9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第九章　解三角形 9.2　正弦定理与余弦定理的应用 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 5 3.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________ m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 11 知识点三　测量角度问题 6.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 12 北偏东30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 13 8.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 15 9.某工程队在某海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的等边三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD.在点D测得B，C两点的张角∠BDC＝60°，如图所示，记∠CBD＝θ，如何设计θ，可使得飞机跑道AD最长？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 17 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 77 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 35 9．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 36 10．一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此轮船沿____________方向行驶________海里至海岛C. 北偏东40° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 37 四、解答题 11.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量，AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 38 12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲 同时从B处出发沿北偏东α方向追赶渔船乙，用2 h刚好追上． (1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 40 13．(2024·北京海淀高一下期末)一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C(如图)，相邻两观测点之间的距离为200 m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为30°，45°，60°，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为________m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 45 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　测量距离问题 1．两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile，2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．3a n mile B.eq \r(7)a n mile C.eq \r(5)a n mile D.eq \r(3)a n mile 解析：如图，∠ACB＝180°－35°－25°＝120°，由余弦定理，得AB＝eq \r(a2＋4a2－2×a×2a×cos120°)＝eq \r(7)a(n mile)．故选B. 2．如图，从气球A测得水平面上B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则B，C间的距离为(　　) A.eq \f(hsinαsinβ,sin（α－β）) B.eq \f(hsin（β－α）,sinαsinβ) C.eq \f(hsinα,sinβsin（α－β）) D.eq \f(hsinβ,sinαsin（α－β）) 解析：在Rt△ADC中，AC＝eq \f(h,sinβ)，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq \f(ACsin(β－α),sinα)＝eq \f(hsin（β－α）,sinαsinβ).故选B. 35eq \r(5) 解析：因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，所以AD＝CD＝35 m．又因为∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°.在△BCD中，由正弦定理，得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，即eq \f(BD,\f(\r(2),2))＝eq \f(35,\f(1,2))，解得BD＝35eq \r(2) m．在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD×BD×cos∠ADB＝352＋(35eq \r(2))2－2×35×35eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))，解得AB＝35eq \r(5) m. 知识点二　测量高度问题 4.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　) A．500eq \r(2) m B.200 m C．1000eq \r(2) m D．1000 m 解析：∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝ 45°－(90°－75°)＝30°，∴∠ASB＝180°－15°－30°＝135°， 在△ABS中，AB＝eq \f(ASsin135°,sin30°)＝eq \f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq \r(2)(m)，∴BC＝ ABsin45°＝1000eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1000(m)．故选D. 5.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测 仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观 测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的 时间比B地晚eq \f(2,17) s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：由题意，设AC＝x m，则BC＝x－eq \f(2,17)×340＝(x－40)(m)． 