专题02 计数原理（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）高二数学下学期苏教版

高二苏教版（24-25学年）数学选择性必修2期中考点大串讲 串讲02 计数原理（5考点&10题型 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期中真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　分类加法分布乘法计数原理 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　涂色问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　与排列数有关的运算 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　相邻问题捆绑法 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　不相邻问题插空法 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　定序问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　分组分配问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型九　利用赋值法进行求有关系数和 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型十　利用二项式定理证明整除问题及余数的求法 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　混淆二项式系数与项的系数致错 03易错易混 易错点2　忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错 03易错易混 易错点3　混淆均匀分组与部分均匀分组致错 针对训练 04押题预测 C A B D A 谢谢观看！ 例1、书架的第层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， 从书架上任取本书，有（       ）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（       ）种不同取法? A．9，20 B．20，9 C．9，24 D．24，9 【解析】从书架上任取本书，有种不同取法. 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有种不同取法. 故选：C 加法原理的特点是： ① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 乘法原理的特点： ① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ② 完成每一步有若干种方法； ③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 【变式】假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去 1、 乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站， 2、 则不同的安排方法共有________种． 【解析】根据题意，将4人安排到2个文明实践站，每人有2种 安排方法，则有2×2×2×2=16种安排方法，其中都安排在同一个文明实践站的 方法有2种，则有16-2=14种不同的安排方法. 例2、如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色， 相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用， 则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答） 【解析】由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择， 第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择， 则由分步计数原理可得共有种， 涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域， 因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色， 再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。 【变式】如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同， 则不同的涂法有________种. A B C               D 【解析】A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法， 共有4×3×3×3＝108(种)涂法. 例3、可以表示为(       )． A． B． C． D． 【解析】＝， 故选：C﹒ 排列数公式的阶乘式： 所以． (1)（、，且） (2)（、，且） 【变式】计算＋＋＋＋的值为（       ） A． B． C．－1 D．－1 【解析】 . 故选：C. 例4、春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序， 若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种． 【解析】将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有种可能， 再将剩余节目排序，有种可能，所以不同的排序方式有（种）． 故答案为：144. 相邻问题 1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体， 在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序， 则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. 2、解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 【变式】两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的排法有______种. 【解析】因为两位女同学相邻，故先排两位女同学，有种排法， 再将其看作一个元素，和其他两位男生一起排列，有种排法， 所以共有种排法. 故答案为： 例5、用1，2，3，4排成的无重复数字的四位数中， 其中1和2不能相邻的四位数的个数为___________（用数字作答）. 【解析】先排，形成个空位，然后将排入， 所以符合题意的四位数的个数为. 故答案为： 1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列， 然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 2.解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 【变式】新年音乐会安排了2个唱歌､3个乐器和2个舞蹈共7个节目， 则2个唱歌节目不相邻的节目单共有___________种.（用数字表示） 【解析】先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有种排法， 其中有6个空插入2个唱歌节目，有种排法，故共有. 故答案为：3600. 例6、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法. 【解析】根据题意，假设有7个位置，对应7个人， 先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有种情况， 由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况， 则共有种不同的排法； 故答案为：840. 定序问题作倍缩放：将题干给定的总数都看成某一个独立的个体（不相同的）， 进行全排列故为，其次再将有顺序要求的个元素进行全排列个， 其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数为。 【变式】6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙 必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．（用数字作答） 【解析】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有种排法， 把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学进行排列，有种排法， 所以，总共有种排法 故答案为：48 例7、北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5名同学报名到甲、 乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少 安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）. 【解析】若个人分为，则安排方法数有种， 若个人分为，则安排方法数有种， 故不同的方法数有种. 故答案为： 分组问题与分配问题 将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题. 分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组. 将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题. 分配问题共分为2类：定额分配、随机分配. 区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组 元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配. 【变式】为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度， 降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校， 设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1 名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种. 【解析】1、选1名医生和3名护士的方法数为种； 2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种. 所以不同的分配方法共有种. 故答案为：40 例8、若的展开式有16项，则自然数的值为（       ） A．9 B．10 C．11 D．16 【解析】因为的展开式共有项，所以，所以， 故选：B． 一般地,对于任意正整数,都有： ()， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 【变式】二项式的展开式中为常数项的是（       ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【解析】依题意，的展开式的通项为，， 令，得，即是二项式的展开式的常数项， 所以展开式中的常数项是第5项. 故选：C 例9、已知展开式的各项系数和为64，则所有含“y”的项的系数和为______. 【解析】令，，可得，据题意可得，即有； 令，，可得，即所有不含“y”的项的系数和为64， 故可得含“y”的项的系数和为0. 故答案为：. 一般地，若，则展开式中各项系数的和为. ①奇次项系数的和为 偶次项系数的和为 ②形如的式子，求展开式的各项系数之和，只需令即可. ③形如的式子求其展开式的各项系数之和，只需令. ④二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等为：。 【变式】的展开式中各项的指数 之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（       ） A．0 B． C． D． 【解析】 ， 所以，的展开式中各项 的指数之和为， 展开式中各项系数乘以各项指数之和为， 因此，所求结果为. 故选：C. 例10、的计算结果精确到0.001的近似值是________ 【解析】， 故答案为：0.941. 已知数变为二项式的形式，利用二项展开式可求近似值. 【变式】能被7整除； 【解析】， 易知除以外各项都能被7整除． 又 ， 显然上式能被7整除， ∴能被7整除． 1． 的展开式中 的系数为（ ） A．10 B．20 C．90 D．80 ． 【错解】A，由题可得 令 ,则 , 所以 的展开式中 的系数为 ，故选A. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】C，由题可得 令 ,则 ,所以 ，故选C. 2．二项式 的展开式的第二项是（ ） A． B． C． D． 【错解】展开式的通项为 ,令 ,可得展开式的第二项为 = .故选A. 【错因】误认为第二项是 而错误 【正解】展开式的通项为 ,令 ,可得展开式的第二项为 = .故选D. 3.某校高二年级共有六个班,现从外地转入 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 名,则不同的安排方案种数为（） A． B． C． D． 【错解】选A，先将4名学生均分成两组方法数为 ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为 ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为 ． 【错因】该题为均匀分组，忽略除以 而错误. 【正解】先将4名学生均分成两组方法数为 ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为 , 根据分步计数原理合要求的安排方法数为 ．故选B． 1． 的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7， 的展开式中共12项,第6项的系数为 ,第7项的系数为 ,又 = ， 所以数最大的项是第6或7项. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】 的展开式中共12项,第6项的系数为 ,第7项的系数为 , 所以数最大的项是第7项. 1．（2025·广东·一模）某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·宁夏·阶段练习）定义“分组排列”：先将个不同元素分成组（），再对这组进行全排列.现有6名志愿者，要分成3组，一组1人，一组2人，一组3人，然后将这3组分配到3个不同的社区服务，则不同的分配方法有（    ）种. A．360 B．120 C．60 D．240 3．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（    ） A．120 B．36 C．24 D．6 4．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）5个男生，3个女生站成一排，且甲乙之间恰好有3个人，则不同的排法种数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）若，则（     ） A． B． C． D． $$