10.2.1 复数的加法与减法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

10．2.1　复数的加法与减法 知识点一　复数的加法及其几何意义 1．设z1＝1－i，z2＝a＋2ai(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则有(　　) A．a＝1 B．a＝ C．a＝0 D．a＝－1 答案：D 解析：∵复数z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝a＋1＋(2a－1)i是纯虚数，∴a＋1＝0，2a－1≠0，∴a＝－1.故选D. 2．已知复数z1对应的向量的终点在第二象限，复数z2对应的向量的终点在第二象限，那么复数z1＋z2对应的向量的终点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：根据题意结合向量加法运算的平行四边形法则知复数z1＋z2对应的向量的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也在第二象限．故选B. 3．在复平面内，复数－1＋i，0，3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为(　　) A．5 B. C. D. 答案：B 解析：对应的复数为－1＋i，对应的复数为3＋2i，∵＝＋，∴对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD的长为.故选B. 知识点二　复数的减法及其几何意义 4．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．故选B. 5．[多选]若z∈C，且|z|＝1＋3i－z，则下列说法正确的是(　　) A．|z|＝5 B．z＝4－3i C．z＝－4＋3i D.＝4－3i 答案：AC 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝1＋3i－a－bi＝(1－a)＋(3－b)i，∴解得∴z＝－4＋3i.|z|＝＝5，＝－4－3i.故选AC. 6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以所以 所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 7.平行四边形的顶点A，B，C所对应的复数分别为i，1，4＋2i(A，B，C，D按逆时针方向排列)． (1)求对应的复数； (2)求对应的复数； (3)求对应的复数； (4)求点D的坐标． 解：(1)∵＝－， ∴对应的复数为i－1. (2)∵＝－， ∴对应的复数为4＋2i－1＝3＋2i. (3)∵＝＋， ∴对应的复数为i－1＋3＋2i＝2＋3i. (4)∵＝＋， ∴对应的复数为1＋2＋3i＝3＋3i， ∴点D的坐标为(3，3)． 知识点三　复数加减法几何意义的应用 8．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案：A 解析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点到△ABC的顶点 A，B，C的距离相等，故z对应的点是△ABC的外心． 9．复平面内三点A，B，C分别对应复数1，2i，5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案：A 解析：|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴△ABC是直角三角形．故选A. 10．已知集合M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________． 答案：{0，－2} 解析：在复平面内，|z＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，1为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点A(0，1)和点B(0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴．M∩N的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数，故z＝0或z＝－2，所以M∩N＝{0，－2}． 一、单选题 1．计算(5－2i)－(－1＋i)＋5i＝(　　) A．6＋4i B．6－2i C．2＋6i D．6＋2i 答案：D 解析：原式＝5－2i＋1－i＋5i＝6＋2i.故选D. 2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝(　　) A．－1＋2i B．－2－2i C．1＋2i D．1－2i 答案：B 解析：由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i.故选B. 3．已知a，b∈R，(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，则ab＝(　　) A．－4 B．7 C．－8 D．6 答案：D 解析：因为(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，即(a＋2)＋2i＝5＋bi，所以解得所以ab＝6. 4．(2024·辽宁高一下期末)如果复数z满足z＋|z|＝2＋4i，那么z＝(　　) A．－3＋4i B．3＋4i C．－5＋4i D．5＋4i 答案：A 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则z＋|z|＝a＋bi＋＝a＋＋bi＝2＋4i，所以b＝4，a＋＝2，所以a2＋16＝(2－a)2＝a2－4a＋4，解得a＝－3，所以z＝－3＋4i.故选A. 5．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为(　　) A．2 B．4 C．4 D．