11.1.5 旋转体-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

11．1.5　旋转体 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的有关概念 1．下列命题正确的是(　　) A．梯形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆台 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱 C．圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 答案：D 解析：绕梯形的一边所在直线旋转得到的旋转体也可能是组合体；当两个平行截面不与圆柱的底面平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体不是圆柱；圆台的任意两条母线交于一点；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．故选D. 2．[多选]下列说法中正确的是 (　　) A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形 C．等腰直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥 D．圆台中平行于底面的截面是圆面 答案：ABD 解析：由圆柱、圆锥、圆台的几何特征，易知A，B，D正确；等腰直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥，若绕它的斜边所在直线旋转一周，则旋转后形成的几何体不是圆锥，而是两个圆锥的组合体，且这两个圆锥同底，C错误．故选ABD. 3．下列几何体中是旋转体的是(　　) ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④圆台；⑤四面体． A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④ 答案：D 解析：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④圆台是旋转体；⑤四面体是多面体．故选D. 知识点二　与圆柱、圆锥、圆台有关的计算问题 4．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 答案：B 解析：如图轴截面为矩形，所以面积为(2＋2)×5＝20.故选B. 5．若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 答案：B 解析：由题意，得圆锥的母线长为2，底面半径为1，底面周长为2π，则该圆锥的侧面积为×2π×2＝2π.故选B. 6．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的表面积为(　　) A．81π B．100π C．168π D．169π 答案：C 解析：先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长l＝＝＝5r＝10，∴r＝2，r′＝8.∴S侧＝π(r′＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πr′2＝100π＋4π＋64π＝168π. 知识点三　球的有关概念及基本性质 7．[多选]给出下列命题，其中正确的是(　　) A．过球面上任意两点只能作球的一个大圆 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．球面也可看作到定点的距离等于定长的所有点的集合 D．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所形成的曲面称为球面 答案：BCD 解析：过球的直径的两端点可作无数个大圆，故A不正确；由球及球面的概念可知B，C，D均正确．故选BCD. 知识点四　球的截面问题 8．若球的半径为10 cm，一个截面圆的面积是36π cm2，则球心到截面圆心的距离是(　　) A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 答案：C 解析：由截面圆的面积是36π cm2，得截面圆的半径为6 cm，由公式得d＝＝＝8(cm)．故选C. 知识点五　球的表面积与切接问题 9．点A，B，C，D均在同一球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝4，则该球的表面积为________． 答案：21π 解析：三棱锥A－BCD的三条侧棱两两垂直，所以可把它补为一个长方体，则该长方体的体对角线长等于球的直径d，即d＝＝，所以该球的表面积S＝4π×＝21π. 10.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与圆柱的侧面积之差． 解：由题意知，球的半径R＝4， 所以球的表面积为4πR2＝64π. 设圆柱的底面半径为r、高为h，则r2＋＝42， 得4r2＋h2＝64，即h2＝64－4r2， 所以圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π ＝2π＝4π ＝4π(0<r<4)， 所以当r2＝8，即r＝2时，圆柱的侧面积最大，最大值为32π. 此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π－32π＝32π. 一、单选题 1．下列命题中正确的个数为(　　) ①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③矩形的任意一条边所在直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱；④矩形绕任何一条直线旋转，都可以围成圆柱． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：根据圆柱的定义可知命题①③正确，命题②④错误．故选B. 2．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比为1∶3，则截面把圆锥的母线分为上、下两段的比是(　　) A．1∶3 B．1∶9 C．1∶ D．(1＋)∶2 答案：D 解析：由题意可知，截面半径与原圆锥底面半径之比为1∶，故截去小圆锥的母线与大圆锥的母线之比为1∶，截面把圆锥的母线分为上、下两段的比是1∶(－1)＝(1＋)∶2.故选D. 3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设圆柱的高为a，则S侧＝a2，设底面半径为r，则2πr＝a，∴r＝，∴S底＝π×＝，∴＝＝.故选A. 4．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是(　　) A．1 B．7 C．3或4 D．1或7 答案：D 解析：本题中两平行截面可在球心的同侧，也可在球心的两侧．若两个平行截面在球心的同侧，如图①所示，则CD＝－＝1；若两个平行截面在球心的两侧，如图②所示，则CD＝＋＝7.故选D. 5．