11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步 11.1　空间几何体 11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　柱体的体积 1．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积为S，那么该圆柱的体积为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 4 2．斜三棱柱ABC－A1B1C1的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离为6，则这个棱柱的体积为________． 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 7 5.如图，设E，F分别是给定正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1和CD上的任意点．求证：三棱锥E－ABF的体积是定值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 8 知识点三　台体的体积 6．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 10 8．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 11 知识点五　割补法求几何体的体积 9.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 13 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 4.(2024·湖北高一期末)被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫 愁村，位于湖北省钟祥市．高高的塔楼，是整个莫愁村最高的 建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底．塔楼的主体为砖石 砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下 底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积约 为(　　) A．2400立方米 B．1520立方米 C．1530立方米 D．2410立方米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 不会 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 9．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的______倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_____倍． 解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，当圆柱的底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也扩大为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积扩大为原来的42＝16倍．　 4 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 四、解答题 11.现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，求仓库的容积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，求该几何体的体积(其中∠BAC＝30°)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 14．(2024·四川广安高一下期中)如图是一个正四棱台ABCD－A1B1C1D1的石料，上、下底面的边长分别为20 cm和40 cm，高为30 cm，上、下底面的中心分别为O1，O. (1)求四棱台ABCD－A1B1C1D1的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少还需要准备多少水泥？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 37 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：设圆柱的高为h，则底面半径为eq \f(h,2).由题意得S＝πh2，得h＝eq \r(\f(S,π))，所以V＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2))) eq \s\up12(2)·h＝eq \f(S,4) eq \r(\f(S,π)). 解析：如图所示，将斜三棱柱ABC－A1B1C1补成平行六面体ABCD－A1B1C1D1，因为三棱柱ABC－A1B1C1与三棱柱ACD－A1C1D1等底等高，故V三棱柱ABC－A1B1C1＝V三棱柱ACD－A1C1D1.设侧面BB1C1C的面积为10，AA1到侧面BB1C1C的距离为6，则平行六面体BB1C1C－AA1D1D的底面积为10，高为6.所以V平行六面体＝10×6＝60.所以V三棱柱ABC－A1B1C1＝eq \f(1,2)V平行六面体＝eq \f(1,2)×60＝30. 知识点二　锥体的体积 3．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是(　　) A．9eq \r(55)π B．9eq \r(55) C．3eq \r(55)π D．3eq \r(55) 解析：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝eq \r(82－32)＝eq \r(55)，∴V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h＝3eq \r(55)π.故选C. 4．设正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面中心)的底面边长为1，侧棱长为eq \r(5)，那么它的体积为(　　) A．6eq \r(3) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．2 解析：由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为eq \r(5)，可知高h＝2，又因为底面积S＝eq \f(3\r(3),2)，所以体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(3),2)×2＝eq \r(3).故选B. 证明：设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a. 因为AB∥CD，所以当点F在CD上移动时，它与AB的距离不变，为a，则S△FAB＝eq \f(1,2)AB·a＝eq \f(1,2)a2，为定值． 又因为正方体的棱C1D1与下底面平行，所以C1D1上任意一点到下底面的距离都等于a，V三棱锥E－ABF＝eq \f(1,3)aS△FAB＝eq \f(1,6)a3，为定值． 所以三棱锥E－ABF的体积是定值．　 