16 答案：C 解析：由|z－4i|＝|z＋2|，z＝x＋yi(x，y∈R)，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，整理，得x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.故选C. 二、多选题 6．(2024·湖南益阳高一下期中)复数z满足z＝a＋bi(a，b∈R)且a＋bi＋2a－2bi＝9＋4i，则(　　) A．z＝3＋4i B．z＝3－4i C．z的虚部为－4 D．z的实部为－3 答案：BC 解析：因为a＋bi＋2a－2bi＝3a－bi＝9＋4i，所以解得所以z＝3－4i，其虚部为－4，实部为3，故B，C正确，A，D错误．故选BC. 7．已知z1，z2∈C，|z1|＝5，|z2|＝13，且z1＋5i为纯虚数，z1＋z2为实数，则下列说法正确的是(　　) A．z1＝－5i B．z2＝±12－5i C．z1＋2＝12＋10i D．|z1＋z2|＝12 答案：BD 解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，且a，b，c，d∈R，∵z1＋5i＝a＋(b＋5)i为纯虚数，且|z1|＝5，∴解得∴z1＝5i，A错误；∵z1＋z2＝5i＋c＋di＝c＋(d＋5)i为实数，且|z2|＝13，∴∴∴z2＝±12－5i，B正确；∵2＝±12＋5i，∴z1＋2＝±12＋10i，C错误；∵z1＋z2＝±12，∴|z1＋z2|＝12，D正确．故选BD. 三、填空题 8．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的两点，O为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB为________． 答案：直角三角形 解析：由复数的加、减法的几何意义可知，当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，∠AOB＝90°，则△AOB为直角三角形． 9．设a为非零实数，则 (1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z是________； (2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z是________． 答案：(1)纯虚数或零　(2)实数 解析：(1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z在复平面内对应的点的集合是点(－a，0)与点(a，0)所连线段的垂直平分线，即复数z在复平面内对应的点在虚轴上，复数z是纯虚数或零． (2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z在复平面内对应的点的集合是点(0，－a)与点(0，a)所连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在实轴上，复数z一定是实数． 10．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面内对应的点的集合所表示的图形是________． 答案：一条直线 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，得 ＝，化简可得y＝x，所以复数z在复平面内对应的点的集合所表示的图形是一条直线． 四、解答题 11．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 解：∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i， ∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝＋(m2－2m－15)i. ∵z1＋z2为虚数， ∴m2－2m－15≠0且m≠－2， 解得m≠5且m≠－3且m≠－2(m∈R)． ∴m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)． 12．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i. (1)求对应的复数； (2)求对应的复数； (3)求平行四边形ABCD的面积． 解：(1)由于＝＋＝＋，所以＝－. 故对应的复数为z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i. (2)由于＝－＝－， 所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)因为＝＝(－1，2)，＝＝(4，3)， 所以cos∠DAB＝＝＝. 因此sin∠DAB＝＝. 于是平行四边形ABCD的面积 S＝||||sin∠DAB＝×5×＝11. 13．(2024·河北高一下期中)若复数z1，z2满足|z1－5－7i|＝1，|z2＋i|＝|z2－i|，则|z1－z2|的最小值为________． 答案：6 解析：由|z1－5－7i|＝1可知，z1对应的点是以A(5，7)为圆心，1为半径的圆．由|z2＋i|＝|z2－i|可知，z2对应的点是以B(0，1)，C(0，－1)为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴．|z1－z2|的最小值为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径，为6. 14．(2024·湖北恩施高一下期末)设z＝a＋bi(a，b∈R)，且4a＋4bi＋2a－2bi＝3＋i，又w＝sinθ－icosθ，求复数z和|z－w|的取值范围． 解：因为4a＋4bi＋2a－2bi＝3＋i， 所以6a＋2bi＝3＋i， 所以所以 所以z＝＋i， 所以z－w＝－(sinθ－icosθ) ＝＋i， 所以|z－w|＝ ＝ ＝ ＝， 因为－1≤sin≤1， 所以0≤2－2sin≤4，得0≤|z－w|≤2. 故z＝＋i，|z－w|的取值范围是[0，2]． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$