(2024·内蒙古呼和浩特高一下阶段练习)若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为(　　) A. B．2 C. D．3 答案：C 解析：由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为l＝3，设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为α，则0<α≤，则截面面积为S＝l2sinα＝sinα，当α＝时，Smax＝.故选C. 二、多选题 6.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是(　　) 答案：AC 解析：当截面经过三棱锥的一条棱时，截面图形为A中图形；当截面平行于三棱锥的一个面时，截面图形为C中图形．故选AC. 7.(2024·河北唐山高一下期末)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4 cm，CD＝2AB，则下列说法正确的是(　　) A．该圆台的高为 cm B．该圆台轴截面的面积为24 cm2 C．该圆台轴截面的面积为12 cm2 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10 cm 答案：CD 解析：如图1，作BE⊥CD，交CD于点E，则CE＝＝2(cm)，则BE＝O1O2＝＝2(cm)，则圆台的高为2 cm，故A错误；圆台轴截面的面积为×(4＋8)×2＝12(cm2)，故B错误，C正确；将圆台的一半侧面展开，如图2，设P为AD的中点，把圆台补成圆锥，圆锥的一半侧面展开为扇形COD，可得大圆锥的母线长为8 cm，底面半径为4 cm，圆锥侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，连接CP，可得∠COP＝，OC＝8 cm，OP＝4＋2＝6(cm)，则CP＝＝10(cm)，所以沿着该圆台侧面从点C到AD中点的最短距离为10 cm，故D正确．故选CD. 三、填空题 8．圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为________． 答案：15π 解析：作圆锥轴截面如图，高AD＝4，底面半径CD＝3，则母线长AC＝5，得S侧＝π×3×5＝15π. 9．用一张(6×10) cm2的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积等于________，轴截面的周长等于________． 答案： cm2　 cm或 cm 解析：若圆柱的母线长为6，则底面直径为，轴截面的面积为 cm2，周长为 cm；若圆柱的母线长为10，则底面直径为，轴截面的面积为 cm2，周长为 cm. 10.如图，球O的半径为2，圆O1是球O的一个小圆，OO1＝，A，B是圆O1上两点．若∠AO1B＝，则A，B两点间的球面距离为________． 答案： 解析：连接OA，OB，AB(图略)．因为O1O＝，OA＝OB＝2，由勾股定理得O1A＝O1B＝，又∠AO1B＝，则AB＝2，所以在△AOB中，OA＝OB＝AB＝2，则△AOB为等边三角形，那么∠AOB＝.由弧长公式得A，B两点间的球面距离为×2＝. 四、解答题 11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°. (1)写出圆台上、下底面的位置关系； (2)求这个圆台的高、母线长和底面半径． 解：(1)圆台的上、下底面相互平行． (2)圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，连接O′O，过A′作AB的垂线，垂足为D. 在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm， 所以A′D＝AD＝2x(cm)， 又S轴截面＝(A′B′＋AB)×A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)， 所以x＝7. 综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14(cm)，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm. 12．设圆锥的底面半径为2，高为3，求： (1)内接正方体的棱长； (2)内切球的表面积． 解：(1)过圆锥的顶点和正方体上、下底面的对角线作圆锥的一个轴截面，如图． 设正方体的棱长为a， 则O′C′＝a，O′O＝a， ∵△VO′C′∽△VOF， ∴VO′∶VO＝O′C′∶OF， 即(3－a)∶3＝a∶2，∴a＝18－24. (2)作圆锥的一个轴截面，如图，设内切球的半径为R. VB＝＝， ∵△VOC∽△VBD， ∴VO∶OC＝VB∶BD. ∵OC＝OD， ∴VO∶OD＝VB∶BD， 则(3－R)∶R＝∶2，解得R＝(－2)， ∴S球＝4πR2＝4π×(－2)2＝(17－4)π. 13.(2024·上海松江高一期末)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CC1的中点，△BPD1以BD1为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是________． 答案：2π 解析：由题意知，△BPD1为等腰三角形，且BD1＝2，PD1＝PB＝，所以△BPD1以BD1为轴旋转一周，得到的旋转体是以BD1为中心轴，PD1和PB分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，可得圆锥的底面半径为＝，所以旋转体的表面积S＝2πrl＝2π. 14.(2024·山东高一下期中)已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°，若△PAB的面积为2. (1)求该圆锥的侧面积； (2)求该圆锥内切球的表面积； (3)求该圆锥内接正四棱柱的侧面积的最大值． 解：(1)设圆锥的母线长、底面半径分别为l(l>0)，r(r>0)， 因为圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°，所以l2＋l2＝(2r)2，解得l＝r， 又cos∠APB＝，所以sin∠APB＝ ＝＝， 又△PAB的面积为2， 所以S△PAB＝PA·PBsin∠APB＝l2×＝2，解得l＝4(负值舍去)， 又l＝r，所以r＝2， 所以圆锥的侧面积S＝×2πr×l＝π×2×4＝8π. (2)作出轴截面如图所示， 根据圆锥的性质可知，内切球的球心在PO上，设球心为G，球切PA于点D， 设内切球的半径为R，即GO＝GD＝R，则△POA∽△PDG， 所以＝， 由(1)可知，圆锥的高PO＝AO＝2，PA＝4， 则有＝，解得R＝4－2， 所以该圆锥内切球的表面积S＝4πR2＝4π(4－2)2＝96π－64π. (3)由(1)知圆锥的高 h1＝r＝2， 令正四棱柱的底面边长为a，高为h2，0<h2<2， 则HG＝a，PO1＝h1－h2＝2－h2， 由＝，得＝， 所以a＝(2－h2)， 所以正四棱柱的侧面积S侧＝4ah2＝4(2－h2)h2≤4＝8，当且仅当2－h2＝h2，即h2＝时，等号成立， 所以该圆锥内接正四棱柱的侧面积的最大值为8. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$