卷3 三角函数与解三角形（含答题卡）-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮创新示范卷

创新示范卷·参考答案 (3)由(2)，f(x)>a在(0，+∞)上恒成立，取等当且仅 5,A[如图所示，先求出硬管不 当a.x十ln.x=0. 顿斜，水平方向通过的最大长 也即f(x)=a的根为ax十lnx=0的根，下讨论方程 度AB. ar+lnr=0的根的个数， 设∠BAQ=0,(0<K受） 化简得4=_血工，令hx)=_n(r>0, 则∠ABQ=受-A h"(x)=nx1、令h(x)0得x=e. 过A作AC垂直内侧墙壁于C, B作BD垂直内侧墙壁于D,则AC=BD=3,∠CPA= 故当0<x<e时，(x)<0,h(x)单调递减： 当x>e时，h'(.x)>0,h(.x)单调递增. ∠BAQ=0,∠DPB=∠ABQ=交-A 故6()=A(e)=-己又A1)=0, 在直角三角彩ACP中，n∠CPA=血S 且当x→0时，h(x)→+o:x十∞时，h(x)→0. 所以AP= AC 3 故当a<-1时，方程hr)=4无实根：当a=-1时， sin sin e 同理：BP= BD 3 方程h(x)=a有一个实根：当一上<a<0时，方程 cos 0 e h(x)=a有两个实根：当a>0时，方程h(r)=a有一个 所以AB=AP+BP= 3 3 实极。 3 1 12 综上所速，当a<一是时，方程)=a无实根：当a 因为AB= na+g3X2ncos9-/27今 -是时，方程了)=a有-个实根：当-。<a<0时， 6V②（当且仅当sim0=c0s0且0=于时等号成立），所以 e AB≥6，√2.因为走廊的宽度与高度都是3米， 方程f人x)=a有两个实根：当a>0时，方程f(x)=a 所以把硬管领斜后能通过的最大长度为1=√AB十3 有一个实根. 创新示范卷（三） =√/(62)2+3=9， 选择题答案速查 所以m=0,91=0.9X9=0] 题号12345678 910 11 6.C[函数f(x)=si(or十g)的最小正周期为T,=红】 答案DAAAACD C BC AD BCD 则d=号=二西款g)=2mar十p)的混小正月期 1.D[sin320°=sin(360°-40°)=-sin40°<0，cos320 =c0s(360°-40°)=c0s40°>0， 为T-吾则山-号-亮周比d山-24] 即a的终边在第二豪限，又tana=cos10 sin(90°+40°) -sin40cos(90°+40 .D[由题意可知)=/（得小）=(）) =tan130°，且0°<a<360°， 当a取最小值时，最小正周期T最大，T=2· 所以a=130.] 2.A[:T=,且当re[受）时，)=eos (管-音）所以=产-要-2。 而八)=sin(2x十g)在r=号时取得最大值，故2×号 3.A[因为画数f(x)的图象向右平移g(>0)个单位长 十9=受+2x,k∈五，则g=-晋+2kx,∈.又p< 度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)= 受，所以g=一吾故选D] sim(2r-2g+平）小国为Ru)为偏画数， 8.C[因为a2-b=bc,得a2=b十bc.由余弦定理得a2= b+c-2bccos A. 所以-2g十晋=受+∈D,即g=一吾-经∈D, 所以6+bc=b+c2-2 bccos A,即b=c-2 bcos A. 2 由正弦定理得sinB=sinC一2 sin Bcos A,因为C=π 当=一1时g一警可以推导出函数)为妈面数， (A+B),sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B. 以sinB=sin Acos B-cos Asin B,即sinB=sin(A-B). 而通教g)为偶函教不能推导出g一警，所以“g= 国为△ABC是锐角三角彩，所以0<A<受，0<B<受 是“g(x)为偶函数”的充分不必要条件.] 