足题意； 则， 所以，解得. 当时，为常数， 则，由，得， 这与为非零常数矛盾，所以时，不满足题意． 综上所述，，. 故答案为:, 【点睛】关键点点睛：首先得到，再由及等比数列的性质求参数a为关键. 22．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知数列的通项公式为，为其前项和，则 ． 【答案】/ 【分析】令，即可得到，再利用分组求和及裂项相消法计算可得. 【详解】令，则， 所以， 所以， 所以 . 故答案为： 23．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象平分系列圆的周长与面积，记圆在轴右侧的圆心的横、纵坐标分别组成数列，则的前项和为 . 【答案】. 【分析】首先，需要根据函数图象平分圆的周长与面积这一条件，得出函数与圆的关系，进而确定数列的通项公式，然后利用错位相减法来求数列的前项和. 【详解】因为，定义域为， 令，，则， 对于，令，得， 所以的对称中心为，即， 又， 在上单调递减， 所以， 则， 所以的对称中心为， 因为的图象平分系列圆的周长与面积， 所以圆的圆心为的对称中心，即， 由于记圆在轴右侧的圆心的横、纵坐标分别组成数列， 所以，所以， 记的前项和为， 则， 故， 两式相减，得 ， 所以. 故答案为：. 24．（2025·山西·一模）数列满足，，，则数列的前n项和是 ． 【答案】 【分析】先由得到，再由，得，进而可得，由错位相减法可得前n项和. 【详解】由，用替代可得：， 化简得：，因，故是首项为1，公比为4的等比数列， 则， 由，用替代可得：， 化简得：，又，可推得． 则，记数列的前n项和为， 则， ， 两式相减：， 故， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题目标是求的前n项和为，故考虑先求其通项公式，先求，，进而根据题中条件得，根据结构特点利用错位相减法可得. 25．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知正项等比数列的公比不为1，若在的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为 .（用最简分数作答） 【答案】 【分析】根据等比数列定义再对新取出的4项的公比的取值进行分类讨论，可知新数列共有种情况，其为首项，公差的等差数列，可得组合数的总和，即可求得其概率. 【详解】设正项等比数列的首项为，公比，则. 当公比为时，设选出来的四项为； 由，则，解得， 所以，此时有17种情况； 当公比为时，设选出来的四项为； 由，则，解得， 所以，此时有14种情况； 当公比为时，设选出来的四项为； 由，则， 解得， 所以，此时有种情况； 这是一个首项为，公差的等差数列， 那么按原来顺序仍然成等比数列的组合数的总和 在的前20项中随机抽取4项，共有种取法； 故这4项按原来的顺序仍然成为等比数列的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等比数列定义，对新取出的4项的公比的取值进行分类讨论找出对应规律计算出符合题意的组合数，即可求得相应概率. 26．（2025·陕西榆林·二模）已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得. （1） ；（写出一个可能的取值） （2）对于数列中的项，若存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则 . 【答案】 5 1025 【分析】（1）根据题意代入即可求解；（2）先根据题意分析出具有性质的项，易知从开始是以5为首项，3为公差的等差数列，再根据等差数列求和即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，，或， 当时，，或，或时有或， 综上所述：的所有可能取值为：5，8，11. （2）中恰有4项具有性质，且这4项的和为，， 当时，，或，或时有或，或时有或或， ，即具有性质， 则易知从开始是以5为首项3为公差的等差数列，. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义问题的求解，涉及到根据新定义求解数列中的项、数列求和等知识；关键是能够准确理解所给的新定义，得到所给数列性质与等差数列之间的关系. 27．（2025·贵州毕节·二模）定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ， . 【答案】 【分析】以为单位长度逐段讨论，求出时的函数表达式，再分析其中包含的元素个数即可得. 【详解】①时， ，故； ② 若， 因， 则， 因，则包含， 其中， 此时共包含个元素， 则时，共包含个元素， 故中元素的个数为， 而也符合上式，则 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题是取整函数与数列的综合题，取整的关键在于对于中的每一个数向下或向上取整都有着相同的规律. 28．（2025·北京平谷·一模）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解. 【详解】由得，相减可得， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列， 对于①，，故正确； 对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以， 若，则需要，则，故正确， 对于③，，若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误， 对于④，若，只要足够大，一定会有 ， 则，只要足够的大， 趋近于0， 而，显然能满足，故，当时，总有，故正确， 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理． 