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC， 即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠AHC＝90°－30°＝60°. 由正弦定理，得eq \f(CH,sin∠CAH)＝eq \f(AC,sin∠AHC)，所以CH＝AC×eq \f(sin∠CAH,sin∠AHC)＝140eq \r(6)(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH为140eq \r(6) m. 解析：依题意可得AD＝20eq \r(10) m，AC＝30eq \r(5) m，又CD＝50 m，在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC×AD)＝eq \f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq \f(6000,6000\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45°.故选B. 7．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是eq \r(3)a n mile/h，则甲船应沿着_____________方向前进，才能最快与乙船相遇． 解析：如图，设经过t h两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝ at n mile，AC＝eq \r(3)at n mile，B＝180°－60°＝120°，由eq \f(BC,sin∠CAB)＝ eq \f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq \f(BCsinB,AC)＝eq \f(atsin120°,\r(3)at)＝eq \f(1,2).∵0°<∠CAB<90°， ∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°方向前进，才能最快与乙船相遇． 解：连接BC(图略)．在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos120°＝2800，∴BC＝20eq \r(7)海里． 由正弦定理eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，得sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7). ∵∠BAC＝120°，∴∠ACB为锐角， ∴cos∠ACB＝eq \f(2\r(7),7). ∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30° ＝eq \f(2\r(7),7)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(21),7)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(21),14). 故cosθ的值是eq \f(\r(21),14). 解：在△BCD中，BC＝1千米，∠BDC＝60°，∠CBD＝θ. 由正弦定理，得eq \f(BC,sin60°)＝eq \f(BD,sin（120°－θ）)， ∴BD＝eq \f(sin（120°－θ）,sin60°)＝cosθ＋eq \f(\r(3),3)sinθ. 在△ABD中，AB＝1千米，∠ABD＝60°＋θ. 由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB×BDcos(60°＋θ)＝12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＋\f(\r(3),3)sinθ))eq \s\up12(2)－2×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＋\f(\r(3),3)sinθ))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosθ－\f(\r(3),2)sinθ))＝1＋eq \f(4,3)sin2θ＋eq \f(4\r(3),3)sinθcosθ＝eq \f(5,3)＋eq \f(4,3)sin(2θ－30°)． ∵0°<θ<120°，∴－30°<2θ－30°<210°， ∴当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，飞机跑道AD最长． 一、单选题 1.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点之间的距离为(　　) A.eq \r(3) km B.eq \r(2) km C．1.5 km D．2 km 解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理eq \f(AB,sinC)＝eq \f(BC,sinA)，得AB＝eq \f(BCsinC,sinA)＝eq \f(1×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq \r(3)(km)．故选A. 2．(2024·山东临沂高一下期中)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为(　　) A．8eq \r(6)海里/小时 B．16eq \r(2)海里/小时 C．16eq \r(6)海里/小时 D．32eq \r(2)海里/小时 解析：如图所示，在△PNM中，由题意可知∠PNM＝45°，∠MPN＝75°＋45°＝120°，PM＝64海里，由正弦定理eq \f(PM,sin∠PNM)＝eq \f(MN,sin∠MPN)，可得MN＝eq \f(PMsin∠MPN,sin∠PNM)＝eq \f(64×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝32eq \r(6)(海里)，且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为eq \f(32\r(6),4)＝8eq \r(6)(海里/小时)．故选A. 3．(2024·山东泰安高一阶段练习)公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上．某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为θ，则sinθ＝(　　) A.eq \f(1,2) B．3 C．－2 D．－eq \f(1,3) 解析：如图所示，由题意有DE＝AB＝BC＝60，∠DAE＝∠DBE ＝45°，则有AE＝BE＝DE＝60，故AE＝BE＝AB，故∠EAB＝ 60°，则EC＝eq \r(602＋1202－2×60×120×cos60°)＝60eq \r(3)，故DC ＝eq \r(602＋（60\r(3)）2)＝120，则sinθ＝sin∠DCE＝eq \f(DE,DC)＝eq \f(1,2).