9.1.2 余弦定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

9．1.2　余弦定理 知识点一　已知两边及其夹角解三角形 1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝(　　) A. B. C．3 D．4 答案：A 解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，∴c＝.故选A. 2．在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求最大边c的取值范围． 解：∵在钝角三角形ABC中，c为最大边， ∴cosC＜0，即a2＋b2－c2＜0. ∴c2＞a2＋b2＝5，∴c＞. 又c＜b＋a＝3，∴＜c＜3，即最大边c的取值范围是(，3)． 知识点二　已知两边及一边对角解三角形 3．在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则b＝(　　) A．5 B．8 C．5或－8 D．－5或8 答案：B 解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0.∵b＞0，∴b＝8.故选B. 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，且b＜c，则b＝(　　) A. B．2 C．2 D．3 答案：B 解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.∵b＜c，∴b＝2.故选B. 知识点三　已知三边解三角形 5．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B＝(　　) A．30° B.45° C．60° D.120° 答案：C 解析：由余弦定理，得cosB＝＝＝，又0°<B<180°，所以B＝60°.故选C. 6．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围是________． 答案： 解析：∵a是最大的边，∴A>.∵a2<b2＋c2，∴cosA＝>0，∴A<.故角A的取值范围是. 知识点四　余弦定理的综合应用 7．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：D 解析：∵·＝||||cos〈，〉，由向量模的定义和余弦定理可得||＝3，||＝2，cos〈，〉＝＝，故·＝3×2×＝.故选D. 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，lg b＋lg ＝lg sinA＝－lg ，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：D 解析：因为lg b＋lg ＝lg sinA＝－lg ，所以lg ＝lg sinA＝lg ，所以c＝b，且sinA＝.因为A为锐角，所以A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋2b2－2b×b×＝b2，所以a＝b，所以B＝，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形．故选D. 9．[多选]已知f(x)＝12sincosx－3，x∈，CD为△ABC的内角平分线，AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，CD＝2，则下列说法正确的是(　　) A．AC＝6 B．BC＝3 C．C＝ D．△ABC为直角三角形 答案：ABD 解析：∵f(x)＝12sincosx－3＝12cosx－3＝3sin2x＋3(1＋cos2x)－3＝6sin，x∈，∴2x＋∈，∴sin∈，∴f(x)＝6sin∈[3，6]，∴f(x)max＝6，f(x)min＝3，∴AC＝6，BC＝3，故A，B正确；在△ACD中，＝，在△BCD中，＝，∵sin∠ADC＝sin∠BDC，AC＝6，BC＝3，∴AD＝2BD.在△BCD中，BD2＝17－12cos，在△ACD中，AD2＝44－24cos＝68－48cos，∴cos＝，又C∈(0，π)，∴C＝，∴△ABC为直角三角形，故C不正确，D正确．故选ABD. 10．(2024·湖北省云学联盟部分重点高中高一联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2c－b)cosA－acosB＝0. (1)求A； (2)若点M在BC上，且满足＝，AM＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(1)∵(2c－b)cosA－acosB＝0， ∴2ccosA＝acosB＋bcosA，由余弦定理， 得2ccosA＝a·＋b·， 即2ccosA＝c， 又c>0， ∴cosA＝， ∵A∈(0，π)， ∴A＝. (2)∵＝， ∴＝(＋)， ∴2＝(2＋2·＋2)， 又AM＝2， ∴4＝， ∴16＝c2＋b2＋bc≥2bc＋bc＝3bc， ∴bc≤，当且仅当b＝c＝时，等号成立， ∴△ABC的面积S＝bcsinA≤××＝， 即△ABC面积的最大值为. 一、单选题 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若sinA∶sinB∶sinC＝4∶3∶2，则cosA的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：因为sinA∶sinB∶sinC＝4∶3∶2，所以由正弦定理可得，a∶b∶c＝4∶3∶2，可设a＝4x，b＝3x，c＝2x(x>0)，由余弦定理可得，cosA＝＝＝－. 2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．5 答案：D 解析：∵23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，∴cosA＝±.∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，又a＝7，c＝6，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即49＝b2＋36－b，∴b＝5或b＝－(舍去)，∴b＝5.故选D. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c＝a＋b，C＝，△ABC的面积为，那么c＝(　　) A.－1 B. C.＋1 D．