11.1.4 棱锥与棱台-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

11．1.4　棱锥与棱台 知识点一　棱锥及其相关概念 1．下面图形中，为棱锥的是(　　) A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①② 答案：C 解析：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体称为棱锥，显然①②④满足棱锥的定义，③不满足棱锥的定义，所以①②④是棱锥，③不是棱锥． 2．关于棱锥，下列叙述正确的是(　　) A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面 C．六棱锥的顶点有六个 D．任何棱锥都只有一个底面 答案：D 解析：对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，六棱锥的顶点有七个，故C错误；对于D，根据棱锥的定义，D正确．故选D. 知识点二　棱台及其相关概念 3．[多选]棱台具有的性质是(　　) A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后交于一点 答案：ABD 解析：棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到的，棱锥的侧棱长不一定都相等，所以棱台的侧棱长也不一定都相等．A，B，D正确．故选ABD. 4．下列命题中正确的个数是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台； ②用一个平面去截棱台便可得到两个棱台； ③仅有一组对面平行的五面体是棱台； ④棱台的侧面一定不会是平行四边形． 答案：1 解析：用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，故①错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱台才能得到两个棱台，故②错误；仅有一组对面平行的五面体可以是三棱柱，故③错误；棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故④正确．故正确命题的个数为1. 知识点三　棱锥中的计算问题 5．一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为(　　) A．2 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为底面正三角形的高为×3＝，其重心到顶点的距离为×＝，且正三棱锥的高为，所以利用勾股定理可得侧棱长为＝3.故选C. 6.已知棱长均为5，各侧面均为正三角形的四棱锥S－ABCD如图所示． (1)写出直线SA与直线BC，平面SAD与平面SDC之间的关系； (2)求此棱锥的侧面积、表面积． 解：(1)直线SA与直线BC异面，平面SAD与平面SDC相交， 且平面SAD∩平面SDC＝SD. (2)如图，取AB的中点E， 连接SE，则SE⊥AB， 所以S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝4××5×＝25， S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)． 知识点四　棱台中的计算问题 7．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为(　　) A．80 B．240 C．320 D．640 答案：B 解析：由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，等腰梯形的高为＝8，∴等腰梯形的面积S′＝×(4＋16)×8＝80，∴棱台的侧面积S＝3S′＝3×80＝240.故选B. 8．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是3 cm，则棱台的高是(　　) A．12 cm B．9 cm C．6 cm D．3 cm 答案：D 解析：上、下底面面积比为上、下底面边长比的平方，从而由面积比可得底面边长的比，上、下底面边长的比与截去棱锥和原棱锥高的比相等，从而可求得原棱锥的高，即可得棱台的高．设原棱锥的高为h cm，依题意可得＝，解得h＝6，所以棱台的高为6－3＝3(cm)．故选D. 一、单选题 1.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 答案：B 解析：剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.故选B. 2．下列命题中，真命题的个数是(　　) ①棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③棱台的上、下底面为正多边形，则该棱台为正棱台． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：棱柱被平行于底面的平面分成的两部分都是棱柱，故①正确；在三棱锥P－ABC中，若有AB＝BC＝AC＝PA＝PB＝2，PC＝1，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故②错误；棱台的上、下底面为正多边形，且正多边形的中心连线和底面垂直，则该棱台是正棱台，故③错误．故选B. 3．已知一正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，高为3，则此正四棱台的侧面积是(　　) A．24 B．24 C．12 D．18 答案：A 解析：易得正四棱台的斜高为＝，则正四棱台的侧面积为4××(4＋8)×＝24.故选A. 4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为(　　) A．32 B．48 C．64 D. 答案：A 解析：如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于点O，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高，则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32.