故选A. 4.某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为(15－5eq \r(3)) m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学测得学校天文台CD的高度为(　　) A．20 m B．20eq \r(3) m C．30 m D．30eq \r(3) m 解析：在Rt△ABM中，有AM＝eq \f(AB,sin15°)，在△ACM中，有∠CAM ＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，∠ACM ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理得eq \f(AM,sin∠ACM)＝eq \f(MC,sin∠CAM)， 故MC＝eq \f(sin∠CAM,sin∠ACM)×AM＝eq \f(sin45°,sin30°)×eq \f(AB,sin15°)＝eq \r(2)×eq \f(AB,sin15°)，在Rt△CDM中，有CD＝MCsin60°＝eq \r(2)×eq \f(AB,sin15°)×sin60°，又sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，则CD＝eq \r(2)×eq \f(15－5\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))×eq \f(\r(3),2)＝30(m)． 5．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离为12eq \r(6) 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为12eq \r(3)海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的(　　) A．正西方向 B．南偏西75°方向 C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向 解析：如图，B＝180°－75°－60°＝45°，在△ABD中，由正弦 定理，得eq \f(AD,sinB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，所以AD＝eq \f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(海里)． 在△ACD中，AD＝24海里，AC＝12eq \r(3)海里，∠CAD＝30°，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD×ACcos30°＝242＋(12eq \r(3))2－2×24×12eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝144，所以CD＝12海里，由余弦定理，得cos∠CDA＝eq \f(242＋122－（12\r(3)）2,2×24×12)＝eq \f(1,2)，即∠CDA＝60°.所以此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向．故选C. 二、多选题 6.海上一艘轮船以60 n mile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20 min后到达B处，测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则下列说法正确的是(　　) A．B，C之间的距离为20 n mile B．轮船从B处航行至小岛D需eq \f(\r(6),6) h C．C，D之间的距离与B，D之间的距离相等 D．A，D之间的距离为(20eq \r(3)＋20eq \r(5)) n mile 解析：在△ABC中，由题意得∠CAB＝120°，∠BCA＝30°， AB＝60×eq \f(1,3)＝20(n mile)．由正弦定理eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin∠BCA)得BC ＝eq \f(ABsin∠CAB,sin∠BCA)＝eq \f(20×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝20eq \r(3)(n mile)，故A错误；在△ABD中， ∠DAB＝60°，∠ADB＝45°.由正弦定理eq \f(BD,sin∠DAB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)得BD＝eq \f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝eq \f(20×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝10eq \r(6)(n mile)，轮船从B处航行至小岛D所需时间为eq \f(10\r(6),60)＝eq \f(\r(6),6)(h)，故B正确； 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝(10eq \r(6))2＋(20eq \r(3))2－2×10eq \r(6)× 20eq \r(3)×cos45°＝600，解得CD＝10eq \r(6) n mile，BD＝CD，故C 正确；在△ABD中，BD＝10eq \r(6) n mile，∠DAB＝60°，AB＝ 20 n mile，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD×ABcos∠DAB， 即600＝AD2＋400－2AD×20×eq \f(1,2)，得AD＝(10eq \r(3)＋10) n mile，故D错误．故选BC. 7．(2024·海南省直辖县级单位高一下阶段练习)如图，为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高BC，测量船沿航线DA航行，且DA与AC在同一铅直平面内，测量船在D处测得∠BDA＝α，∠CDA＝β，然后沿航线DA向海岛的方向航行m千米到达E处，测得∠BEA＝γ，∠CEA＝δ(δ>γ>β>α，测量船的高度忽略不计)，则(　　) A．AB＝eq \f(msinγsinα,sin（γ－α）) B．AE＝eq \f(msinγcosγ,sin（γ－α）) C．BC＝eq \f(msinαsin（δ－γ）,cosδsin（γ－α）) D．