专题08 平行四边形的判定（5题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题08 平行四边形的判定 题型概览 题型01判断能否构成平行四边形 题型02添加条件成为平行四边形 题型03证明平行四边形 题型04利用平行四边形判定与性质求解 题型05 利用平行四边形判定与性质证明 ( 题型01 ) 判断能否构成平行四边形 1．(22-23八下·浙江杭州观城教育集团·期中)如图，已知四边形，对角线和相交于，下面选项不能得出四边形是平行四边形的是（　　） A．，且 B．， C．， D．，且 2．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 3．(23-24八下·浙江杭州萧山区·期中)如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B．， C．， D．， 4．(23-24八下·浙江温州瑞安五校联考·期中)在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　) A．， B．， C．， D．， 5．(23-24八下·浙江台州路桥区十校联盟·期中)下列各命题的逆命题不成立的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 C．平行四边形的对角线互相平分 D．对顶角相等 6．(22-23八下·浙江宁波余姚子陵中学教育集团·期中)用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 ( 题型02 ) 添加条件成为平行四边形 1．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．(22-23八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 3．(22-23八下·浙江嘉兴平湖六校校考·期中)在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（   ） A． B． C．平分 D． 4．(20-21八下·浙江嘉兴·期中)如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（ ） A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE ( 题型03 ) 证明平行四边形 1．(23-24八下·浙江绍兴诸暨·期中)如图，E，F是四边形对角线上两点，，，．求证：    (1) (2)四边形是平行四边形． 2．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)如图，在中，M，N是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 3．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)请在网格中画一个相邻两边长分别为、的平行四边形，使它的顶点都在格点上． (2)求出题（1）中平行四边形的面积及较长边上高线的长度． 4．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形如图所示． (1)请作出关于原点O成中心对称的； (2)在网格图中作出． (3)写出点的坐标． 5．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)如图，在中，于点，于点，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 6．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)如图，在中，是的角平分线，点为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证∶四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 7．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)如图，点A，B为方格纸中的格点，请按要求在方格纸中（包括边界）画格点四边形． (1)在图1中画出一个以为边的． (2)在图2中画出一个以为对角线的平行四边形，且使得该平行四边形的面积为6． 8．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)已知：如图，是中的一条对角线，点E、F在上． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，求长 9．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)如图1，在中，，，，以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E． (1)求边的长； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C点A重合，直接写出的长是________； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是________． 10．(23-24八下·浙江杭州西湖区云城中学·期中)如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． ( 题型04 ) 利用平行四边形判定与性质求解 1．(23-24八下·浙江宁波海曙区部分学校·期中)如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为（    ） A．27 B．45 C．18 D．36 2．(22-23八下·浙江杭州上城区绿城育华学校·期中)如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（    ） A．9 B． C．12 D．18 3．(21-22八下·浙江温州部分校·期中)如图，把含，角的两块直角三角板放置在同一平面内，若，，当时，与之间的距离是（ 　 ） A． B． C． D． 4．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（    ） A． B． C．5 D．10 5．(22-23七下·浙江杭州夏衍初级中学·期中)如图，将沿方向平移a个单位长度，得到．若，，，则a与b的关系式是 ． 6．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)如图，在中，将和分别沿着折叠得到和，点G，H恰好落在对角线上，且，连接，若，则 ． 7．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)如图，中，，，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 ． 8．(22-23八下·浙江杭州滨江区杭州西兴中学·期中)如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为 ．    9．(22-23八下·浙江杭州拱墅区大关中学教育集团·期中)如图，过内任意一点P作各边的平行线分别交，，，于点E，F，G，H．若，，则 ．    10．(22-23八下·浙江宁波慈溪杭州湾初级中学·期中)如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 11．(22-23八·浙江瑞安安阳实验中学·期中)数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则 ． 12．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点， (1)求证：． (2)记面积为，四边形面积为， ①求与的关系式． ②连接，若为直角三角形时，求的值． 