10.1.1 复数的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

10．1.1　复数的概念 知识点一　复数的概念 1．下列命题中正确的是(　　) A．0是实数不是复数 B．实数集与复数集的交集是实数集 C．复数集与虚数集的交集是空集 D．任何数的偶数次幂都不小于零 答案：B 解析：对于A，0是实数也是复数，A不正确；对于B，实数集与复数集的交集是实数集，B正确；对于C，复数集与虚数集的交集是虚数集，C不正确；对于D，由i2＝－1可知，D不正确．故选B. 2．复数z＝－2i＋i2，则复数z的虚部为(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 答案：A 解析：因为z＝－2i＋i2＝－2i－1，则复数z的虚部为－2. 3．以－＋7i的虚部为实部，i＋5i2的实部为虚部的复数是(　　) A．7－5i B．－＋i C．5＋i D.＋i 答案：A 解析：设所求复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知－＋7i的虚部为7，所以a＝7，i＋5i2＝－5＋i的实部为－5，所以b＝－5，故z＝7－5i. 知识点二　复数的分类 4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 答案：A 解析：由复数z为纯虚数，可知解得x＝－1.故选A. 5．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“b≠0”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由纯虚数的概念可知，若复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0且b≠0，故“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“b≠0”的充分不必要条件． 6．复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时， (1)z∈R； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数． 解：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零，所以有 由②得x＝4，经验证满足①. 所以当x＝4时，z∈R. (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零， 所以有 解得 即<x<4或x>4. 所以当<x<4或x>4时，z为虚数． (3)因为一个复数是纯虚数，则其实部为零且虚部不为0， 所以有 解得无解． 所以复数z不可能是纯虚数． 知识点三　复数相等 7．若a，b，c，d∈R，则复数a＋|b|i与c－|d|i相等的充要条件是________． 答案：a＝c且b＝d＝0 解析：由两个复数相等的充要条件，得 所以 8．已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a－b＝________． 答案：－ 解析：依题意，得解得所以a－b＝－－＝－. 9．求满足下列条件的实数x，y的值： (1)xi－i2＝y＋2i； (2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i； (3)(2x－1)－(3－y)i＝0. 解：(1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根据复数相等的充要条件可得 (2)根据复数相等的充要条件可得 解得或 (3)由于0＝0＋0i，则根据复数相等的充要条件可得解得 一、单选题 1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　) A．M∪R＝I B．(∁IM)∪R＝I C．(∁IM)∩R＝R D．M∩(∁IR)＝∅ 答案：C 解析：根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示． 所以应有M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)＝M≠∅，故A，B，D均错误，只有C正确．故选C. 2．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝(　　) A．0 B．2 C．5 D．1 答案：D 解析：由题意，得解得则a2＋b2＝1.故选D. 3．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．－1 答案：B 解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，所以解得a＝2.故选B. 4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为(　　) A．2 B．0 C．1 D．无解 答案：A 解析：因为复数与0可以比较大小，所以复数(m2－1)＋(m2－2m)i是实数，则解得m＝2.故选A. 5．(2024·江苏南通高一开学考试)复数z＝sin＋icos的实部与虚部分别为(　　) A.， B.， C.，i D.，i 答案：A 解析：因为z＝sin＋icos＝＋i，所以复数z的实部与虚部分别为，.故选A. 二、多选题 6．(2024·江苏泰州高一下期中)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则下列结论中错误的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若z＝3－2i，则a＝3，b＝2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．若a＝b＝0，则z不是复数 答案：ABD 解析：当a＝0，b＝0时，a＋bi为实数，故A错误；若z＝3－2i，则a＝3，b＝－2，故B错误；若b＝0，则a＋bi为实数，故C正确；若a＝b＝0，则z是实数，故D错误．故选ABD. 7．下列复数不可能与复数＋i(a∈R)相等的是(　　) A．－2i B．a2＋i C．3－a2i D．1＋a2i 答案：AC 解析：复数＋i的虚部为1，对于A，复数的虚部为－2，所以＋i≠－2i；对于B，当＝a2，即a＝1时，a2＋i＝＋i；对于C，－a2＝1(a∈R)，无解，所以3－a2i≠＋i；对于D，令a2＝1，解得a＝±1，当a＝1时，1＋a2i＝＋i.故选AC. 三、填空题 8．给出下列复数：①－2i，②3＋，③8i2，④isinπ，⑤4＋i.其中表示实数的是________(填序号)． 答案：②③④ 解析：②显然为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数． 9．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a的值为________． 答案：11或－ 解析：设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，所以解得或所以实数a的值为11或－. 10．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，那么自然数m，n的和为________． 答案：1 解析：因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有由①得m＝0或m＝3.当m＝0时，代入②得0<n<2，又m＋n>0，n为自然数，所以n＝1；当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．综上可得，m＝0，n＝1，所以自然数m，n的和为1. 四、解答题 11．设m∈R，复数z＝2m2－3m－2＋(m2－3m＋2)i.试求m为何值时，z分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)当z为实数时，有m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2. 即当m为1或2时，z为实数． (2)当z为虚数时，有m2－3m＋2≠0，解得m≠1且m≠2. 即当m≠1且m≠2时，z为虚数． (3)当z为纯虚数时，有 解得m＝－，即当m＝－时，z为纯虚数． 12．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且满足(M∩N)M，M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，　① 或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，　② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.　③ 由①得a＝－3，b＝±2，当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}，符合题意；当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不符合题意． 由②得a＝±3，b＝－2，当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意；当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不符合题意． ③中，a，b无整数解，不符合题意． 综上，a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2. 13．(2024·山东聊城高一下期中)已知复数z1＝cosθ－(λ－2sinθ)i(λ，θ∈R)，z2＝t－(3＋t2)i(t∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围为________． 答案：[1，5] 解析：因为z1＝cosθ－(λ－2sinθ)i(λ，θ∈R)，z2＝t－(3＋t2)i(t∈R)，z1＝z2， 则化简整理，可得λ＝－(sinθ－1)2＋5，当sinθ＝－1时，λ取得最小值，为1，当sinθ＝1时，λ取得最大值，为5，故λ的取值范围为[1，5]． 14．(2024·河南平顶山高一下期末)已知复数z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sinθ＋(2cosθ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π]． (1)若z1，z2∈R且z1>z2，求t的值； (2)若z1＝z2，求θ. 解：(1)因为z1，z2∈R，所以 解得t＝±1，cosθ＝－， 因为θ∈[0，π]， 所以z2＝sinθ＝＝， 当t＝－1时，z1<z2，不符合题意；当t＝1时，满足z1>z2. 综上，t＝1. (2)若z1＝z2，则 所以sin2θ－1＝2cosθ＋1， 即－cos2θ＝2cosθ＋1， 所以cos2θ＋2cosθ＋1＝0， 即(cosθ＋1)2＝0， 解得cosθ＝－1， 又因为θ∈[0，π]， 所以θ＝π. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$