4.A[国为ae(受)an(骨+e）合tm(任-） 所以-受<A-B<受 2 所以中儡8-号×温uma心-1 又y=mr在气吾·受)上单调递增，所以B=A-B, 则A=2B. 解得tana=一3-22或tana=-3十2√2（含， Isin 2a-sina+cos'a-2sinacos a 因为△ABC是锐角三角形，所以0<B<受，0<A=2B 4cos a 4cosa <受，0<C=-3B<受， (tana-2tana十1) 所以晋<B<子，由正孩定理得。平。=n得nC sin B (ama-102=(-3-22-1D2=6+4E.] 1 sin B sin B sin 2B+sin(x-3B)sin 2B+sin 3B 答案-7 数学 sin B sin2B+sin 2Bcos B+cos2Bsin B 周为。十。0，所以8+： 1 cos asin B-sin asin B+sin acos 8+cos acos B-0, 2cos B+2cos B+2cos'B-1 4cos B+2cos B-1' sin(a+8)+cos(a+B)=0, 所以Esin(a++平）-0，即im(a++子）-0， y=4r+2-1-+）广-在1（号）上单 国为a+C(0x,所以a叶计∈（任） 递增， 所以e十计吾=，所以a十-要正确.] 当1=号时y-1+区，当1-时y=2+后。 2 1山.BCD[由题图得/0)=sing=之，且位于增区间上， 故6 11 =(2-3w2-1)] 所以9=吾+2m,k∈乙，又周为0<<元，所以9=百， 9.BC[由sinx≥0且r∈(0,2x),解得x∈(0，π]，此时 fx）=3im-1=-o2, r()=si(+）- 由sinx<0且x∈(0,2x),解得x∈（π，2x),此时f(x)= sin'-1=- 2 2 cos 2.r. [肾o+-+2e 1m-2+3k,k∈Z, 得 13 2-2cos2.xx∈(0，元]， 2m、8π 0<w<， 所以f(x) 11 z-2c0s2.x,x∈(x,2x, 所以m=2,所以fm)=i血(2x+吾）≥0)， 1 3 3 208π-2.f(x)=1 -200s2m=-1. 由国可知，原点右侧的第二个零点为警+？-警十冬 3 f(）=--s3x=0. 晋所以的定又线为[晋]，故A维远： 作出f(x)的图象如图所示，由 方程f(x)=a士1有6个根， y=f(x) y=a+l 显然a十1>a一1，所以f(x)= a一1有4个不同的实根，f(x) 国为（答）=in受=1为最大值，则当x=吾时， =a十1有2个不同的实根， f(x)取得最大值，故B正确： 即y=f(x)与y=a-1有4个 当>0时，◆受+2kx≤2x+吾<+2x,则晋+标 不同的交点，y=f(x)与y=a十1有2个不同的交点， 所以二a一10，解得0<a<1,故特合题意的只有B.C] ≤<+kz.CZ. 10<a+1<2 10,AD[对于A,图为a∈(0，受)c(0.受） 又因为[0，] cos(a+8)=cos acos B-sin asin B,cos(a-B)=cos acos B+sin asin B.cos(a-B)-cos(a+B)=2sin asin 所以当0时：化)的减区间为[晋] 因为西数∫(x)为偶函数， 3>0, 所以c0s(a十)<cos(a-),正确： 所以当<0时)的单润适增区同为[一等，一看] 对于因为如(e+)小me+)专(2a+受) 故C正确： 02a=-,所以c0s2a=- 3 当晋]时2+晋[音2◆ 而cos2a=1-2sna,所以sma=号又ae(0,受） sm2z十吾）-0得2+看-或2时-爱k5。 国为函数f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)有且只 .cos a3 所以sina=6.co 3 有两个零点一爱和一晋，故D正确门 所以tana=√2，错误： 12解折：在R△FAB中，n∠FAB-程-=2，在 对于C,由nma十tan月o5。