13．(22-23八下·浙江六校联考·期中)在平行四边形中，，，∠BAD＝120°． (1)若，则______； (2)如图，求对角线的长（用含，的式子表示）； (3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长． 14．(22-23八下·浙江金华义乌雪峰中学·期中)如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．    (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形． ①当时，求的长； ②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ( 题型0 5 )利用平行四边形判定与性质证明 1．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)已知：如图，在梯形中，，，． (1)求证：． (2)求与之间的距离． 2．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)已知：如图，E，F分别是的边，的中点，连结和，求证： 和互相平分．    3．(20-21八下·浙江杭州拱墅区·期末)如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 4．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)如图，在的方格纸中，请按要求画出格点四边形． (1)在图1中以为边画一个格点，周长为整数． (2)在图2中以为对角线画一个格点．使得该平行四边形的一条对角线等于它的一条边． 5．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，已知中，E，F是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 6．(23-24八下·浙江宁波慈溪西部教研共同体·期中)先观察图①，直线，点A，B在直线上，点在直线上． (1)这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由． (2)若把图②中的四边形改成一个三角形，并保持面积不变，可怎么改？请画图说明． (3)把四边形改成一个以为一条底边的梯形或平行四边形，并保持面积不变，可怎么改，请在备用图中画图说明． 7．(21-22八下·浙江嘉兴嘉兴一中实验学校·期中)已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使； (2)如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使． 8．(23-24八下·浙江宁波兴宁中学·期中)如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点， 作于点，于点 请回答下列问题： (1)选择其中一种你认为正确的方案进行证明； (2)在（1）的基础上，若，，求的面积． 9．(23-24九下·浙江杭州富阳区·期中)如图，已知，，． (1)求证：； (2)连接，那么相等吗？请说明理由． 10．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)如图1，在等腰中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．    (1)若，求的大小； (2)如图2，作交于点G，连结交于点H． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，求的度数． 11．(23-24八上·浙江温州·期末)如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个等腰三角形． (2)在图2中画一个，使得恰好平分的面积． 12．(22-23八下·浙江绍兴柯桥区联盟·期中)如图，已知菱形的四个顶点的坐标分别为，，，．    (1)请画出菱形关于原点对称的菱形，并写出点的坐标； (2)在平面直角坐标系中找一点，使，，，能组成平行四边形除外，写出点坐标． (3)求菱形的面积． 13．(20-21八下·浙江嘉兴·期末)如图 ，在8×8的正方形网格中 ，三角形和四边形的所有顶点都在格点上．请你仅用一把无刻度的直尺按要求作图 ，并保留作图痕迹． (1)在图1中找一个格点D ，使四边形ABCD是平行四边形． (2)在图2中作一个平行四边形 ，使其面积是四边形面积的2倍 ，且顶点，，，落在平行四边形的边或顶点上． 14．(21-22八下·浙江温州第十二中学·期中)作图题：如图，在方格纸中，请按要求画出以为边的格点四边形． (1)在图1中画出一个，使得格点为的对称中心； (2)在图2中画出一个，使得的周长为整数且邻边不垂直． 1．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 2．(22-23八下·浙江温州洞头区洞头区·期中)如图，在中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 3．如图，在，点为的中点，延长、交于点，连接，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若为的角平分线，，，求的面积． 4．(22-23八下·浙江台州椒江区白云学校·期中)在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线 (2)在图2中，画出的角平分线（F为格点） (3)在图3中，画出线段的垂直平分线 5．(22-23八下·浙江杭州滨江区杭州江南实验学校·期中)如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒． (1) ______ 含的代数式表示； (2)如图，连接，，，当时，求的面积； (3)如图，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为______. 6．(21-22八下·浙江温州乐清乐成第一中学·期中)如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，． (1)求，的长度； (2)若，求的长； (3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 7．(22-23八·浙江瑞安安阳实验中学·期中)如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：．点D在边上（不与点C重合），，点P在折线上运动，过点P作交边或于点Q，E为中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形是平行四边形时，求点P的坐标． (3)取线段的中点F，作射线．当射线经过点A时，求的面积． 8．(22-23八下·浙江温州瑞安飞云中学·期中)如图，在平行四边形中，，，，点O是对角线的中点．过点O的直线分别交射线和射线于点E，F，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)当平分时，求的长 9．(21-22七下·浙江温州第十二中学·期中)如图，在三角形中，，、分别为、上一点，且，过点作交于点，已知． (1)如图1，判断与是否垂直，并说明理由． (2)在点运动过程中， ①如图2，连接，若，请求出的大小． ②线段可由线段沿着方向平移得到．当点与点重合时，且点恰好落在线段上，则此时______°．（直接写出度数） 10．(21-22八下·浙江温州部分校·期中)如图，在四边形中，为坐标原点，点，分别位于轴，轴正半轴上，，为边的中点，为边上一点（不与点，重合），且，，分别与相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知（4，8），当为等腰三角形时，求的长； (3)当为中点时，连接并延长交于点，若四边形与△的面积差为4，请在横线上直接写出点的坐标______． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平行四边形的判定 题型概览 题型01判断能否构成平行四边形 题型02添加条件成为平行四边形 题型03证明平行四边形 题型04利用平行四边形判定与性质求解 题型05 利用平行四边形判定与性质证明 ( 题型01 ) 判断能否构成平行四边形 1．(22-23八下·浙江杭州观城教育集团·期中)如图，已知四边形，对角线和相交于，下面选项不能得出四边形是平行四边形的是（　　） A．，且 B．， C．， D．，且 【答案】D 【来源】浙江省杭州市观城教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据平行四边形的判定逐个进行判断即可． 【详解】解：、依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 、由，得出，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 、，，， ， ， ∴依据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 、不能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键． 2．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形不是平行四边形，故是假命题； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，真命题． 理由：如图，在四边形中，，． 假设四边形不是平行四边形，则， 不妨设，则在上取点E，使得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，这与矛盾， ∴假设的四边形不是平行四边形不成立，即四边形是平行四边形． 综上：正确的命题是④． 故选：A． 3．(23-24八下·浙江杭州萧山区·期中)如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【来源】浙江省杭州市萧山区2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试题 【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； D、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C 4．(23-24八下·浙江温州瑞安五校联考·期中)在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【来源】浙江省温州市瑞安市五校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 5．(23-24八下·浙江台州路桥区十校联盟·期中)下列各命题的逆命题不成立的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 C．平行四边形的对角线互相平分 D．对顶角相等 【答案】D 【来源】浙江省台州市路桥区十校联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分别写出各个命题的逆命题，再根据平行线的判定定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定定理、对顶角判断即可．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、逆命题是内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意； B、逆命题是一个三角形一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，成立，不符合题意； C、逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形吧，成立，不符合题意； D、逆命题是相等的角是对顶角，不成立，符合题意； 故选：D． 6．(22-23八下·浙江宁波余姚子陵中学教育集团·期中)用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【来源】浙江省宁波市余姚市子陵中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． ( 题型02 ) 添加条件成为平行四边形 1．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省衢州市兴华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．设交于点，则，，因为，所以，则四边形是平行四边形，可判断A不符合题意；由，，不能证明与全等，则不能证明与平行，所以不能证明四边形是平行四边形，可判断B符合题意；由，得，可证明，则，所以四边形是平行四边形，可判断C不符合题意；由，，推导出，可证明，得，则四边形是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故A不符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能确定与是否相等， 不能证明与平行， 不能证明四边形是平行四边形， 故B符合题意； ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 2．(22-23八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省金华市义乌市稠州中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】证明，得到，推出，由此判断B；由得到，由此依据B判断C选项；添加，由此证明，得到，推出，由此判断D；由此得到A选项符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意； 添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A不能； 故选：A． 【点睛】此题考查了添加条件证明平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．(22-23八下·浙江嘉兴平湖六校校考·期中)在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【来源】浙江省嘉兴市平湖市六校校考2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：如图：A.添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，因此A选项不合题意； B.添加后，利用平行线的判定定理可得，四边形是两组对边平行，能判定为平行四边形，因此B选项符合题意； C.添加平分后，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出，四边形一组对边平行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意； D.添加后，四边形一组对边平行、邻边相等，不可以判定为平行四边形，因此D选项不符合题意． 故选B．    【点睛】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 4．