解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则上底面的面积为πr2＝π，所以r＝1，下底面的面积为πR2＝4π，所以R＝2，所以侧面积为π(R＋r)l＝6π，所以l＝2，所以h＝eq \r(3)，所以V＝eq \f(1,3)(π＋eq \r(π×4π)＋4π)×eq \r(3)＝eq \f(7\r(3)π,3). eq \f(7\r(3)π,3) 知识点四　球的体积 7．已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为(　　) A.eq \f(4π,3) B．4eq \r(3)π C.eq \f(24\r(6)π,3) D.eq \f(8\r(2)π,3) 解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则球的直径等于正方体的面对角线长，为2eq \r(2)，所以球的半径是eq \r(2)，所以此球的体积为eq \f(4,3)π×(eq \r(2))3＝eq \f(8\r(2)π,3).故选D. 解：如图，设截面圆的圆心为O1， 则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径． ∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48. 在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2， 即R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)R)) eq \s\up12(2)＋48，∴R＝8 cm， ∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)， ∴V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(2048π,3)(cm3)． 故球的表面积为256π cm2，体积为eq \f(2048π,3) cm3. 解析：该柱体可分割为一个底面半径为2，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为1的圆柱的一半，故该几何体的体积为π×22×2＋eq \f(1,2)×π×22×1＝10π.故选D. 10.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的几何体的体积为(　　) A.eq \f(2π,3) B.eq \f(4π,3) C.eq \f(5π,3) D．2π 解析：将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的几何体是一个圆柱中间去掉一个圆锥．圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，故几何体的体积为π×12×2－eq \f(1,3)×π×12×1＝eq \f(5π,3).故选C. 一、单选题 1．圆台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则圆台的体积是(　　) A．18＋6eq \r(2) B．6＋2eq \r(2) C．24 D．18 解析：V＝eq \f(1,3)(S＋eq \r(SS′)＋S′)h＝eq \f(1,3)(2＋eq \r(2×4)＋4)×3＝6＋2eq \r(2).故选B. 2．(2024·湖北武汉高一期中)某圆锥的母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥的体积为(　　) A.eq \f(3π,8) B.eq \f(π,8) C.eq \f(\r(3)π,8) D.eq \f(\r(3)π,24) 解析：设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的高为h，依题意，eq \f(πr,\f(1,2)×2r×h)＝2π，解得h＝eq \f(1,2)，所以r＝eq \r(1－\f(1,4))＝eq \f(\r(3),2).该圆锥的体积为eq \f(1,3)π×eq \f(3,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(π,8).故选B. 3．球面上有三点A，B，C，且AB＝3，BC＝4，AC＝5，又球心到平面ABC的距离为半径的eq \f(1,3)，那么该球的体积为(　　) A.eq \f(1125\r(2)π,64) B.eq \f(64\r(2)π,3) C.eq \f(1125\r(3)π,64) D.eq \f(64\r(3)π,3) 解析：因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，过A，B，C三点的截面圆的半径为eq \f(1,2)AC＝eq \f(5,2)，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,3))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))) eq \s\up12(2)＝R2，得R2＝eq \f(225,32)，R＝eq \f(15\r(2),8)，所以该球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(1125\r(2)π,64).故选A. 解析：由题意，正四棱台的上底面边长约为8米，下底面边长约为12米，高约为15米，可得正四棱台的上底面面积约为64平方米，下底面面积约为144平方米，则塔楼主体的体积约为V＝eq \f(1,3)×(64＋144＋eq \r(64×144))×15＝1520立方米．故选B. 5.(2024·陕西汉中高一期中)如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝eq \f(\r(34),3)，则该正四棱台的体积为(　　) A.eq \f(112,9) B.eq \f(140,9) C.eq \f(112,3) D.eq \f(140,3) 解析：过AC，A1C1作出截面如图所示，过点A1作A1E⊥AC，垂足为E，易知A1E为正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，因为AB＝4，A1B1＝2，所以由勾股定理得AC＝4eq \r(2)，A1C1＝2eq \r(2)，又CC1＝AA1＝eq \f(\r(34),3)，则在等腰梯形ACC1A1中，AE＝eq \r(2)，所以A1E＝2,1)eq \r(AA－AE2) ＝eq \r(\f(34,9)－2)＝eq \f(4,3)，所以正四棱台的体积为V＝eq \f(1,3)×(S四边形ABCD＋S四边形A1B1C1D1＋eq \r(S四边形ABCD·S四边形A1B1C1D1))×A1E＝eq \f(1,3)×(16＋4＋eq \r(16×4))×eq \f(4,3)＝eq \f(112,9).故选A. 二、多选题 6．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2eq \r(3)，则下列叙述正确的是(　　) A．正三棱锥的高为3 B．正三棱锥的斜高为eq \f(\r(39),2) C．正三棱锥的体积为eq \f(27\r(3),4) D．