得，na+s0月 cos a'cos B R△DAc中，tn_DAC-- 所以sin acos3+cos asin B=cosB, 所以tan∠FAD=tan(∠FAB-∠DAC)= 即sina+)=sim(受-)图为a∈(0，受）Be tan∠FAB-tn∠DAC (0,受）所以a+c0m,受-c(0,2） 2支 1+tan∠FAB:tan☑DAC1+2X号_1 则a+月=受-B我a+B+受-日=，即a十2卵=受或 答案： 。-受（不合题意，含去），错误： 1解：折周为2asC-兰-号，所以2 aoC=3-, 时于D平品。+B甲。 cos'a-sin'a cos 由余弦定理可得：2 abeos C=a+b-c2, sin B 。+器影黑影 可得=2-专，在锐角△ABC中，由余弦定现 可得： 答案-8 创新示范卷·参考答案 osB=+-_+-(-） (2)此时OB= ∠0CB=∠AB0=吾 2ac 2ac 在△AB0中，OA=√/AB+OB-2AB·OBC0s∠ABO 4 2 (3)易得OD=sim0,OE= (B+e>a,即 d-gire>d sin dos 0,OF-cos in() 所以C<2 记造价为y万元，则y=OD十3 OE+3OF=sin'0+3sin 0cos 0 +5cos0sin(停-0） 答案：（后·受） -n(0+)十号<子(-看时取到最大位) 14.解析：周为在（吾，意）上具有单调性 故这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均 能顺利完工 所以 9 1.解：由已知可得u)=a(停soar+号snar 又周为（）=m(管+)=0 =asia(or+） =4T=8w=餐= 只有k=1,w-3符合要求，此时fx)=sin(3r+号)）月 由题中图象可知，正三角形ABC的高即为函数∫(x)的 当xe(香。)时，3x+音∈（音，受） 最大值a,得a=受BC=25 所以f)在（吾·）上单遥增 5 周为fr)=sin(3r+登）的最大值为1，而g10-1,3m <10<名，作出画教y=f)与y=g工的因象，由圈 可知，这两个函数的图象共有9个交点，所以函数 “受x+晋∈（受，受） y=f(x)一lgx的零点个数为9. y=im3x+哥) g米 (肾+)1-（信）=是 fx,+10=25in(牙x+子+吾) =25[(7x+晋)+] 答案：增9 =2血（+音）m+(+)] 15,解：目)在△ABD中，由正孩定理，可得sin ZADB AB =2(号×9+×) BD AC sn∠乙BAD在△ADC中，由正弦定理可得snm乙ADC 18解：得方mA-二8曲分 DC sin∠CAD 所以sinA=cosB-sinC cos A cos C+sin B' 因为AB=AC,sin∠ADB=sin∠ADC,BD=1, sin∠CAD=3sin∠BAD,所以DC=3BD=3. sin Acos C+sin Asin B=cos Acos B-cos Asin C. (2)在△ABD中，由余弦定理，可得AB=AD°+BD sin Acos C+cos Asin C=cos Acos B-sin Asin B, -2AD·BD·cos∠ADB. 所以sin(A十C)=cos(A十B),即sinB=cos(A+B), 在△ADC中，由余弦定理，可得AC=AD+DC 而A,B∈0，，所以B+A+B=受或B-M+B)=受 2AD·DC·cos∠ADC. 因为AB=AC,AD=2,BD=1,DC=3,cos∠ADB= 所以A十2B=受或A=一受（含去）” -cos∠ADC,所以4+1+2×2X1×c05∠ADC=4+ 9-2X2X3Xcos∠ADC.解得ms∠ADC=号，所以 又国为B=晋，所以A=吾，所以C- 3 ∠ADC=6O,所以Sae=(BD+DC)xADX (2)由1)得A+2B=受，因为A品BC b sin∠ADC=号×4X2×sim60=25. 所以6=asin B_2sinB 2sin B 2sin B sin A sin A cos 2B' 16.解：(1)记∠OCB=0,则OB=sin0,OC=cos0,Sam 2inos0=sn2}(百米).