(20-21八下·浙江嘉兴·期中)如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（ ） A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE 【答案】D 【来源】浙江省嘉兴市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【详解】解：如图，连接AC与BD相交于O， 在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD， 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可； A、若BE=DF，则OB-BE=OD-DF，即OE=OF，故本选项不符合题意 B、若AF⊥BD，CE⊥BD，则可以利用“角角边”证明△ADF和△CBE全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意； C、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意； D、AF=CE无法证明得到OE=OF，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． ( 题型03 ) 证明平行四边形 1．(23-24八下·浙江绍兴诸暨·期中)如图，E，F是四边形对角线上两点，，，．求证：    (1) (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【来源】浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等，这一判定定理即可证明． （2）由，可证明且，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知， ，， ． 四边形是平行四边形． 2．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)如图，在中，M，N是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段三等分点的定义，熟练掌握并运用相关知识即可解题． （1）连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，再根据M，N是对角线的三等分点得到，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据三等分点得出，利用勾股定理进而得出，再利用勾股定理得出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ，， ，N是对角线的三等分点， ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，，M，N是对角线的三等分点， ，， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ． 3．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)请在网格中画一个相邻两边长分别为、的平行四边形，使它的顶点都在格点上． (2)求出题（1）中平行四边形的面积及较长边上高线的长度． 【答案】(1)见解析 (2)7，或5， 【来源】浙江省衢州市兴华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）是直角边分别为1，3直角三角形的斜边；是直角边分别为2，1的直角三角形的斜边，据此根据勾股定理画出平行四边形即可； （2）先运用割补法求得平行四边形的面积，然后再利用平行四边形的面积公式直接计算即可． 本题考查作图﹣勾股定理的应用、平行四边形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握相关的概念并能灵活运用． 【详解】（1）如图，平行四边形即为所求； （2）如图所示， 过点A作， ∴平行四边形的面积=， 又∵，的面积， ∴上的高线， ∴较长边上的高为； 如图所示，过点D作 ∴平行四边形的面积=， 又∵，的面积， ∴上的高线， ∴较长边上的高为， 综上所述，平行四边形的面积及较长边上高线的长度分别为7，或5，． 4．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形如图所示． (1)请作出关于原点O成中心对称的； (2)在网格图中作出． (3)写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【来源】浙江省宁波市北仑区北仑区小浃江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平行四边形的判定作图即可． （3）由图可得出答案． 【详解】（1）如图，'即为所求． （2）如图，即为所求． （3）点的坐标为． 5．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)如图，在中，于点，于点，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【来源】浙江省衢州市兴华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，，则，由于点，于点，得，，即可根据“”证明，得，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）由，，得，则，，所以，求得，则，所以，则． 【详解】（1）（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 于点，于点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，，， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为13． 6．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)如图，在中，是的角平分线，点为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证∶四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)480 【来源】浙江省温州市实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）三线合一，得到，证明，推出，即可得证； （2）将四边形的面积转化为的面积，三线合一结合平行四边形的性质以及勾股定理，求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 7．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)如图，点A，B为方格纸中的格点，请按要求在方格纸中（包括边界）画格点四边形． (1)在图1中画出一个以为边的． (2)在图2中画出一个以为对角线的平行四边形，且使得该平行四边形的面积为6． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)图见解析（答案不唯一） 【来源】浙江省温州市实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质： （1）根据平行四边形的判定方法作图即可； （2）根据平行四边形的判定和性质，作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，平行四边形即为所求，面积为6． 8．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)已知：如图，是中的一条对角线，点E、F在上． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，求长 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省宁波市慈溪市凤湖初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接交于点O，首先根据平行四边形的性质得到，，然后求出，即可证明出四边形是平行四边形； （2）过点D作交的延长线于点G，求出，，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接交于点O ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）如图所示，过点D作交的延长线于点G ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 9．