11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

11．1.2　构成空间几何体的基本元素 知识点一　空间中的点、线、面 1．[多选]在如图所示长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　) A．长方体的顶点一共有8个 B．线段AA1所在的直线是长方体的一条棱 C．矩形ABCD为长方体的一个面 D．长方体由六个平面围成 答案：AC 解析：长方体一共有8个顶点，故A正确；长方体的一条棱为线段AA1，故B错误；矩形ABCD为长方体的一个面，故C正确；长方体由六个矩形及其内部围成，故D错误．故选AC. 2．给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面． 其中说法正确的是________(填序号)． 答案：②③ 解析：球只由一个曲面围成，故①错误，②③正确；由于几何体是空间图形，故一定有面，④错误． 知识点二　用符号表示点、线、面的关系 3．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)AC∩BD＝________； (2)平面ABB1A1∩平面 A1B1C1D1＝________； (3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________． 答案：(1)O　(2)A1B1　(3)B1 解析：由图形可知，AC∩BD＝O，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，A1B1∩B1B∩B1C1＝B1. 4．用符号表示下列点、线、面之间的关系． (1)直线l经过平面α外的一点P； (2)直线l与直线m相交于平面α内的一点N； (3)直线BC与平面α交于点C，平面α经过直线AC，直线BD平行于平面α. 解：(1)P∈l，P∉α. (2)l∩m＝N，N∈α. (3)BC∩α＝C，AC⊂α，BD∥α. 知识点三　空间中点、线、面的位置关系 5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列点、线、面间的关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)与直线AD垂直的平面有________； (4)与直线AB平行的平面有________； (5)平面DCC1D1外到其距离相同的顶点有________． 答案：(1)平行　(2)异面　(3)平面ABB1A1，平面DCC1D1　(4)平面A1B1C1D1，平面DCC1D1　(5)A，B，A1，B1 解析：(1)直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，没有交点，故A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C在两个平面内，且不相交，故直线A1B与直线B1C异面． (3)正方体中，与AD垂直的平面有平面ABB1A1，平面DCC1D1. (4)AB与平面A1B1C1D1，平面DCC1D1无交点，故AB∥平面A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1. (5)顶点A，B，A1，B1到平面DCC1D1的距离相等，且均等于棱长． 6．下列说法中正确的是________(写出所有正确说法的序号)． ①两直线无公共点，则两直线平行； ②两直线若不是异面直线，则必相交或平行； ③与平面不平行且不在平面内的直线，与平面内的任一直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． 答案：② 解析：对于①，两直线无公共点，可能平行，也可能异面；对于②，由两直线的位置关系知其正确；对于③，与平面不平行且不在平面内的直线和平面相交，该直线与平面内经过线面交点的直线是相交直线而不是异面直线；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线． 知识点四　直线与平面垂直 7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AA1＝3 cm，则 (1)点A到平面DCC1D1的距离为________； (2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为________； (3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为________． 答案：(1)4 cm　(2)6 cm　(3)3 cm 解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点A到平面DCC1D1的距离为AD＝BC＝4 cm. (2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为AB＝6 cm. (3)因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面平行，所以平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为AA1＝3 cm. 一、单选题 1．下列说法正确的是(　　) A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形 B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分 C．一条直线和一个平面一定会有公共点 D．平面可向四周无限延展 答案：D 解析：平面是可无限延伸的，故A，B错误，D正确；当直线与平面平行时没有公共点，故C错误．故选D. 2．如图所示，用符号语言可表述为(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∉α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∉α，A∈m，A∈n 答案：A 解析：由图形可知，α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A或表示为A∈m，A∈n.故A正确． 3．若直线l与平面α不平行，则(　　) A．l与α相交 B．l⊂α C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对 答案：C 解析：直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.故选C. 4．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 答案：D 解析：分别在两个互相平行的平面内的两条直线没有公共点，故平行或异面．故选D. 5．(2024·重庆高一下期末)下列说法正确的是(　　) A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 答案：D 解析：对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任意三点不共线，故A错误；对于B，空间四点中任意三点不共线，如三棱锥的四个顶点，此四点不共面，故B错误；对于C，空间四点中任意三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形，故C错误；对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾，故D正确．故选D. 二、多选题 6．(2024·河南安阳高一期末)下列图形中，不满足α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB的图形是(　　) 答案：ABD 解析：可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断．对于A，不满足a⊂α；对于B，不满足b⊂β；对于C，满足条件；对于D，不满足a∥AB，b∥AB.故选ABD. 7．若a表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的是(　　) A．直线a在平面α内，即a与α有无数个公共点 B．直线a不在平面α内，即a与α有一个公共点 C．直线a不在平面α内，即a与α没有公共点 D．a与α的关系可分为a在α内或a不在α内 答案：AD 解析：直线a不在平面α内，则直线a与平面α平行或相交，即a与α无公共点或有一个公共点，故B，C错误，显然A，D正确．故选AD. 三、填空题 8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱A1A既不平行也不相交的棱有________条． 答案：4 解析：与棱A1A平行的棱有3条，相交的有4条，故既不平行也不相交的棱有4条． 9.在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与CC′垂直的平面有______________． 答案：3　平面ABCD，平面A′B′C′D′ 解析：平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．与CC′垂直的平面有平面ABCD，平面A′B′C′D′. 10．给出下列说法： ①a∥α，b⊂α，则a∥b； ②a∩α＝P，b⊂α，则a与b不平行； ③a⊄α，则a∥α； ④a∥α，b∥α，则a∥b. 其中说法错误的是________(填序号)． 答案：①③④ 解析：对于①，a与b还可能异面，故①错误；对于②，易判断是正确的；对于③，直线a还可能与平面α相交，故③错误；对于④，a与b可能相交、平行或异面，故④错误． 四、解答题 11．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为和2，A，B在平面α内的射影之间的距离为，求线段AB的长． 解：考虑两种情况： 当A，B两点在平面α的同侧时， 线段AB的长为＝2； 当A，B两点在平面α的异侧时， 线段AB的长为＝2 . 综上，线段AB的长为2或2. 12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中： (1)与直线A1C1异面的直线有哪些？ (2)直线B1D1与平面ABCD的位置关系是什么？用合适的符号表示； (3)与AB垂直的平面有哪些？用合适的符号表示． 解：(1)与直线A1C1异面的直线有DD1，BB1，AB，BC，CD，AD. (2)直线B1D1与平面ABCD平行， 即B1D1∥平面ABCD. (3)与AB垂直的平面有平面BCC1B1，平面ADD1A1， 即AB⊥平面BCC1B1，AB⊥平面ADD1A1. 13．(2024·山西大同高一期末)线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′. (1)该长方体的高为________cm； (2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________ cm； (3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm. 答案：(1)3　(2)4　(3)5 解析：如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，所以长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm. 14．(2024·河北沧州高一期中)给出如下点、线、面的图示． (1)如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系？ (2)如何用数学符号语言表述上述关系？ 解：(1)文字语言：图1中，点A在平面α外，点B在平面α内，直线l经过点A，B，直线l与平面α相交． 图2中，平面α和β相交于直线a，直线b经过α内不在直线a上的点P且经过β内不在直线a上的点Q. (2)数学符号语言：图1中，A∉α，B∈α，A∈l，B∈l，l∩α＝B. 图2中，α∩β＝a，P∉a，Q∉a，P∈α，Q∈β，P∈b，Q∈b，b∩α＝P，b∩β＝Q. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$