当且仅当20=号 e-asin C_2sin C 2sin(受+B 2cos B 即0=票取等号，故区城OBC面积的最大值为 sin A sin A sm(受-2B） cos 2B' 答案-9 数学 则b+c= 2(sin B+cos B) =2(sin B+cos B) 创新示范卷（四） cos 2B cos'B-sin'B 选择题答案速查 ② cos B-sin B cos(B+) 题号1 23 45678 9 10 11 f0<B<π 答案AC D B C AB ACDAD BCD 又由0<号-2B<,得0<B<号 1.A[由共能复定又得：=一受-（+ 0<+B<x =+所以-=++ 所以子<B+受<受，所以0<(B+吾）。 -1+3i.] 所以b+c∈(2，十o∞). 2.C[AB·(AB+AC)=1ABP+1AB1·AClcos A= 19.解：(1)由题意f(x)=sinx-cosx-0,sinx=cosx, anr=1=x+子（∈Z, 1+1X5×号=4.] 又r[0,2],所以r=子我职 3,D[E为线段AD的中点，则CE= 即所家桌合为{径} (CA十CD),又D满足BC-3BD, (2)由题意f（x)=cosx,则g(x)=cosx+√3 Isin rl, cD-号CB-号AB-A, x∈[0，r]时，g(x)=cosx十3sinx ∴CE=[CA+号(AB-AC]=号AB-吾AC.] x∈(r,2x]时，g(.x)=cosx-√5sinx 4B[=--=os+in 所以2：=cos4rX2024+isin4rX2024=cos 3 3 3 作出画数y=g(x),x∈[0,2π]的图象，如图 在[][，]上递 增，在（管）布（肾2）上 所以的虚部为号] 递减， =2R,R为三角形的 f(.x)=2,f(0)=f(2x)=1, 5.C[由正弦定理可知AB=lAC sin C sin B 由图象可知，1≤k<2时， 外接圆的半径，所以动点P满足OP=OA+ 函数g(x)=f(.x)+3sinx|,x∈[0.2x]的图象与直 线y=k有且仅有四个不同的交点， AB,A店+AC.AC sin C sin B =OA+2R(AB+AC).因 所以k的范围是[1,2). (3)由题意f(x)=2sinx+bcos x=√/4十bsin(x+g), 为AB十AC是以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线 2 A为起点的向量，经过BC的中点， 其中cos9= b +示血g+万 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心，] 易知r十9=2m+受k∈五时u)=V小+不 6.A[因为EF=EA+AB+BF,EF=ED+DC+CF, 又点E为AD的中点，点F为BC的中点， =2kx+至-9∈， 所以2EF=AB+DC,又因为0<AB·DC≤1X2=2, sn=si加(2kx+受 =cos9,同理cosx=sin9, 所以4EF=AB+DC+2AB.DC>4+1=5, tan r=sin o cosg 且4E1=AB+DC+2AB.DC≤5+2×1X2=9, cos ro sin o 2cos o 所以4EF69即∈（停】门 tan2.x。= 2tan I'a sin 2singcos 7.B[由题知，以O为原点，OA,OB分 y 1-tan'ro 1-cos' sin9一cos9 sin 别为x,y轴建立平面直角坐标系， 4b 设A(m,0),B(0,n),且m>0,n>0, 4+b 4 则nn=8, 4 4十64十6 则a=01=1.0).b=0B= 4是增画数，因此6一 4 IOAI 1OBI h∈(0,3]时，函数y=b- b (0,1),OP=a+2b=(1,2), 所以P(1,2),PA=(m-1,-2),PB=(-1,-2+) 4而，4E43.0.即am2xE=430 所以PA·PB=5-(m十2n)≤5-2√2mn=-3, 当且仅当m=2,即n=2,n=4时取等号， 故PA·PB的最大值为一3.] 答案-10null