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)如图1，在中，，，，以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E． (1)求边的长； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C点A重合，直接写出的长是________； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) ；满足条件的的长为2或或； 【来源】浙江省杭州市上城区钱学森学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再结合为等边三角形可证明，即可证明； （3）设，由折叠性质和等边三角形的性质可得，在中，由勾股定理可求出，在中，用勾股定理即可求解；分三种情况：当点C与的中点D重合时，当点C与的中点重合时，连接，当点C与的中点重合时，连接，过点作，分别用勾股定理求解即可． 【详解】（1）在中，，，， ∴ ∴ （2）证明：在中，D是的中点， ∴ ∴ ∴， ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； （3）①设， 由（2）可得：， ∵为等边三角形， 由折叠可得： 在中，，， ∴ 在中， 即，解得： ∴； ②当点C与的中点D重合时，如图 ∵为等边三角形， ∴ 当点C与的中点重合时，连接，如图 设， 由（2）可得：， ∵为等边三角形， ∴ 由①得： ∴ 则 ∴； 当点C与的中点重合时，连接，过点作，如图， ∵，由①得： 则 ∴ 由折叠可得： ∴ ∴； 综上：满足条件的的长为2或或； 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定． 10．(23-24八下·浙江杭州西湖区云城中学·期中)如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省杭州市西湖区云城中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟记并灵活运用各个知识点是解题的关键． （1）先根据，得出，根据角平分线的定义得出，则，推出，即可求证四边形是平行四边形； （2）通过证明是等边三角形，得出，，根据勾股定理得出，则，最后根据的面积，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，°， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． ( 题型04 ) 利用平行四边形判定与性质求解 1．(23-24八下·浙江宁波海曙区部分学校·期中)如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为（    ） A．27 B．45 C．18 D．36 【答案】B 【来源】浙江省宁波市海曙区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．利用平行四边形的判定和性质，三角形不等式计算即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移，折叠，三角形不等式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、． ∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵D、T关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴B、A、T共线， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的最小值为45， 故选B． 2．(22-23八下·浙江杭州上城区绿城育华学校·期中)如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（    ） A．9 B． C．12 D．18 【答案】D 【来源】浙江省杭州市上城区绿城育华学校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积，可以求得行四边形的面积，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 四边形是平行四边形，四边形、四边形，四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ，（与平行四边形等高） ， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，明确题意，利用数形结合的思想解题，是解答本题的关键． 3．(21-22八下·浙江温州部分校·期中)如图，把含，角的两块直角三角板放置在同一平面内，若，，当时，与之间的距离是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市部分校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】延长CO交AB于E，过点C作CF⊥AD于F，先证四边形ABCD为平行四边形，根据等腰直角三角形三线合一得出AE=BE=OE=，利用勾股定理求出OC，然后利用平行四边形面积求解即可． 【详解】解：延长CO交AB于E，过点C作CF⊥AD于F， ∵，， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵OC⊥CD， ∴CE⊥AB， ∵△AOB为含45°三角板， ∴AO=BO， ∴AE=BE=OE=， ∵∠ODC=30°， ∴OD=2OC， 在Rt△COD中，即， 解得OC=2 ∴CE=OE+OC=2+， ∴S平行四边形ABCD=AB·CE=AD·CF， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，30°直角三角形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，掌握平行四边形的判定与性质，30°直角三角形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理是解题关键． 4．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【来源】【新东方】义乌初中数学初二下【00021】 【分析】过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，易证S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，得出四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，则S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，得出S△AEP=S△CFP，由MN∥BC，求出PH，由S阴影部分=2S△AEP即可得出结果． 【详解】解：过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AB，MN∥AD， ∴S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC， ∴四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形， ∴S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP， ∴S△AEP=S△CFP， ∵MN∥BC， ∴∠AMP=∠ABC=60°， ∵四边形AEPM是平行四边形， ∴∠PEH=60°， ∴∠EPH=30°， ∴HE=EP=1， ∴PH=， ∴S阴影部分=2S△AEP=2×AE•PH=2××5×=， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 5．