2＋1 答案：C 解析：因为△ABC的面积为，C＝，所以absin＝，即ab＝6.又c2＝a2＋b2－2abcos，2c＝a＋b，所以c2＝4c2－12－6，即c2＝4＋2，所以c＝＋1.故选C. 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案：D 解析：由＝及余弦定理，得＝，即＝，所以由正弦定理，得＝，所以有sin2A＝sin2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D. 5．(2024·浙江高一下期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，b＝4，C＝2B，则△ABC的面积为(　　) A. B. C．3 D．2 答案：C 解析：∵＝，sinC＝sin2B＝2sinBcosB，∴c＝＝＝2bcosB，即cosB＝，由余弦定理，得cosB＝＝，解得c＝2，∴cosB＝，∵B∈(0，π)，∴sinB＝＝＝，∴S△ABC＝×6×2×＝3.故选C. 二、多选题 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝5，cosC＝－，则(　　) A．c＝7 B．C为最大角 C．cosB＝ D．S△ABC＝2 答案：BCD 解析：在△ABC中，因为a＝3，b＝5，cosC＝－，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋25－2×3×5×＝36，解得c＝6，故A错误；因为c>b>a，所以C为最大角，故B正确；cosB＝＝＝，故C正确；因为sinC＝＝＝，所以S△ABC＝absinC＝×3×5×＝2，故D正确．故选BCD. 7．(2024·河南南阳高一下期中)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，则(　　) A．△ABC的周长是5＋ B．BC边上的中线长是 C．BC边上的角平分线长是 D．BC边上的高是 答案：ACD 解析：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，所以由余弦定理得 BC＝＝＝，所以△ABC的周长是2＋3＋＝5＋，故A正确；设BC边上的中线为AD，则2＝＋，两边平方，可得42＝2＋2＋2·＝22＋32＋2×2×3×，解得||＝，故B错误；设BC边上的角平分线为AE，则∠BAE＝∠CAE＝，由S△ABC＝S△BAE＋S△CAE得AB·ACsin∠BAC＝AB·AEsin＋AC·AEsin，所以×2×3×sin60°＝×2×AEsin30°＋×3×AEsin30°，解得AE＝，故C正确；设BC边上的高为AH，因为AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，BC＝，所以S△ABC＝×2×3×＝××AH，解得AH＝，故D正确．故选ACD. 三、填空题 8．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________． 答案： 解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，得c＝. 9．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________． 答案： 解析：∵cosC＝＝，又0<C<π，∴sinC＝.∴AD＝ACsinC＝. 10．已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b2＋c2－a2＝bc.若a＝，cosC＝，则b＝________，△ABC的面积为________． 答案：1＋　 解析：由b2＋c2－a2＝bc，得cosA＝＝，∵0＜A＜π，∴A＝.∵cosC＝，∴sinC＝＝.由正弦定理，知＝，∴c＝＝＝，∴b2＋－()2＝b，解得b＝1＋或b＝－1＋(舍去)，∴△ABC的面积为absinC＝×××＝. 四、解答题 11．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，b＝2，求c的值． 解：(1)由已知可得cosA＝＝＝－， 又0°<A<180°，∴A＝120°. (2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，将a＝2，b＝2，cosA＝－代入可得12＝4＋c2－4c×， 即c2＋2c－8＝0，∴c＝－4(舍去)或c＝2， ∴c的值为2. 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且cosB＝. (1)求＋的值； (2)设·＝，求a＋c的值． 解：(1)由cosB＝及0<B<π， 得sinB＝＝. 由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC. 于是＋＝＋ ＝＝＝＝＝. (2)由·＝得cacosB＝， 由cosB＝，可得ca＝2，即b2＝2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB， 得a2＋c2＝b2＋2accosB＝5， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9， ∵a＋c＞0，∴a＋c＝3. 13．(2024·上海黄浦高一下期中)在△ABC中，若AC＝2，B＝，且sinAsinC＝，则△ABC的周长为________． 答案：2＋ 解析：设△ABC外接圆的半径为R.由正弦定理可得＝2R＝，故sinAsinC＝＝＝，所以ac＝，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，所以4＝(a＋c)2－2×－2××，可得(a＋c)2＝，则a＋c＝，则△ABC的周长为2＋. 14．(2024·重庆市高三上调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S＝c2. (1)若A＝，b＝1，求c； (2)若a>b，求的最大值，并判断此时△ABC的形状． 解：(1)由S＝bcsinA＝c2，得c＝bsinA＝1×＝. (2)由absinC＝c2，得c2＝absinC， ＝＋＝2cosC＋2sinC＝2sin， 所以的最大值为2， 此时C＝，a2＋b2＋c2＝2ab，c2＝ab， 所以a2＋b2－ab＝0⇒(b－a)＝0，b＝a(舍去)或b＝a， 从而c＝a， 故△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$