10.3 复数的三角形式及其运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

知识点一　复数的辐角主值 1．复数z＝sinθ－icosθ的辐角主值是(　　) A．θ－ B．π－θ C．2π－θ D．θ＋ 答案：A 解析：复数z＝sinθ－icosθ＝sin(π－θ)＋icos(π－θ)＝cos＋isin＝cos＋isin，由<θ<π，得0<θ－<，故此复数的辐角主值为θ－.故选A. 知识点二　复数的三角形式与代数形式互化 2．复数－i的三角形式是(　　) A．cos－isin B．sinπ＋icosπ C．cos＋isin D．cos＋isin 答案：C 解析：∵－i的模为r＝|－i|＝1，－i的辐角主值为，∴－i的三角形式是－i＝cos＋isin. 3．把下列复数的代数形式与三角形式进行互化： (1)z1＝－isin40°； (2)z2＝－5＋5i； (3)z3＝2； (4)z4＝6. 解：(1)因为－isin40°在复平面内所对应的点在y轴负半轴上，所以易知|z1|＝sin40°，argz1＝270°， 则z1＝sin40°(cos270°＋isin270°)． (2)z2＝－5＋5i＝5＝5. (3)z3＝2＝2＝－＋i. (4)z4＝6＝6＝－3－3i. 知识点三　复数三角形式的乘法及其几何意义 4．计算3(cos15°＋isin15°)×2(cos75°＋isin75°)＝(　　) A．3i B．3i＋2 C．6i D．6i＋3 答案：C 解析：3(cos15°＋isin15°)×2(cos75°＋isin75°)＝6(cos90°＋isin90°)＝6i.故选C. 5．已知z1＝，z2＝cos＋isin，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释． 解：z1z2＝＝cos＋isin ＝cos＋isin＝i. 首先作与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再保持其长度不变，这样得到一个长度为，辐角为的向量，即为积z1z2＝i所对应的向量． 知识点四　复数三角形式的除法及其几何意义 6．计算4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝(　　) A.＋i B．－＋i C．2＋i D．－2＋i 答案：B 解析：4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝2(cos150°＋isin150°)＝2＝－＋i.故选B. 7．在复平面内，把与复数4＋4i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转15°，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示)． 解：与所得向量对应的复数为(4＋4i)÷(cos15°＋isin15°)＝8(cos60°＋isin60°)÷(cos15°＋isin15°)＝8[cos(60°－15°)＋isin(60° －15°)]＝8(cos45°＋isin45°)＝8＝4＋4i. 知识点五　复数三角形式的综合应用 8．已知复数z＝－i，ω＝＋i，复数，z2ω3在复平面内所对应的点分别为P，Q，证明：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)． 证明：∵z＝－i＝cos＋isin， ∴z3＝－i. 又ω＝＋i＝cos＋isin，∴ω4＝－1. 从而＝·＝＝i. 故＝1，即|OP|＝|OQ|且与的夹角为.∴△OPQ是等腰直角三角形． 一、单选题 1．下列复数用三角形式表示的是(　　) A．3(sin40°＋isin40°) B．3(cos40°－isin40°) C．－3(cos40°＋isin40°) D．3(cos40°＋isin40°) 答案：D 解析：复数的三角形式表示为z＝r(cosθ＋isinθ)，参考四个选项，只有D满足．故选D. 2．设模为2，辐角为的复数z满足z3＋a＝0，那么a＝(　　) A．2i B．－2i C．8i D．－8i 答案：D 解析：由题意，得z＝2，则有a＝－z3＝－23＝－8i.故选D. 3．化简：＝(　　) A．cos10θ＋isin10θ B．sin10θ＋icos10θ C．sin3θ＋icos3θ D．cos3θ＋isin3θ 答案：A 解析：＝ ＝＝ ＝＝cos10θ＋isin10θ. 4．(2025·江苏高一阶段练习)已知复数z＝，则z3＝(　　) A.＋i B.－i C.－i D.