10.1.2 复数的几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第十章　复数 10.1　复数及其几何意义 10.1.2　复数的几何意义 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　复数与复平面内点的对应关系 1．复数1－2i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 5 3．已知复数z＝2m＋(4－m2)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为A. (1)若点A位于虚轴上，求实数m的值； (2)若点A位于第一或第三象限，求实数m的取值范围． 解：(1)若点A位于虚轴上，则2m＝0，解得m＝0， ∴实数m的值为0. (2)若点A位于第一或第三象限， 则2m(4－m2)>0，即m(m＋2)(m－2)<0， 解得m<－2或0<m<2， ∴实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(0，2)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 9 知识点四　复数的模 7．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　) A．z1>z2 B．z1<z2 C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 11 9．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 12 知识点五　复数几何意义的应用 10．复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若|z|≥1，0<a<2，0<b<2，求复数z对应的点的集合形成的图形的面积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 13 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 5．(2024·河北承德高一开学考试)已知z1＝(a＋1)－2i为纯虚数，则z2＝a＋i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：复数z1＝(a＋1)－2i为纯虚数，则a＋1＝0，则a＝－1，所以z2＝－1＋i，所以复数z2在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 三、填空题 8．若复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，则a＝________． 解析：复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点为(a－1，3)，由该点在直线y＝x＋2上，可得3＝a－1＋2，解得a＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 (－3，4) 3＋4i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 10．已知复数z满足|z|2－4|z|＋3≤0，则复数z对应的点Z(x，y)构成的图形的面积为________． 解析：由题意，可知|z|2－4|z|＋3＝(|z|－3)·(|z|－1)≤0，即1≤|z|≤3，∴点Z(x，y)构成的图形是以原点为圆心，分别以1和3为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环边界)，其面积为S＝32π－12π＝8π. 8π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 四、解答题 11．求实数m为何值时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于：(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线y＝3x＋1上． 解：∵m为实数，∴1－m，4－m2都是实数， ∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i在复平面内对应的点的坐标为(1－m，4－m2)． (1)∵复数z在复平面内对应的点位于虚轴上， ∴1－m＝0，解得m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 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\r(52＋42)，所以|z1|<|z2|.故选D. 8．[多选]若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq \r(5)，则复数z＝(　　) A．1－2i B．－1－2i C．±1±2i D．1＋2i 解析：∵复数z对应的点在直线y＝2x上，∴可设z＝a＋2ai(a∈R)，∵|z|＝eq \r(5)，∴eq \r(a2＋（2a）2)＝eq \r(5)，即|a|＝1，∴a＝±1，∴z＝1＋2i或z＝－1－2i.故选BD. 解析：|z|＝eq \r(1＋4m2)≤2，解得－eq \f(\r(3),2)≤m≤eq \f(\r(3),2). eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))) 解：复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点的坐标为(a，b)， 因为|z|≥1，0<a<2，0<b<2， 所以a2＋b2≥1，0<a<2，0<b<2， 所以复数z对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分(不包括x，y轴上的点)： 所以复数z对应的点的集合形成的图形的面积S＝2×2－eq \f(1,4)×π×12＝4－eq \f(π,4). 一、单选题 1．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，eq \r(3)) B．(1，eq \r(5)) C．(1，3) D．(1，5) 解析：|z|＝eq \r(a2＋1).∵0＜a＜2，∴0＜a2＜4.∴1＜eq \r(a2＋1)＜eq \r(5)，即1＜|z|＜eq \r(5).故选B. 解析：由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))解得－3＜m＜1.故选A. 3．向量eq \o(OZ,\s\up16(→))＝(eq \r(3)，1)按逆时针方向旋转60°后得到的向量所对应的复数为(　　) A．－eq \r(3)＋i B．2i C．1＋eq \r(3)i D．－1＋eq \r(3)i 解析：向量eq \o(OZ,\s\up16(→))＝(eq \r(3)，1)，设其方向与x轴正方向夹角为θ，tanθ＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，则θ＝30°，按逆时针方向旋转60°后与x轴正方向夹角为90°，又|eq \o(OZ,\s\up16(→))|＝2，所以旋转后对应的复数为2i.故选B. 4．