四川省内江市威远中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

威远中学2026届高二下期半期考试 数 学 （命题人：第三小组） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．在等比数列中，，，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 4．在等比数列{an}中，an>0，且a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5的值为（    ） A．16 B．27 C．36 D．81 5．已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 6．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．D． 7．已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A．360 B．480 C．960 D．1280 8． A．1 B．-1 C．2 D．-2 2. 多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 10．已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 11．已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 3. 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12．已知数列的前项和为，，则 . 13．曲线上的点到直线的最短距离是 . 14．设为数列的前项和，已知，，则 . 四、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 16.(本小题满分15分）已知数列的前n项和，数列的前n项和． (1)求，的通项公式； (2)若，求的前n项和． 17.(本小题满分15分）已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求． 18.(本小题满分17分）已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)若对任意，有恒成立，求的取值范围． 19.(本小题满分17分）已知函数，记，且， (1)求，； (2)设，， （ⅰ）证明：数列是等差数列； （ⅱ）数列的前n项和为，且对任意的，满足，求的取值范围. 威远中学校2026届高二下半期考试数学试题参考答案 . 1．D解：由，根据等差数列的求和公式，， 又.故选：D 2．B解：由题意，且，所以.故选：B. 3．C解：由题设，且，可得，所以递增区间为. 故选：C 4．B解：∵a1+a2=1，a3+a4=9，∴q2=9.∴q=3（q=-3舍去）∴a4+a5=（a3+a4）q=27.故选：B 5．C解：等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，所以的最大值为.故选：C. 6．B解：由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当或时，；当时，； 而等价于①，或②，由①得或，则， 由②得，则，综上，.故选：B. 7．D解：当n为奇数，，，当n为偶数，，，因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列； 的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，所以 .故选：D 8. A解： 9．AD解：当时，，当时，， 两式相减可得：，所以， 显然当时，满足，故，故A正确；由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误；令，的前100项和为： ，故C错误；令，所以的前30项和为：，故D正确.故选：AD. 10．BC解：对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，故选：BC 11．ABD解：因为，所以+3，所以，又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即，故B正确；因为，因为，所以，所以，所以为递减数列，故C错误；，则，故D正确.故选：ABD. 12．解：当时，，当时，， 此时，不符，故.故答案为： 13．解：与平行的直线和相切，则斜率为，因为，所以，令，解方程得，代入直线方程得切点，则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知，故答案为：. 14. 解：，令，则，∴又，，∴； ①，②，①减②得：，∴，∴. 15．(1)(2)和. 解：（1）当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为，故切线方程为，因为切线过点，所以，即，所以或，故过点且与曲线相切的直线有两条，其方程分别是和，即和. 16．(1)，(2) 解：（1）因为数列的前n项和，所以当时，；当时，，此时满足上式，故．因为数列的前n项和，所以当时，；当时，，此时满足上式， 故． （2）因为，所以，则，两式相减得， 化简得． 17．(1)证明见解析，(2) 【详解】（1）因为，所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. （2）由（1）可得，所以， 所以. 18．(1)的单调递减区间为：；递增区间为：，的极大值为，无极小值(2) 【详解】 （1）当时，，．令，，故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点即：0是在R上的唯一零点当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 0 极大值 的单调递减区间为：；递增区间为：的极大值为，无极小值 （2）由题意知，即，即，设，则，令，解得，当，，单调递增，当，，单调递减，所以， 所以 19．(1)，(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【详解】（1）函数，， . （2）（i）由（1）知，，又，可得， 而，则， 所以数列是首项为4，公比为4的等比数列，故，则，，从而，所以数列是首项为，公差为的等差数列. （ii）由（i）得，即有，， 于是，两式相减得，所以， 又对任意的，满足，可得恒成立，设， 则，当时，，即，当时，，即， 所以可得的最大值为，所以，即即可, 故的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$