专题03 概率（易错必刷30题6种题型专项训练）高二数学下学期苏教版

专题03 概率 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　条件概率的求算 题型二　全概率公式 题型三　贝叶斯公式 题型四　离散型随机变量的分布列 题型五　两点分布 题型六　正态分布 题型一　条件概率的求算 1．一个盒子中装有个白球和个黑球（且），从中随机取出n个球，发现这n个球颜色相同，则这n个球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 2．某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图． (1)估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率； (3)已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例．（精确到0.1%） 3．第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 4．已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表1. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. (1)求随机抽取1单，该单的赔偿次数不少于3的概率. (2)下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 0.95a 1.1a 1.2a 1.3a 1.4a 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. ①估计甲2026年参保（第二个保险期）的保费为X元，求X的数学期望； ②求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保（第三个保险期）的保费少于2400元的概率. 5．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 题型二　全概率公式 6．电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 7．一袋中装有3个红球，5个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作. （1）第二次取出的球是黑球的概率为 ； （2）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率为 . 8．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 9．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为 ． 10．一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球. (1)求甲取到的2个球颜色不相同的概率； (2)求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率. 题型三　贝叶斯公式 11．“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 12．为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 13．某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A． B． C． D． 14．已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 15．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 题型四　离散型随机变量的分布列 16．为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 (1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； (3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 17．甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜． (1)求甲最后积分为6分的概率； (2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望． 18．新能源汽车充电站作为新能源汽车发展的重要基础设施，在城市交通的可持续发展中起着关键作用.现有20个新能源汽车充电站的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，. (1)根据频率分布直方图，求的值，并求日使用次数在内的充电站个数； (2)从这20个充电站中任取2个，设这2个充电站中日使用次数在内的有个，求的分布列和期望. 19．某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望． 20．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 . 题型五　两点分布 21．常见的几种分布的均值 （1）两点分布：若X服从参数为p的两点分布，则 ． （2）二项分布：若，则 ． （3）超几何分布：若，则 ． 22．已知随机变量X，Y均服从分布，若，且，则 . 23．下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量满足，，，，则 24．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示一次试验的成功次数，则（   ） A．0 B． C． D． 25．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 题型六　正态分布 26．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数是1； B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； C．已知随机变量，若，则； D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，， 27．下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 28．下列说法正确的是（   ） A．一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数 B．样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 29．坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（   ） A． B． C． D． 30．某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 概率 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　条件概率的求算 题型二　全概率公式 题型三　贝叶斯公式 题型四　离散型随机变量的分布列 题型五　两点分布 题型六　正态分布 题型一　条件概率的求算 1．一个盒子中装有个白球和个黑球（且），从中随机取出n个球，发现这n个球颜色相同，则这n个球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件A为摸出n个球颜色相同，事件B为摸出n个黑球，先由条件概率求出，再结合组合数的性质计算. 【详解】记事件A为摸出n个球颜色相同，事件B为摸出n个黑球，则 （第二个等式是因为） ，，因此 由组合数性质，故. 故选：A 2．某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图． (1)估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率； (3)已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例．（精确到0.1%） 【答案】(1)平均课外阅读时间小时/月； (2)； (3). 【分析】（1）根据直方图的平均值求法求该校学生的平均课外阅读时间； （2）由直方图估计时间位于区间的频率，即可得概率； （3）根据已知得其他年级学生中喜欢阅读的学生占比为，且其他年级学生占比为，进而求出其他年级学生中喜欢阅读的比例. 