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－eq \r(5)，则z为(　　) A．－eq \r(5)＋2i B．－eq \r(5)－2i C.eq \r(5)＋2i D.eq \r(5)－2i 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－eq \r(5).由|z|＝3，得(－eq \r(5))2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴y＝2.∴z＝－eq \r(5)＋2i.故选A. 二、多选题 6．(2024·海南省直辖县级单位高一下期末)已知复数z＝－1＋eq \r(3)i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　　) A．z的虚部为eq \r(3)I B.eq \o(z,\s\up16(－))＝1＋eq \r(3)i C．|eq \o(z,\s\up16(－))|＝2 D．z在复平面内对应的点在第二象限 解析：对于A，因为z＝－1＋eq \r(3)i，所以z的虚部为eq \r(3)，故A错误；对于B，eq \o(z,\s\up16(－))＝－1－eq \r(3)i，故B错误；对于C，|eq \o(z,\s\up16(－))|＝eq \r(1＋3)＝2，故C正确；对于D，z在复平面内对应的点为(－1，eq \r(3))，位于第二象限，故D正确．故选CD. 7．已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是(　　) A．复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限 B．复数z在复平面内对应的点可能落在实轴上 C．|z|＝2cosθ D.eq \o(z,\s\up16(－))＝－2cos2θ－isin2θ 解析：z＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cos2θ＋2isinθcosθ，∵－eq \f(π,2)<θ<eq \f(π,2)，∴cosθ∈(0，1)，sinθ∈(－1，1)，∴复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限、实轴上或第四象限，A，B正确；|z|＝eq \r(4cos4θ＋4sin2θcos2θ)＝2|cosθ|＝2cosθ，C正确；eq \o(z,\s\up16(－))＝1＋cos2θ－isin2θ＝2cos2θ－isin2θ，D错误．故选ABC. 解析：∵点B的坐标为(3，－4)，∴点A的坐标为(－3，4)．∴点C的坐标为(3，4)．∴向量eq \o(OC,\s\up16(→))对应的复数为3＋4i. 9．在复平面内，O为坐标原点，向量eq \o(OB,\s\up16(→))对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，则点A的坐标为________，点A关于虚轴的对称点为C，则向量eq \o(OC,\s\up16(→))对应的复数为________． (2)∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＜0，,4－m2＞0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞1，,－2＜m＜2，)) 故1＜m＜2. (3)∵复数z对应的点位于直线y＝3x＋1上， ∴4－m2＝3(1－m)＋1， 即m2－3m＝0， 解得m＝0或m＝3. 12．已知复数z＝(3m2－2m－1)＋(6m2＋5m＋1)i，m∈R. (1)若复数z在复平面内对应的点在虚轴上，求m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点Z在第一象限，且eq \o(OZ,\s\up16(→))与a＝(－1，－3)共线，求m的值以及eq \o(OZ,\s\up16(→))方向的单位向量． 解：(1)依题意，得3m2－2m－1＝0， 解得m＝1或m＝－eq \f(1,3). (2)∵eq \o(OZ,\s\up16(→))与a＝(－1，－3)共线， ∴－3(3m2－2m－1)＋(6m2＋5m＋1)＝0， 解得m＝4或m＝－eq \f(1,3). 当m＝4时，代入可得Z(39，117)，满足在第一象限，成立； 当m＝－eq \f(1,3)时，代入可得Z(0，0)，不满足在第一象限，舍去． ∵eq \o(OZ,\s\up16(→))与a＝(－1，－3)共线且反向， ∴eq \o(OZ,\s\up16(→))方向的单位向量为－eq \f(a,|a|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),10)，\f(3\r(10),10))). 13．若复数z＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋sinθ－\f(cos2θ,2)))＋isinθ(0<θ<π)在复平面内对应的点位于直线y＝x上，则λ的最大值为________． eq \r(2)－1 解析：z＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋sinθ－\f(cos2θ,2)))＋isinθ(0<θ<π)在复平面内对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋sinθ－\f(cos2θ,2)))，sinθ))，故λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋sinθ－\f(cos2θ,2)))＝sinθ，故λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋sinθ－\f(1－2sin2θ,2)))＝sinθ，由于θ∈(0，π)，故sinθ>0，则λ＝eq \f(sinθ,\f(1,2)＋sinθ＋sin2θ)＝eq \f(1,\f(1,2sinθ)＋sinθ＋1)≤eq \f(1,2\r(\f(1,2sinθ)·sinθ)＋1)＝eq \r(2)－1，当且仅当eq \f(1,2sinθ)＝sinθ，即 sinθ＝eq \f(\r(2),2)，即θ＝eq \f(π,4)或θ＝eq \f(3π,4)时，等号成立． 14．(2024·河南洛阳高一下期末)已知复数z1＝eq \r(3)－i与z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i. (1)求|z1|及|z2|的值； (2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 解：(1)|z1|＝|eq \r(3)－i|＝eq \r(（\r(3)）2＋（－1）2)＝2， |z2|＝|－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1. (2)由(1)知1≤|z|≤2， 因为不等式|z|≥1的解集是以O为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式|z|≤2的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以O为圆心，1和2分别为半径的两圆所夹的圆环(包括圆环边界)，如图所示． $$