＋i 答案：D 解析：因为z＝，所以z3＝2＝＋i.故选D. 5．设复数z1＝2sinθ＋icosθ在复平面内对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数z2＝r(cosφ＋isinφ)，则tanφ＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知，将向量绕原点O按逆时针方向旋转后得到向量，则z1＝r(cosφ＋isinφ)×＝r.又z1＝2sinθ＋icosθ，所以所以tan＝，所以＝，所以tanφ＝.故选A. 二、多选题 6．下列所给复数中，辐角主值是的是(　　) A．－＋i B．－3＋i C.－i D．－2＋2i 答案：AB 解析：若argz＝，则复数z在复平面内对应的点必在第二象限，C不满足题意；－＋i＝2＝2，A满足题意；－3＋i＝2＝2，B满足题意；－2＋2i＝4＝4×，D不满足题意．故选AB. 7．(2024·山东泰安高一下期末)把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，则复数z1的代数形式和它的辐角分别是(　　) A．－－i， B．－＋i， C．－－i， D．－＋i， 答案：BD 解析：由题意可知z1＝z2，又z2＝－1－i＝2，则z1＝＝＝2＝2＝2＝－＋i，可知z1的辐角主值为，故可以作为复数－＋i的辐角的是＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，＋2π＝.故选BD. 三、填空题 8．复数z＝log1＋|1＋i|i的三角形式是________． 答案： 解析：∵|1＋i|＝＝，∴z＝log1＋|1＋i|i＝i，∴z在复平面内对应点的坐标为(0，)，∴z的辐角主值为，∴z的三角形式是. 9．已知z的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是________． 答案： 解析：z的辐角主值是，则z＝r＝r，r>0，所以共轭复数＝r＝r，则共轭复数的辐角主值是. 10．已知z1＝(1－i)，z2＝sin－icos，则z1z2＝________，＝________． 答案：－i　－i 解析：因为z1＝cos＋isin，z2＝cos＋isin，所以z1z2＝cos＋isin＝－i，＝cos＋isin＝－i. 四、解答题 11．已知z1＝(cos20°＋isin20°)，z2＝(cos50°＋isin50°)，z3＝(cos80°＋isin80°)，计算： (1)z1z2z3；(2)z；(3)；(4). 解：(1)z1z2z3＝10(cos20°＋isin20°)(cos50°＋isin50°)(cos80°＋isin80°) ＝10(cos70°＋isin70°)(cos80°＋isin80°) ＝10(cos150°＋isin150°)＝－5＋5i. (2)z＝5(cos20°＋isin20°)3＝5(cos60°＋isin60°)＝＋i. (3)＝＝(cos30°＋isin30°)＝＋i. (4)＝ ＝＝. 12．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式． (1)z1＝－1＋i；(2)z2＝－－i. 解：(1)复数z1＝－1＋i对应的向量如图1所示， 则r1＝＝， cosθ＝－＝－. ∵与z1＝－1＋i对应的点位于第二象限，∴argz1＝. 故z1＝－1＋i＝. (2)复数z2＝－－i对应的向量如图2所示， 则r2＝ ＝1，cosθ＝－. ∵与z2＝－－i对应的点位于第三象限，∴argz2＝， 故z2＝－－i＝cos＋isin. 13．(2024·浙江温州高一下期中)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系．试用欧拉公式计算＝________． 答案：－1 解析：由题设可知，cos＋isin＝e，所以＝(e)10＝eπi，则eπi＝cosπ＋isinπ＝－1. 14．(2024·四川雅安高一下期末)已知f(z)＝－1，且f(z1－z2)＝4＋4i，若z1＝2－2i. (1)求复数z1＝2－2i的三角形式及复数z1的辐角主值argz1； (2)求. 解：(1)z1＝2－2i＝2＝2，则argz1＝. (2)设z2＝x＋yi(x，y∈R)，而z1＝2－2i，则z1－z2＝(2－x)－(y＋2)i， 又f(z)＝－1，于是f(z1－z2)＝(1－x)＋(y＋2)i＝4＋4i， 则解得即z2＝－3＋2i， 因此＝＝－5＋4i， 所以＝＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$