29．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则 . 【答案】 【分析】先得出的规律，再根据等差数列的和求解. 【详解】由题意 【点睛】方法点睛：非常见数列的求和的突破在于找到规律，由特殊到一般是找规律的常用方法． 30．（2025·山西太原·一模）对于数列，称为数列的1阶商分数列，其中；称为数列的阶商分数列，其中，当时，．已知数列，，且为数列的2阶商分数列，则数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】理解阶商分数列的新定义，根据新定义可得，将和代入化简可得递推关系式：，利用累乘法以及裂项相消法即可求得，从而求得数列的前n项和. 【详解】根据题目中的定义，数列的1阶商分数列中， 满足：①，则②； 2阶商分数列中，满足：， 根据题意，， 将①，②代入上式可得：③， 将和代入③得：， 化简后得到递推关系式：，化简可得：， 由累乘法可得： ， 所以， 经检验，，，满足上式； 所以， 设数列的前n项和为 ， 则， . 故答案为：. 四、解答题 31．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到； （2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列； ②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． （2）①由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 32．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列. (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)求的通项公式，并证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件可得，取依次计算得解. （2）由（1）的信息，按的奇偶分类，结合累加法及等比数列前项和公式求解. （3）利用与的关系求出通项公式，再作差比较得证. 【详解】（1）由是以为首项，为公比的等比数列，得， 则，而， 所以. （2）数列中，，， 当时，， ，则， 当为奇数，时，，满足上式，因此当为奇数时，； 当时，， ，则， 当为偶数，时，，满足上式，因此当为偶数时，， 所以的通项公式是. （3）由（2）知，， 当时，， 而满足上式，因此， ， 所以. 33．（2025·云南昆明·一模）已知数列，，，是的前项和. (1)证明：数列为等差数列； (2)求； (3)若，记数列的前项和为，证明：． 参考数据：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列通项公式证明即可； （2） 应用错位相减法计算求和即可； （3）分奇偶应用等比数列求和，再构造函数应用导函数判断函数的单调性结合累加法及对数运算证明即可. 【详解】（1）由题，得； 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，故. ， 则， 两式相减得， ， 所以. （3）由（2）可知 所以数列中的奇数项（）， 偶数项，（），. 由于，则，所以，则， 所以. 由于 . 构造函数，， 所以，则在上单调递减. 所以当时，则， 即任意，，即在恒成立. 令，，则，即，， 所以，，，. 以上各式相加得， ，即. 所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数求导函数确定函数的单调性及应用换元法令，累加法计算求解. 34．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)6 【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可； （2）对的表达式进行放缩，利用裂项相消法进行求解即可； （3）利用作差比较法，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 作差得， 两边同时除以得， 又，所以，得， 所以，故对， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，则． 设等比数列的公比为， 因为，所以由，或 又因以数列是递增数列，所以． （2）因为， 所以 ． （3）由（1）知，即，令，则， ， 所以当时，，当时，，当时，， 即有，， 又， 故当时，，所以，， 又， 所以，当时，，故使得成立的最大整数为6． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是，之二是利用作差比较法判断数列的单调性. 35．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知. (1)求证：当时，； (2)设. （ⅰ）求证：数列为递减数列； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）对函数求导，并构造，利用导数判断出函数的单调性和最值，即可证明出不等式； （2）（ⅰ），令，，构造函数并求导，即可求解函数的单调性，从而得到数列的单调性，即可得证. （ⅱ）由题意结合，得，利用（1）可得，从而有，结合放缩法可得，又由（ⅰ）知，，即可证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则 当时，，所以函数在上单调递增， 又∵，∴， ∴在上单调递增， ∵，∴. （2）（i）由题意可得：， 令，，即. 