【详解】（1）由直方图知，平均课外阅读时间为小时/月； （2）由直方图知，时间位于区间的频率为， 所以该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率为. （3）由题设，初一年级学生中喜欢阅读的学生占比为， 所以其他年级学生中喜欢阅读的学生占比为， 故其他年级学生中喜欢阅读的比例. 3．第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 【答案】 / 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解. 【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为， 设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件， 则，， ， 该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为. 故答案为：，. 4．已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表1. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. (1)求随机抽取1单，该单的赔偿次数不少于3的概率. (2)下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 0.95a 1.1a 1.2a 1.3a 1.4a 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. ①估计甲2026年参保（第二个保险期）的保费为X元，求X的数学期望； ②求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保（第三个保险期）的保费少于2400元的概率. 【答案】(1) (2)①（元）；② 【分析】（1）用频率估计概率，结合表1中数据运算求解即可； （2）①分析可知X可取1900，2200，2400，2600，2800，结合题意求相应概率和期望；②根据题意结合条件概率公式运算求解即可. 【详解】（1）该单的赔偿次数不少于3的概率约为. （2）①X可取1900，2200，2400，2600，2800. ，， ，. （元）. ②甲2026年参保的保费大于2000元的概率. 甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括： 2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0； 2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为0. 其概率. 故所求概率为. 5．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）由题意结合条件概率知识可得答案； （2）由题可得可取0，1，2，即可得分布列及相应期望； （3）由（2）结合全概率公式可得答案. 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，， 由条件概率公式，； （2）由题意：，1，2. ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 （3）设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”， 事件“发射器发射了个“1指向”光子”， 由（2）知：，，， 则，，， 由全概率公式，得： . 题型二　全概率公式 6．电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，应用条件概率公式，计算可得结果； （2）应用对立事件的性质，可以计算这两个平台向该用户不推送A、B、C中任一种的概率，用1减去可得结果. 【详解】（1）解：设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，由题设可知： ，，，， 又，所以， （2）设平台向该用户推送为事件， 则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：， 因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以， 因为，所以， 即， 所以. 7．一袋中装有3个红球，5个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作. （1）第二次取出的球是黑球的概率为 ； （2）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率为 . 【答案】 /0.625 【分析】（1）利用全概率公式即可解决； （2）计算、等探寻规律即可发现其概率均为. 【详解】记表示第i次取到黑球，则 （1）， 则第二次取出的球是黑球的概率为. （2） ……… 事实上，可以证明：①； ②； ③. 故答案为：；. 8．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算可求概率. 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 9．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为 ． 【答案】0.86/ 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”， 事件为“购买的灯泡是合格品”， 则，， ，， 所以. 故答案为：0.86. 10．一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球. (1)求甲取到的2个球颜色不相同的概率； (2)求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设相应事件，可得相应事件概率，结合全概率公式分析求解； （2）由条件概率公式运算求解. 【详解】（1）设第一次取到红球为事件，第二次取到红球为事件，甲取到的2个球颜色不相同为事件， 则， 因为，显然事件为互斥事件， 所以. （2）由题意可知：, , 所以. 题型三　贝叶斯公式 11．“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可. 【详解】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； （2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 12．为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【答案】(1) (2)期望为，方差为 【分析】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，利用全概率公式可求出的值，再利用条件概率公式可求得的值； （2）分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式即可得解. 【详解】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时， 则，，，， 由全概率公式可得， 由条件概率公式可得. 因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为. （2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为， 由题意可知，所以，，. 13．某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为×=， 市民开私家车出行迟到的概率为×=， 市民骑行或步行出行迟到的概率为×=， 则这名市民迟到的概率为×+×+×=， 故所求的概率为. 故选：C. 14．已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先分析求解从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 15．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【分析】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 题型四　离散型随机变量的分布列 16．