故选A. 5．(2024·上海高一月考)已知侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D．都不对 答案：A 解析：如图，由已知，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，AB＝a，在Rt△PAB中，PA2＋PB2＝AB2＝a2，所以PA＝PB＝PC＝a，所以此棱锥的表面积是a2sin60°＋××3＝a2＋a2＝a2.故选A. 二、多选题 6．用一个平面去截四棱锥，可能得到(　　) A．棱锥 B．棱柱 C．棱台 D．四面体 答案：ACD 解析：用平行于底面的平面截四棱锥可得到一个四棱台和一个四棱锥．用经过一个顶点和底面对角线上两个顶点的平面截四棱锥得到两个四面体，不能得到棱柱．故选ACD. 7．正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则下列说法正确的是(　　) A．该正六棱台的上底面面积是6 cm2 B．该正六棱台的侧面积是15 cm2 C．该正六棱台的表面积是(60＋24) cm2 D．该正六棱台的高是3 cm 答案：ACD 解析：由图可知该正六棱台的上底面由6个边长为2 cm的等边三角形组成，所以该正六棱台的上底面面积为S上＝6××2×2×sin60°＝6 cm2，故A正确；如图，在正六棱台ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，因为A1B1＝2 cm，AB＝6 cm，AA1＝5 cm，所以侧面的梯形ABB1A1的高即正六棱台斜高，为＝，所以S梯形ABB1A1＝×(2＋6)×＝4 cm2，故正六棱台的侧面积为S侧＝6×4＝24 cm2，故B错误；正六棱台的下底面面积为S下＝6××6×6×sin60°＝54 cm2，所以该正六棱台的表面积是S侧＋S上＋S下＝(60＋24) cm2，故C正确；正六棱台的高为OO1＝＝3 cm，故D正确．故选ACD. 三、填空题 8．下列命题中正确的是________(填序号)． ①棱台的底面一定是平行四边形； ②棱锥的底面一定是三角形； ③棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥； ④由正棱锥截得的棱台为正棱台． 答案：④ 解析：根据棱台、棱锥的性质及截面性质判断． 9．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为6，12，侧面积为135，则它的高为________． 答案：4 解析：正三棱台的两个底面的边长分别为6，12，则其上、下底面的中心到对应底面边长的距离分别为6××＝3，12××＝6，设棱台的高为h，则其侧面的高为＝，故正三棱台的侧面积S＝3××(6＋12)×＝135，解得h＝4. 10．在侧棱长为2的正三棱锥P－ABC中，∠APB＝40°，E，F分别是PB，PC上的点，过点A，E，F作截面AEF，则△AEF周长的最小值是________． 答案：6 解析：将正三棱锥的三个侧面展开，如图，则当E，F分别为AA1与PB，PC交点时，△AEF的周长最小，最小值为2APcos30°＝2×2×＝6. 四、解答题 11.如图，正六棱锥的底面周长为24，H是BC的中点，O为正六边形ABCDEF的中心，∠SHO＝60°. (1)写出直线SH与直线EF，直线SO与平面ABCDEF之间的关系； (2)求该正六棱锥的高、斜高及侧棱长． 解：(1)直线SH与直线EF异面，直线SO与平面ABCDEF垂直，即SO⊥平面ABCDEF. (2)∵正六棱锥的底面周长为24， ∴正六棱锥的底面边长为4. 在正六棱锥S－ABCDEF中， ∵H是BC的中点，∴SH⊥BC. 如图，连接OB，OC， 易知△OBC为等边三角形， ∴OB＝BC＝4， ∴OH＝OBsin60°＝2， ∵∠SHO＝60°， ∴高SO＝OHtan60°＝6. 在Rt△SOH中，斜高SH＝2OH＝4. 在Rt△SOB中，SO＝6，OB＝4， ∴侧棱长SB＝＝2. 12．正三棱台A′B′C′－ABC上底面面积为4，下底面面积为64，上底面中心为O′，下底面中心为O，过O′O的三等分点分别作平行于底面的截面，求各截面面积． 解：将三棱台A′B′C′－ABC还原为三棱锥S－ABC，则有＝＝. ∴＝，∴O′O＝SO. 设平面A1B1C1、平面A2B2C2将O′O三等分． 则易得S△A1B1C1＝16，S△A2B2C2＝36. 即各截面面积分别为16，36. 13.(2024·广西河池高一下期末)某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD－A′B′C′D′挖去一个四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD－A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝8，AA′＝6，那么该模型的表面积为________． 答案：288＋8 解析：由题意可得OE＝OF＝OG＝OH＝＝5，HG＝FG＝EF＝EH＝＝4，所以S△OHG＝S△OFG＝S△OEF＝S△OEH＝×4×＝2，故该模型的表面积为S＝8×8＋8×6×4＋×4×4×4＋4×2＝288＋8. 14.(2024·河南南阳高一期末)如图，在正三棱锥A－BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，E，F分别为AC，AD上的动点，求截面△BEF周长的最小值和这时点E，F的位置． 解：展开三棱锥得如图所示五边形ABCDB′，连接BB′，分别交AC，AD于点E，F， 则此时△BEF的周长最小，为BB′， 由题意易知△ABE≌△AB′F，则AE＝AF⇒∠AEF＝∠AFE⇒∠AEF＝∠AFE＝∠ACD＝∠ADC⇒EF∥CD， 且∠BEC＝∠AEF＝∠ACD＝∠BCE， 所以△BEC∽△ACD⇒＝＝⇒EC＝a，BE＝a＝B′F， 由EF∥CD⇒＝⇒EF＝×CD＝a，＝＝， 故当E，F分别为线段AC，AD上靠近C，D的一个四等分点时， 截面△BEF的周长最小，最小值为BE＋EF＋FB′＝a＋a＋a＝a. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$