令，， ∵， ∴在上单调递减， ∵，∴， ∴，， ∴为递减数列； （ⅱ）由（i）可知，， ∵， ∴， 由（1）可知，当时，，即， 当时，， ∴, ∴. 又， ∴. 【点睛】关键点点睛：利用导数证不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 36．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件可求出等差数列的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出的表达式，设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式； （2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列的前项中的奇数项、偶数项的和，即可得出； （3）分析可知，集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，、进行讨论，推出矛盾，可得出，然后利用不等式的基本性质可得出解的个数，即可得出数列的通项公式. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为， 所以，， 设等比数列的公比为， 由可得，解得，则. （2）当为奇数时，， 设数列奇数项的和为， 则. 当为偶数时，，设数列的偶数项的和为， 则， 可得， 上述两个等式作差得 ， 整理可得， 所以，. （3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数， 若，则，与已知矛盾； 若，则，与已知矛盾，所以，， 又因为， 所以，， 即、、、、，共个解，故. 37．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 【答案】(1)； (2)（i）5；（ii）证明见解析.. 【分析】（1）应用等差数列前n项和公式及等差中项的性质、通项公式求基本量，进而得到的通项公式及； （2）（i）根据已知得，即得，应用等差、等比前n项和公式及分组求和得，再由能成立求的最大值； （ii）由（i）得，判断其单调性即可得，应用基本不等式及放缩有，应用错位相减法求右侧的前n项和，即可证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，即①， ，即②， 将①代入②得，因为，解得， 所以． （2）（i）令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得， 因为， 所以的最大值为5． （ii）由（i）知，则，所以． 设①， 则②， ①②得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 38．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由，结合可得答案； （2）由（1）可得时，，然后当，时，可得，其中为小于的最大整数，据此可得当，其中时，可得，最后由分组求和可得答案. 【详解】（1）， 则，因.则两式相减得：. 又各项均为正数，则. 又时，， 则是以1为首项，公差为2的等差数列， 则，； （2）由（1）时， 则. 则，， 当，设， 注意到 ，其中为小于的最大整数. 则当，其中时， . 则当时， . 又注意到时，. 则. 【点睛】关键点睛：对于较复杂数列的求和，可适当引入参数，也可适当分组，从而将较复杂数列转化为已学习过数列的组合. 39．（2025·黑龙江·二模）已知数列满足是函数的零点，且.证明： (1)； (2)数列是递减数列； (3)当时， 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先利用导数以及零点存在定理确定函数零点的取值范围，再根据函数单调性证明不等式， （2）作差，根据差与零的大小关系证明不等式， （3）先探求与关系，再根据导数研究函数单调性，最后根据递推放缩得结果. 【详解】（1） 由得 当时，，故在上为增函数， 故，此时函数无零点； 当时，，故在上为减函数， 故，此时函数无零点； 当时，，在上单调递增， 又因为，所以在上存在唯一零点，且， 因此当时， 令，所以 所以, 因为，所以， 进而， 依次类推可得； （2）， 由（1）得，所以，从而， 因此数列是递减数列； （3） 令 因此 依次类推可得 即：当时， 【点睛】证明数列不等式，一可借助对应函数性质进行证明，二可利用递推关系进行放缩证明. 40．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列中的项落在区间中的项数为． （i）求数列的前项和； （ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为，由题意得，可求出公差，从而可求出，设数列的公比为，再由可求出，从而可求出，进而可求出； （2）（i）由题意可得，则可求出，从而可求出，方法一：利用错位相减法可求出，方法二：对变形后，利用累加法可求出；（ii）当时，可得，则可得，当当时，利用累乘法可求得，从而可求出. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为为等比数列，且，，， 所以， 所以， 解得或(不合题意，舍去)， 又因，所以， 设数列的公比为， 因为，所以， 所以， 又因，所以， 所以． （2）（i），， 数列中的项落在区间中的项数满足， 即， 因为， ， 数列中的项落在区间中的项数为， 所以， 所以， 方法一： ， ， 所以． 方法二：， （ii）当时，，则， 所以 又因为， 所以，解得， 所以当时， 所以 ， 所以， 所以， 综上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$