11.3.1 平行直线与异面直线-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

11．3.1　平行直线与异面直线 知识点一　平行直线 1.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)判断C，D，F，E四点是否共面，为什么？ 解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH綊AD. 又BC綊AD， 所以GH綊BC， 所以四边形BCHG是平行四边形． (2)共面．理由：由BE綊FA，G为FA的中点知，BE綊FG， 所以四边形BEFG为平行四边形， 所以EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，所以EF∥CH， 所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面． 知识点二　等角定理 2．空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝40°，则∠A′B′C′的大小是________． 答案：40°或140° 解析：空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，因为AB∥A′B′，BC∥B′C′且∠ABC＝40°，所以∠A′B′C′＝40°或∠A′B′C′＝180°－40°＝140°. 3．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________． 答案：∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B 解析：由题可知∠D1DC与∠A1AB的两边分别对应平行，且方向相同，所以∠D1DC＝∠A1AB.∠D1C1C，∠A1B1B与∠A1AB的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠D1C1C＝∠A1AB，∠A1B1B＝∠A1AB. 知识点三　异面直线 4.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.故选C. 5．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________． 答案：②④ 解析：图①中，GH∥MN，因此GH与MN共面．图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面．图③中，连接MG，GM∥HN，因此，直线GH与MN共面．图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面． 知识点四　空间四边形 6.如图，空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝.若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH与FG间的距离为________cm. 答案：8 解析：设EH与FG间的距离为h cm，由题意得FG＝BD＝4 cm，EH＝BD＝3 cm，EH∥FG，故S梯形EFGH＝(EH＋FG)h＝28 cm2，即h＝28，∴h＝8. 7．已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)若∠HEF＝60°，AC＝6，BD＝8，求四边形EFGH的面积； (3)若AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形？ 解：(1)证明：在△ABD中， E，H分别为AB，AD的中点， ∴EH綊BD， 同理FG綊BD， ∴EH綊FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． (2)∵BD＝8， ∴EH＝4，同理由AC＝6，得EF＝3， ∴S▱EFGH＝EF×EHsin∠HEF＝3×4sin60°＝6. ∴四边形EFGH的面积为6. (3)∵AC＝BD，∴EF＝EH， 又由(1)知四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． 一、单选题 1．下列命题中正确的有(　　) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 解析：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；②正确；由空间平行线的传递性知③正确．故选C. 2．(2024·江苏高一期末)不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形(　　) A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形 C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似 答案：C 解析：根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等． 3．下列图形中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　) 答案：C 解析：A，B中，PQ∥RS；C中，点S，P，Q确定一个平面SPQM(如图)，R在平面SPQM外，所以直线PQ与RS是异面直线；D中，连接RP，SQ，易得RP∥SQ，所以S，R，P，Q四点共面，所以直线PQ与RS不是异面直线．故选C. 4．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 答案：D 解析：如图所示，直线a，b的位置关系是相交、平行或异面． 5.(2024·北京高一下期中)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，下列直线与BP始终异面的是(　　) A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C 答案：B 解析：对于A，如图1所示，连接B1D1，BD，当P为A1C1的中点时，P∈B1D1，因为BB1∥DD1，所以B，D，D1，B1四点共面，则BP，DD1在平面BDD1B1上，故A不符合题意；对于B，如图2所示，因为AC∥A1C1，所以A，C，C1，A1四点共面，P∈平面ACC1A1，B∉平面ACC1A1，P∉AC，所以AC与BP始终是异面直线，故B符合题意；对于C，如图3所示，当P与C1重合时，因为AD1∥BC1，所以AD1∥BP，故C不符合题意；对于D，如图4所示，当P与C1重合时，设B1C∩BC1＝O，则BP∩B1C＝O，故D不符合题意． 　 　 二、多选题 6．(2024·河南安阳高一下阶段考试)如图是一个正方体的展开图，将它还原为正方体之后，下列结论正确的是(　　) A．HG∥CD B．CD与EF异面 C．EF与AB异面 D．GH∥AB 答案：AC 解析：根据正方体的展开图画出正方体如图所示，可以看出，HG∥CD，CD与EF相交，EF与AB异面，GH与AB相交．故选AC. 7.一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，下列结论中正确的是(　　) A．直线AF与直线BQ是异面直线 B．直线BE与直线MN是异面直线 C．直线BQ与直线MN共面 D．直线BE与直线AF是异面直线 答案：BCD 解析：根据展开图，复原几何体，如图所示．对于A，因为F，M，N，Q分别为P1D，P4D，P4C，P3C的中点，所以FN∥CD，又AB∥CD，则FN∥AB，故F，N，A，B四点共面，故直线AF与直线BQ是共面直线，故A错误；对于B，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，且B∉MN，故直线BE与直线MN是异面直线，故B正确；对于C，N，Q重合，故直线BQ与直线MN共面，故C正确；对于D，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，且B∉MN，故直线BE与直线AF是异面直线，故D正确． 三、填空题 8．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________． 答案：135° 解析：由题意知α＝45°，α＋β＝180°，所以β＝135°. 9．P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，AC＝a，则DE的长为________． 答案：a 解析：如图，∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE并延长，分别交AB，BC于M，N点，则M，N分别为AB，BC的中点，∴DE綊MN，MN綊AC，∴DE綊AC，∴DE＝a. 10．如图，在过点A的三条不共面的射线上，AE∶EB＝AF∶FC＝AG∶GD＝3∶2，则△EFG与△BCD的面积之比为________． 答案： 解析：由题意，AE∶EB＝AF∶FC＝AG∶GD＝3∶2，故AE∶AB＝AF∶AC＝AG∶AD＝3∶5，则EF∥BC，FG∥CD，故△AEF∽△ABC，△AFG∽△ACD，则＝＝＝，由EF∥BC，FG∥CD，根据等角定理得∠EFG＝∠BCD，故＝＝＝. 四、解答题 11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形． 证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， ∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)， 又C′D′∥EF，∴C′D′∥AB， ∵G，H分别为AD′，BC′的中点， ∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)， ∴GH綊EF， ∴四边形EFGH为平行四边形． 12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 证明：如图，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点， 所以GF∥B1C. 又ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以CD∥AB且CD＝AB， A1B1∥AB且A1B1＝AB， 所以CD∥A1B1且CD＝A1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形， 所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG， 所以A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠FGE，∠A1C1D与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角， 所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1C1D＝∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. 13．(2024·湖南高一下期末)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，D，E，F分别为A1B1，B1C1，AA1的中点，过D，E，F作直三棱柱ABC－A1B1C1的截面，则截面的面积等于________． 答案： 解析：如图，取CC1的中点G，连接EG，FG，结合三棱柱的性质知，FG∥A1C1且FG＝A1C1，因为DE是△A1B1C1的中位线，所以DE∥A1C1且DE＝A1C1，所以DE∥FG且DE＝FG，所以D，E，G，F四点共面，则过D，E，F作直三棱柱ABC－A1B1C1的截面就是梯形DEGF.因为AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，所以由勾股定理得AC＝＝2，DF＝＝，EG＝＝，DE＝A1C1＝，FG＝A1C1＝2，则等腰梯形DEGF的高h＝＝，所以截面等腰梯形DEGF的面积S＝×＝. 14．(2024·上海高一期末)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 证明：连接AF，DF，BE，CE， 在△ABD和△DCA中，AB＝CD，AC＝BD，AD＝AD， ∴△ABD≌△DCA， 又E是AD的中点， ∴BE＝CE， 在△BEC中，F是BC的中点， ∴EF⊥BC， 同理EF⊥AD， ∴线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$