(22-23七下·浙江杭州夏衍初级中学·期中)如图，将沿方向平移a个单位长度，得到．若，，，则a与b的关系式是 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市夏衍初级中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查平移的性质和平行四边形的判定和性质，过点A作于点G，过点D作于点H．即可得到四边形是平行四边形，四边形也是平行四边形．求得，，结合面积公式即可得到a与b的关系式． 【详解】解：过点A作于点G，过点D作于点H． ∵将沿方向平移a个单位长度，得到， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理，四边形也是平行四边形． ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形，四边形也是平行四边形， ∴，， ∴． 设与之间的距离为h，则， ∵，， ∴a与b的关系式是． 故答案为：． 6．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)如图，在中，将和分别沿着折叠得到和，点G，H恰好落在对角线上，且，连接，若，则 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】如图，连接，交于，过作于，连接，证明，四边形为平行四边形，四边形是平行四边形，且，设，则，设，，，，利用等面积法可得，，由勾股定理可得：，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于，过作于，连接， ∵， ∴，，，，， ∴， 由对折可得：，， ∴， ∴， 结合对折可得：， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 同理可得：四边形是平行四边形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，设，， ∴， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 同理可得： ， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)如图，中，，，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 ． 【答案】/ 【来源】浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角的性质和判定，轴对称等．过点F作交于点Q，作点E关于的对称点P，连接，并延长交于点M，则，可得五边形的周长最小值为，再根据平行四边形的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作交于点Q，作点E关于的对称点P，连接，并延长交于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴五边形的周长为， ∴五边形的周长最小值为， ∵点为边上的中点，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即五边形的周长最小值为． 故答案为：． 8．(22-23八下·浙江杭州滨江区杭州西兴中学·期中)如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为 ．    【答案】 【来源】浙江省杭州市滨江区杭州西兴中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】延长至点，使，连接，通过勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点作于点，利用等面积法求出的长，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 如图，延长至点，使，连接，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 是直角三角形， 如图，过点作于点，则， ， 平行四边形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9．(22-23八下·浙江杭州拱墅区大关中学教育集团·期中)如图，过内任意一点P作各边的平行线分别交，，，于点E，F，G，H．若，，则 ．    【答案】33 【来源】浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据题意和图形，可以得到，然后变形整理即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴ ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为：33． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是表示出的面积，利用数形结合的思想解答． 10．(22-23八下·浙江宁波慈溪杭州湾初级中学·期中)如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【来源】浙江省宁波市慈溪市杭州湾初级中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】连接，过A作交的延长线于M，求出四边形是平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可． 【详解】解：连接，过A作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等， 同理的面积和的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键． 11．(22-23八·浙江瑞安安阳实验中学·期中)数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则 ． 【答案】 【来源】浙江省瑞安市安阳实验中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】连接，利用直角性质求得，，由折叠的性质以及，推出是线段的垂直平分线，则，求得，证明四边形是平行四边形，得到，在求得即可． 【详解】解：连接， ∵平行四边形纸片，且，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质知，，，是线段的垂直平分线，则， ∵， ∴，即， ∴，由平行四边形的性质得，∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 12．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点， (1)求证：． (2)记面积为，四边形面积为， ①求与的关系式． ②连接，若为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或3 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得出，再根据证明； （2）①延长交于点M，证明，，，为等腰直角三角形，得出，，，，求出，得出，，根据得出即可； ②分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴； （2）解：①延长交于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，，，为等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ， ∴． ②根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ， 根据勾股定理得： ， ， 当时，， ∴， 解得：或（舍去）， ， ∴； 当时，， ∴， 解得：， ， ∴； 当时，， ∴， 解得：， 此时，不符合题意舍去； 综上分析可知：或3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 13．