正三棱锥的侧面积为eq \f(3\r(39),4) 解析：如图，正三棱锥S－ABC的底面是边长为3的等边三角形，侧棱长为SA＝SB＝SC＝2eq \r(3)，取BC的中点D，连接SD，AD，过点S作SO⊥平面ABC，交AD于点O，AD＝eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(3),2)，AO＝eq \f(2,3)AD＝eq \f(2,3)×eq \f(3\r(3),2)＝eq \r(3)，正三棱锥的高为SO＝eq \r(SA2－AO2)＝eq \r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝3，故A正确；正三棱锥的斜高为SD＝eq \r(SC2－CD2)＝eq \r(（2\r(3)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(39),2)，故B正确；正三棱锥的体积为V＝eq \f(1,3)S△ABC×SO＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×3×eq \f(3\r(3),2)×3＝eq \f(9\r(3),4)，故C错误；正三棱锥的侧面积为S＝3×eq \f(1,2)×3×eq \f(\r(39),2)＝eq \f(9\r(39),4)，故D错误．故选AB. 7．(2024·浙江高一下期中)已知圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为2，4，高为2eq \r(3)，P为O1O2上一点，则(　　) A．圆台的体积为eq \f(56\r(3)π,3) B．当圆锥PO1与圆锥PO2的体积相等时，PO1＝8PO2 C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为20 D．挖去以该圆台上底面为底，高为eq \r(3)的圆柱后所得几何体的表面积为(44＋4eq \r(3))π 解析：由题意可知，圆台的上、下底面半径分别为2，4，高为2eq \r(3)，母线长为eq \r(（2\r(3)）2＋（4－2）2)＝4.对于A，圆台的体积为eq \f(1,3)π×(22＋42＋2×4)×2eq \r(3)＝eq \f(56\r(3)π,3)，故A正确；对于B，若圆锥PO1与圆锥PO2的体积相等，则eq \f(1,3)×4π×PO1＝eq \f(1,3)×16π×PO2，解得PO1＝4PO2，故B错误；对于C，用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面中，轴截面的周长最大，为4＋4＋4＋8＝20，故C正确；对于D，由题意可知，所得几何体的表面有圆台的侧面和上、下底面以及圆柱的侧面，其表面积为π×(2＋4)×4＋π×(22＋42)＋2π×2×eq \r(3)＝44π＋4eq \r(3)π，故D正确．故选ACD. 解析：V半球＝eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)R3＝eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)×43＝eq \f(128π,3)，V圆锥＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×π×R2×h＝eq \f(1,3)×π×42×12＝64π，显然V半球<V圆锥，所以冰淇淋融化后不会溢出杯子． 三、填空题 8.如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放了一个半球形的冰淇淋，则冰淇淋融化后________(填“会”或“不会”)溢出杯子． 解析：设点A1到平面BCC1B1的距离为h，则V1＝eq \f(1,2)S四边形BCC1B1·h，V2＝eq \f(1,3)S四边形BCC1B1·h，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(3,2). 10.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V1，四棱锥A1－BCC1B1的体积为V2，则eq \f(V1,V2)＝________． eq \f(3,2) 解：由PO1＝2 m，得OO1＝8 m，则 VP－A1B1C1D1＝eq \f(1,3)S四边形A1B1C1D1×PO1＝eq \f(1,3)×62×2＝24(m3)， VABCD－A1B1C1D1＝S四边形ABCD×OO1＝62×8＝288(m3)， V＝VP－A1B1C1D1＋VABCD－A1B1C1D1＝312 m3， 故仓库的容积为312 m3. 解：如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，在半圆中可得∠BCA＝90°， ∠BAC＝30°，AB＝2R， ∴AC＝eq \r(3)R，BC＝R， CO1＝eq \f(\r(3),2)R， 又V球＝eq \f(4,3)πR3， V圆锥AO1＝eq \f(1,3)AO1·π·COeq \o\al(2,1)＝eq \f(1,4)πR2·AO1， V圆锥BO1＝eq \f(1,3)BO1·π·COeq \o\al(2,1)＝eq \f(1,4)πR2·BO1， ∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝eq \f(5,6)πR3. 解析：如图，设O1，O分别为上、下底面的圆心，BC为母线，A为点C在底面的投影，O′为该圆台外接球的球心，由该圆台的侧面积为35eq \r(2)π，得π·(OB＋O1C)·BC＝35eq \r(2)π，即(OB＋O1C)·BC＝35eq \r(2)，由下底面半径比上底面半径大1，得OB＝O1C＋1， 13．(2024·湖南长沙高一期末)已知一个圆台的侧面积为35eq \r(2)π，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为________． eq \f(500π,3) 由母线与下底面所成角的正切值为7，得eq \f(CA,OB－O1C)＝7，即CA＝OO1＝7，又CA2＋(OB－O1C)2＝BC2，即有BC＝eq \r(72＋1)＝5eq \r(2)，则(OB＋O1C)·BC＝5eq \r(2)(2OB－1)＝35eq \r(2)，即OB＝4，则O1C＝3，则有O′C2＝O′B2＝O1C2＋(O1O－O′O)2＝OB2＋O′O2，即O1C2＋O1O2－2O1O·O′O＝OB2，即32＋72－14O′O＝42，得O′O＝3，设该圆台外接球的半径为R，则R＝O′B＝eq \r(32＋42)＝5，故该圆台外接球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(500π,3). 解：(1)由题意可知，四棱台ABCD－A1B1C1D1的体积VABCD－A1B1C1D1＝eq \f(1,3)×(202＋402＋eq \r(202×402))×30＝28000(cm3)， 如图，正四棱台的侧面是全等的等腰梯形， 分别取B1C1，BC的中点M，N， 连接O1M，ON，MN， 过点M作MH∥O1O， 交ON于点H， 则O1O＝MH＝30 cm，O1M＝10 cm，ON＝20 cm，HN＝10 cm， 可得MN＝eq \r(MH2＋HN2)＝eq \r(900＋100)＝10eq \r(10)(cm)， 所以四棱台ABCD－A1B1C1D1的表面积 S＝202＋402＋4×eq \f(1,2)×(20＋40)×10eq \r(10) ＝(2000＋1200eq \r(10))(cm2)． (2)延长AA1，BB1，CC1，DD1交于点P， 可知eq \f(PA1,PA)＝eq \f(A1B1,AB)＝eq \f(1,2)， 则eq \f(VP－A1B1C1D1,VP－ABCD)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)， 可得VP－A1B1C1D1＝eq \f(1,7)VABCD－A1B1C1D1＝4000(cm3)， 所以该同学至少还需要准备4000 cm3水泥． $$