11.1.3 多面体与棱柱-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

11．1.3　多面体与棱柱 知识点一　与多面体有关的概念 1．下列几何体中，不属于多面体的是(　　) A．三棱柱 B．四棱锥 C．长方体 D．球 答案：D 解析：多面体是由若干个平面多边形所围成的封闭几何体，而球不是由平面围成的，故不是多面体．故选D. 2.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则正二十面体的顶点的个数为(　　) A．30 B．20 C．12 D．10 答案：C 解析：解法一：由图可知，正二十面体的顶点的个数为12. 解法二：因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每条棱被2个三角形共用，即1个面对应条棱，所以共有×20＝30条棱，所以由顶点数－棱数＋面数＝2，得顶点数＝棱数＋2－面数＝30＋2－20＝12. 知识点二　棱柱的概念的理解 3．[多选]下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面中相邻面的公共边都互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 答案：ABD 解析：A，B，D正确；棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，C错误．故选ABD. 4．关于如图所示的三个几何体，下列说法正确的是(　　) A．只有①是棱柱 B．只有②③是棱柱 C．只有①②是棱柱 D．只有①③是棱柱 答案：D 解析：解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形．图①③满足棱柱的定义，图②不满足侧面都是平行四边形，故选D. 5．下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 答案：B 解析：棱柱的侧面都是平行四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；棱柱的各条棱并不都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，D不正确．故选B. 知识点三　与棱柱有关的计算问题 6．长方体的三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为(　　) A．7 B. C．3 D．6 答案：B 解析：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，则则abc＝24，得因此长方体的体对角线长为＝.故选B. 7.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E分别是CC1，BC的中点，AE＝DE.求： (1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长； (2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积． 解：(1)由题意BE＝EC＝1，DE＝AE＝2×sin60°＝， 根据正三棱柱得CC1⊥BC， 在Rt△ECD中，CD＝＝＝， 又D是CC1的中点， 故正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2. (2)底面积为S1＝2S△ABC＝2××2×＝2，侧面积为S2＝3S四边形BB1C1C＝3×2×2＝12. 所以正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积为S＝S1 ＋S2＝12＋2. 知识点四　多面体的展开图问题 8．[多选]下列图形中，是三棱柱展开图的是(　　) 答案：ABD 解析：C中展开图的两个小三角形在侧面展开图的同侧，不是三棱柱的展开图．故选ABD. 9.如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________． 答案： 解析：将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1的长即为最短路程，即AD1＝＝. 一、单选题 1.如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原)，则这个多面体的顶点个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 解析：此多面体如图所示．故这个多面体的顶点个数为7.故选B. 2．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　) A．22 B．20 C．10 D．11 答案：A 解析：长方体的表面积为2×(1×2＋1×3＋2×3)＝22.故选A. 3．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为3，则它的表面积是(　　) A．36＋18 B．36＋9 C．36＋9 D．36＋18 答案：A 解析：设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则解得a＝3，b＝3，则表面积为4ab＋2a2＝36＋18.故选A. 4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为(　　) A.ab B.ab C．(＋)ab D.ab 答案：C 解析：如图，由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形，侧面BB1C1C为矩形．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∴BC＝a.∴S矩形BCC1B1＝a·b＝ab.∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，∴点B到直线AA1的距离为asin60°＝a.∴S四边形AA1C1C＝S四边形AA1B1B＝ab.∴S侧＝2×ab＋ab＝(＋)ab.故选C. 5．(2024·浙江衢州期末)用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为(　　) ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤圆． A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 答案：C 解析：用一个平面去截一个正方体，A，B，C，D，E，F分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示．故选C. 二、多选题 6．下列命题中正确的是(　　) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是矩形的直四棱柱是长方体 答案：CD 解析：由棱柱的定义可以知道，所有棱柱的侧面四边形都是平行四边形，但底面多边形可以是任意凸多边形，即四棱柱的底面只是一个四边形，而平行六面体则要求底面是一个平行四边形，A错误；直平行六面体是在平行六面体的基础上，对侧棱有了与底面垂直的要求，但底面仍可以是平行四边形，B错误；六个面都是矩形的六面体是长方体，C正确；底面是矩形的直四棱柱是长方体，D正确．故选CD. 7．有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的体对角线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D. 答案：BD 解析：分两种情况求解：①若正四棱柱的高为8，则底面边长为1，此时体对角线长为＝；②若正四棱柱的高为4，则底面边长为2，此时体对角线长为＝2.故选BD. 三、填空题 8．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 答案：12 解析：棱柱有10个顶点，则该棱柱有5条侧棱，所以每条侧棱长为12 cm. 9.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的形状为________． 答案：四边形 解析：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN即为平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形． 10.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm. 答案：13 解析：如图，将正三棱柱沿侧棱展开，再拼接一次，由图可知所求最短路线的长为＝13(cm)． 四、解答题 11.如图，若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为2 cm，最长的对角线长为5 cm. (1)写出直线AA1与直线CD，直线AA1与平面ABCDEF，平面ABCDEF与平面A1B1C1D1E1F1之间的关系； (2)求正六棱柱的侧棱长及其表面积． 解：(1)直线AA1与直线CD异面， 直线AA1与平面ABCDEF垂直，即AA1⊥平面ABCDEF， 平面ABCDEF与平面A1B1C1D1E1F1平行， 即平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1. (2)由正六棱柱的特点可知，它最长的对角线有6条，分别为AD1，BE1，CF1，DA1，EB1，FC1，它们的长度都是5 cm，连接AD，因为正六棱柱的侧棱DD1垂直于底面，所以∠D1DA＝90°， 又易知AD＝4 cm，所以DD1＝＝3(cm)，即正六棱柱的侧棱长为3 cm. 正六棱柱的侧面积为6×2×3＝36(cm2)，正六棱柱的一个底面的面积为6××2×＝6(cm2)， 故正六棱柱的表面积为(36＋12) cm2. 12.如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为所在棱的中点，D为正方体的顶点．若正方体的棱长为2，求封闭折线ABCDA的长． 解：如图，AB＋BC＋CD＋DA＝＋＋＋＝＋2＋，即封闭折线ABCDA的长为＋2＋. 13．(2024·上海高一月考)正三棱柱ABC－A1B1C1的底边长和侧棱长都是2，M为AB的中点，N为CC1的中点，则在棱柱表面上，从M到N的最短路程是________． 答案： 解析：如图1，三棱柱表面由M到N的展开图有如下情况：第一种情况：如图2，当MN过BB1时，MN＝＝；当MN过AA1时，与MN过BB1时一样，MN＝； 　 第二种情况：如图3，当MN过AC时，NC＝1，CM＝，∠NCM＝90°＋30°＝120°，MN＝＝，当MN过BC时，与MN过AC时一样，MN＝，因为>，所以从M到N的最短路程是. 14.(2024·河北保定高一期中)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为正三角形，且侧棱垂直于底面，AB＝2，AA1＝2，从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点为M. 求：(1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图的对角线长； (2)从B经过M到达C1的最短路线长及此时的值． 解：(1)沿侧棱BB1将三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开，得到一个矩形BB1B′1B′(如图)． 矩形BB1B′1B′的长为BB′＝6，宽为BB1＝2. 所以三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图的对角线长为＝2. (2)由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从B经过M到达C1的路线最短， 所以最短路线长为BC1＝＝2. 因为AB∥A1C1且AB＝A1C1， 所以∠ABM＝∠A1C1M，∠BAM＝∠C1A1M， 所以△ABM≌△A1C1M， 所以AM＝A1M， 所以从B经过M到达C1的最短路线长为2，此时＝1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$