为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 (1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； (3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1)(2)(3)分布列见解析， 【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以m即可得答案； （2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案； （3）随机变量可以取，再分别求出概率，则的分布列与数学期望可求. 【详解】（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据， 得样本平均数， 则山上试验田株古茶树产茶量估算为； （2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和， 故方差，， 故； （3）依题意，随机变量可以取， 随机变量的分布列为 9 8 7 6 5 4 随机变量的期望. 17．甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜． (1)求甲最后积分为6分的概率； (2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望． 【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）求出甲随机搭配的样本空间、样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功，根据相互独立事件、互斥事件的概率加法公式计算可得答案； （2）求出的所有可能取值和相应的概率求出分布列、期望即可. 【详解】（1）根据题意，甲随机搭配的样本空间， 有7个样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功， 则； （2）根据题意，的所有可能取值为； 其中， ，， ，， ， ， 变量的分布列为： 0 2 4 6 8 10 12 所以期望． 18．新能源汽车充电站作为新能源汽车发展的重要基础设施，在城市交通的可持续发展中起着关键作用.现有20个新能源汽车充电站的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，. (1)根据频率分布直方图，求的值，并求日使用次数在内的充电站个数； (2)从这20个充电站中任取2个，设这2个充电站中日使用次数在内的有个，求的分布列和期望. 【答案】(1)，； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据概率总和为1可求出的值，根据图中所示的频率可求出相应的充电站个数； （2）利用古典概型的概率公式，结合组合数计算，可求出所有可能取值的概率，从而得到分布列并计算出期望. 【详解】（1）由频率和为1，可得，解得.     因为日使用次数在内的频率为，         所以日使用次数在内的充电站个数为. （2）所有可能的取值为0，1，2.         ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 故. 19．某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.4(2) 【分析】（1）由在3小时内完成各科作业的人数为40，利用古典概型的概率求解； （2）由X的可能取值为0，1，2，3，利用超几何发布，分别求得其概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）在3小时内完成各科作业的人数为40， 所以在3小时内完成各科作业的概率为； （2）完成各科作业的总时长在2.5小时内共有7人， 其中完成各科作业的总时长在2小时内有3人， 若从这7人中随机取3人， 则X的可能取值为0，1，2，3， 则， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 20．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 . 【答案】 【分析】设保险公司要求顾客交元保险金，求出收益额的分布列和数学期望，根据即可求出的值，即为答案. 【详解】设保险公司要求顾客交元保险金，若表示公司每年的收益额，则是一个随机变量， 的取值范围为，， 则的分布列为 因此，公司每年收益的期望值， 为使公司收益的期望值等于的百分之十，所以，解得. 故答案为：. 题型五　两点分布 21．常见的几种分布的均值 （1）两点分布：若X服从参数为p的两点分布，则 ． （2）二项分布：若，则 ． （3）超几何分布：若，则 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 22．已知随机变量X，Y均服从分布，若，且，则 . 【答案】 【分析】根据两点分布的概率特征，结合互斥事件特征和对立事件概率性质计算即可. 【详解】解：因为随机变量X，Y均服从分布，且， 所以， 因为，所以， 且 因为，所以， 因此， 所以 故答案为：. 23．下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量满足，，，，则 【答案】BC 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从两点分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故不正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从两点分布，且，则，故正确； D.由随机变量满足随机变量满足，，，， 则， 所以，故不正确； 故选：BC. 24．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示一次试验的成功次数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布的性质可求相应的概率，故可得正确的选项. 【详解】设，则.依题意知，，解得， 故. 故选：B 25．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 题型六　正态分布 26．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数是1； B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； C．已知随机变量，若，则； D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，， 【答案】ACD 【分析】根据百分位数、相关系数、二项分布、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确； 对于选项B，因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故B错误． 对于选项C，因为， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，由， 可得在90~100分的人数是，故D正确. 故选：ACD． 27．下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 28．下列说法正确的是（   ） A．一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数 B．样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项由平均数公式得到两组数据的平均数的关系，然后比较即可；B选项先求出数据的平均数，然后分别求出方差和标准差即可；C选项由二项分布得到结合对应的方差公式即可得到；D选项由正态分布的对称性得到，即可求出. 【详解】A选项：设，则，所以A选项错误； B选项：这组数据的平均数，所以方差， 标准差，∴，即标准差大于方差，B选项正确； C选项：由可知，所以，C选项正确； D选项：由可知，∴由对称性可得， ∴，D选项正确. 故选：BCD. 29．坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断BC；利用对立事件的概率公式计算判断D. 【详解】对于A，由，得， 则，A正确； 对于B，由A知，在区间的概率为，，， 因此，B正确； 对于C，由B知，，因此，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 30．某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据80％分位数的求法计算即可； （3）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为 （3）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$