11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

11．1.1　空间几何体与斜二测画法 知识点一　空间几何体的简单认识 1．下列哪个物体给我们以圆柱的形象？(　　) 答案：C 解析：A中物体给我们以圆锥的形象；B中物体给我们以正方体的形象；C中物体给我们以圆柱的形象；D中物体给我们以球的形象．故选C. 知识点二　用斜二测画法作平面图形的直观图 2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′＝(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 答案：C 解析：在画直观图时，∠A′的两边分别平行于x′轴、y′轴，∠x′O′y′＝45°或135°.故选C. 3．[多选]下列关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(　　) A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是平行四边形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 答案：CD 解析：由斜二测画法规则可知，与y轴平行(或重合)的线段长度减半，与x轴平行(或重合)的线段长度不变，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故C，D正确．故选CD. 4.按如图的建系方法，用斜二测画法画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图． 解：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H. (2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD. (4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，及点O′，G′，H′便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)． 知识点三　用斜二测画法作立体图形的直观图 5．用斜二测画法画出棱长为3 cm的正方体的直观图． 解：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝3 cm，AD＝ cm. (2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝3 cm. (3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1(如图①)，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形(如图②)就是所求的正方体的直观图． 知识点四　直观图的还原与计算问题 6.如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1 cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是(　　) A．8 cm B．6 cm C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm 答案：A 解析：由直观图还原出平面图形，则平面图形为如图所示的平行四边形OABC，其中OA＝1 cm，OB＝2 cm，所以AB＝＝3(cm)，所以原图形的周长l＝2(OA＋AB)＝2×(1＋3)＝8(cm)．故选A. 7．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为________． 答案：16或64 解析：当边长为4的边与x′轴平行(或重合)时，正方形的边长为4，面积为16；当边长为4的边与y′轴平行(或重合)时，正方形的边长为8，面积为64. 8．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长为4的菱形的直观图的面积是________． 答案：2 解析：菱形的面积为2××42＝8，所以其直观图的面积为×8＝2. 一、单选题 1．观察图中的立体图形，它们的名称分别为(　　) A．四棱锥、球、圆柱、圆锥 B．圆锥、圆柱、球、四棱锥 C．圆锥、球、圆柱、四棱锥 D．圆柱、球、四棱锥、圆锥 答案：C 解析：根据几何体的特征，可得它们的名称分别为圆锥、球、圆柱、四棱锥．故选C. 2.如图所示为一个平面图形的直观图(A′D′∥B′C′，A′D′＝B′C′)，则原四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 答案：D 解析：根据直观图可知，AB，CD与横轴平行，AB∥CD，且AB＝CD，所以原四边形ABCD为平行四边形，又边AD，BC与纵轴平行，所以原四边形ABCD为矩形． 3．如图是水平放置的四边形ABCD的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是(　　) A．28 B．14 C．14 D．7 答案：A 解析：因为A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，所以原图形是一个直角梯形，如图所示．又A′D′＝4，所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.故选A. 4.(2024·辽宁高一下期末)用斜二测画法画出水平放置的平面图形△OAB的直观图为如图所示的△O′A′B′，已知O′D′＝D′B′＝D′A′＝A′B′＝2，则△OAB的面积为(　　) A．4 B．2 C．8 D．4 答案：A 解析：因为O′D′＝D′B′＝D′A′＝A′B′＝2，所以△O′A′B′是直角三角形且∠O′B′A′＝90°，可得O′B′＝2，所以△O′A′B′的面积S′＝O′B′·A′B′＝2，则△OAB的面积S＝2S′＝4.故选A. 5．已知两个圆锥底面重合在一起(底面平行于水平面)，若其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　) A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm 答案：D 解析：圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间的距离为2＋3＝5(cm)，因为在直观图中与z轴平行的线段长度不变，所以仍为5 cm.故选D. 二、多选题 6．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是(　　) A．原来相交的线段仍相交 B．原来垂直的线段仍垂直 C．原来平行的线段仍平行 D．原来共点的线段仍共点 答案：ACD 解析：根据斜二测画法，原来垂直的x轴和y轴，直观图中x′轴与y′轴的夹角为45°或135°，故B错误，A，C，D正确．故选ACD. 7.(2024·河北邢台高一下期末)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图可知，下列结论中正确的是(　　) A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BC C．AB⊥BC D．AC>AD>AB>BC 答案：CD 解析：由直观图知△ABC为直角三角形，在平面直角坐标系中如图所示，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D为BC的中点，又A1B1＝B1C1，故A，B错误，C，D正确．故选CD. 三、填空题 8.水平放置的△ABC的斜二测画法直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________． 答案： 解析：原图是AC＝3，BC＝4的直角三角形，故斜边上的中线长为＝. 9.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到x′轴的距离为________． 答案： 解析：点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d，而O′A′＝OA＝1，∠C′O′A′＝45°(或135°)，所以d＝O′A′＝. 10．在等腰梯形ABCD中，上底边CD＝1，AD＝CB＝，下底边AB＝3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图A′B′C′D′的面积为________． 答案： 解析：等腰梯形ABCD的高为1，而直观图A′B′C′D′仍为梯形，其高为sin45°＝，故面积为×(1＋3)×＝. 四、解答题 11．用斜二测画法画出边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． 解：解法一：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，BC边上的高线AO所在的直线为y轴． (2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm， 在y′轴上截取O′A′＝OA＝ cm， 连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示． 解法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，BC边上的高AO所在的直线为x轴． (2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上截取O′A′＝OA＝2 cm， 在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1 cm， 连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示． 12．(2024·上海高一期中)用斜二测画法画长、宽、高分别为5 cm，3 cm，3 cm的长方体的直观图． 解：(1)先建立如图所示的空间直角坐标系，其中∠xOy＝45°，∠xOz＝90°； (2)在x轴的正半轴上截取线段OA＝5 cm，在y轴的正半轴上截取线段OB＝1.5 cm， 过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，交点为C，平行四边形OBCA为长方体的底面的直观图； (3)在z轴的正半轴上截取OD＝3 cm，过B，C，A分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取BE＝CF＝AH＝3 cm； (4)顺次连接D，H，F，E. 由上述4步则可得如图所示的长、宽、高分别为5 cm，3 cm，3 cm的长方体的直观图． 13.(2024·山东烟台高一期中)如图，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝1，B′C′＝2，则△ABC的面积为________． 答案：2 解析：根据斜二测画法的规则，可得水平放置的△ABC的原图，如图所示，由A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，且A′D′＝1，B′C′＝2，可得BC＝2，AD＝2，且AD⊥BC，所以△ABC的面积为S＝·BC·AD＝2. 14．已知△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图． (1)若△A′B′C′是边长为x的正三角形，求△ABC的面积； (2)若△ABC的面积为S，则△A′B′C′的面积是多少？ 解：(1)由直观图与原图之间的关系可得S△ABC＝x·＝x2. (2)设△ABC的底边长为a，底边上的高为h，则面积为S＝ah，在直观图中， a′＝a，h′＝hsin45°＝h， 所以△A′B′C′的面积为S′＝a′h′＝a×h＝×ah＝S. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$