AC＝eq \f(msinδcosβ,sin（δ－β）) 解析：在△BDE中，∠BDE＝α，∠DBE＝∠BEA－∠BDE＝γ－α，∠BED＝π－γ，由正弦定理得eq \f(DE,sin∠DBE)＝eq \f(BD,sin∠BED)＝eq \f(BE,sin∠BDE)，即eq \f(m,sin（γ－α）)＝eq \f(BD,sinγ)＝eq \f(BE,sinα)，所以BD＝eq \f(msinγ,sin（γ－α）)，BE＝eq \f(msinα,sin（γ－α）)，所以AB＝BDsinα＝eq \f(msinγsinα,sin（γ－α）)，所以A正确；AE＝BEcosγ＝eq \f(msinαcosγ,sin（γ－α）)，所以B错误； 在△BCE中，∠BCE＝eq \f(π,2)－δ，∠BEC＝δ－γ，由正弦定理得eq \f(BC,sin（δ－γ）)＝eq \f(BE,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－δ)))，所以BC＝eq \f(msinαsin（δ－γ）,cosδsin（γ－α）)，所以C正确；在△CDE中，∠CDE＝β，∠DCE＝∠CEA－∠CDE＝δ－β，∠CED＝π－δ，因为eq \f(CD,sin∠CED)＝eq \f(DE,sin∠DCE)，所以CD＝eq \f(msinδ,sin（δ－β）)，所以AC＝CDsinβ＝eq \f(msinδsinβ,sin（δ－β）)，所以D错误．故选AC. 三、填空题 8.(2024·河北唐山高一下期末)如图，从楼顶A点测得地面B，C两点的俯角分别为67°，30°，已知B，C两点的距离为100 m，则楼高AD约等于________m．(将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq \r(3)≈1.73) 解析：因为从楼顶A点测得地面B，C两点的俯角分别为 67°，30°，所以∠ACB＝30°，∠BAC＝37°，∠ABC＝ 180°－67°，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(BC,sin∠BAC)＝ eq \f(AC,sin∠ABC)，即eq \f(100,sin37°)＝eq \f(AC,sin（180°－67°）)＝eq \f(AC,sin67°)，所以AC＝eq \f(100sin67°,sin37°)≈eq \f(100×0.92,0.60)＝eq \f(460,3)，在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，所以AD＝eq \f(AC,2)≈eq \f(230,3)≈77. 解析：如图，设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得，∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10 n mile，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，解得t＝eq \f(2,3)或t＝－eq \f(5,12)(舍去)． eq \f(2,3) 解析：在△ABC中，∠ABC＝110°＋10°＝120°.又AB＝BC，所以∠CAB＝∠ACB＝30°，AC＝eq \r(102＋102－2×10×10cos120°)＝10eq \r(3)(海里)．故此轮船沿北偏东70°－30°＝40°方向行驶10eq \r(3)海里至海岛C. 10eq \r(3) 解：在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC×BC)＝eq \f(82＋52－AB2,2×8×5)， 在△ABD中，由余弦定理，得cosD＝eq \f(AD2＋BD2－AB2,2AD×BD)＝eq \f(72＋72－AB2,2×7×7). 由∠C＝∠D，得cosC＝cosD，解得AB＝7米，即AB的长度为7米． 解：(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°， AB＝12 n mile，AC＝10×2＝20(n mile)． 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝122＋202－2×12× 20cos120°＝784，解得BC＝28 n mile.所以渔船甲的速度为eq \f(BC,2)＝14(n mile/h)． (2)在△ABC中，因为AB＝12 n mile，∠BAC＝120°，BC＝28 n mile，∠BCA＝α， 由正弦定理，得eq \f(AB,sinα)＝eq \f(BC,sin120°)， 即sinα＝eq \f(ABsin120°,BC)＝eq \f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq \f(3\r(3),14). 100eq \r(6) 解析：由题意可知，AB＝BC＝200，∠PAO＝30°，∠PBO ＝45°，∠PCO＝60°，设PO＝x，则OA＝eq \r(3)x，OB＝x，OC ＝eq \f(\r(3),3)x，根据cos∠OBC＋cos∠OBA＝0，则eq \f(2002＋x2－\f(1,3)x2,2×200x)＋ eq \f(2002＋x2－3x2,2×200x)＝0，解得x＝100eq \r(6)，所以该学生得到塔尖距离地面的高度为100eq \r(6) m. 14.(2024·安徽合肥高一下期末)如图，某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶，在A处测得山顶P处的仰角∠PAO＝30°，该车以45 km/h的速度匀速行驶4 min后，到达B处，此时测得山顶P处的仰角∠PBO＝45°，且cos∠AOB＝－eq \f(\r(3),3). (1)求此山的高PO的值； (2)求该车自A向B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值． 解：(1)设PO＝x km，在△PAO中，因为tan∠PAO＝eq \f(PO,AO)， 所以AO＝eq \f(x,tan30°)＝eq \r(3)x km，同理， 在△PBO中，BO＝eq \f(x,tan45°)＝x km， 在△AOB中，由余弦定理得AB2＝AO2＋BO2－2AO·BOcos∠AOB＝6x2， 由AB＝45×eq \f(4,60)＝3 km，所以9＝6x2，解得x＝eq \f(\r(6),2)(负值舍去)， 所以此山的高PO为eq \f(\r(6),2) km. (2)由(1)得BO＝eq \f(\r(6),2) km，AO＝eq \f(3\r(2),2) km，AB＝3 km， 设C是线段AB上一动点，连接OC，PC，则在点C处观测P点的仰角为∠PCO， 且tan∠PCO＝eq \f(PO,OC)＝eq \f(\r(6),2OC)，因为cos∠AOB＝－eq \f(\r(3),3)，0<∠AOB<π， 所以sin∠AOB＝eq \r(1－cos2∠AOB)＝eq \f(\r(6),3)，当OC⊥AB时，OC最短，记最小值为d， 由S△AOB＝eq \f(1,2)AO·BOsin∠AOB＝eq \f(1,2)AB·d，即eq \f(1,2)×eq \f(3\r(2),2)×eq \f(\r(6),2)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(1,2)×3d，解得d＝eq \f(\r(2),2)， 所以tan∠PCO＝eq \f(\r(6),2OC)≤eq \f(\r(6),2×\f(\r(2),2))＝eq \r(3)， 所以该车自A向B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值为eq \r(3). $$