(22-23八下·浙江六校联考·期中)在平行四边形中，，，∠BAD＝120°． (1)若，则______； (2)如图，求对角线的长（用含，的式子表示）； (3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长． 【答案】(1) (2)对角线的长为 (3)的长为 【来源】浙江省六校联考2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】（1）延长，过点作的延长线于点，根据勾股定理和直角三角形的性质得出及的长，根据勾股定理即可得出结论； （2）延长，过点作的延长线于点，根据得出，再由得出，，故，根据勾股定理即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，连接、，先根据平行四边形的性质得出，，在中求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求出且，然后用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：如图1，延长，过点作的延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，． ， ， ． 故答案为：； （2）解：如图1，延长，过点作的延长线于点， ， ． ， ，． ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，连接、，如图所示： 四边形是平行四边形，，， ，， ， ， 在中， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的混合运算．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 14．(22-23八下·浙江金华义乌雪峰中学·期中)如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．    (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形． ①当时，求的长； ②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，或2或3 【来源】浙江省金华市义乌市雪峰中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质求出，进而得到，据此求出即可； （2）①根据，求出，则，利用勾股定理分别求出，，进而求出，则；②分图2-1，2-2，2-3三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点D为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； ②如图2-1所示，当落在上时，则， ∴， ∴此时点D与点M重合， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）；    如图2-2所示，当落在上时，延长到H使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得；    如图2-3所示，当点Q运动到点B时，此时在上， ∴； 综上所述，t的值为或2或3．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． ( 题型0 5 )利用平行四边形判定与性质证明 1．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)已知：如图，在梯形中，，，． (1)求证：． (2)求与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． （1）过点作交于，证明四边形是平行四边形，得到，证明得到，即可证明； （2）过点作于，由平行四边形的性质结合已知条件可得，进而得到，再由三线合一定理得到，利用等腰直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作交于， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ，， 又， ∴，则， ， 与之间的距离为． 2．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)已知：如图，E，F分别是的边，的中点，连结和，求证： 和互相平分．    【答案】证明见解析 【来源】浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质应用．证明四边形是平行四边形是解题的关键．利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，∴，． ∵E，F是，的中点， ∴，， ∴ ∴四边形是平行四边形． ∴和互相平分． 3．(20-21八下·浙江杭州拱墅区·期末)如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【来源】浙江省杭州市拱墅区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， E，F分别是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解： ， ， ， 在中，， 是的中点， ． 4．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)如图，在的方格纸中，请按要求画出格点四边形． (1)在图1中以为边画一个格点，周长为整数． (2)在图2中以为对角线画一个格点．使得该平行四边形的一条对角线等于它的一条边． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理和网格问题，解题的关键是熟练掌握网格特点． （1）根据格点特点画出即可； （2）根据题意画出平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，四边形为所求作的平行四边形；（答案不唯一） ，， ∴四边形为平行四边形，且周长为，符合题意． （2）解：如图，四边形即为所求作的平行四边形．（答案不唯一） ，， ， ∴四边形为平行四边形，且． 5．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，已知中，E，F是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）连接，交于点O，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先证，等量代换得出，根据等边对等角、三角形内角和定理求出，最后根据平行四边形对角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：， ，即， 又， ， ， 又， ， 又四边形是平行四边形， ． 6．(23-24八下·浙江宁波慈溪西部教研共同体·期中)先观察图①，直线，点A，B在直线上，点在直线上． (1)这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由． (2)若把图②中的四边形改成一个三角形，并保持面积不变，可怎么改？请画图说明． (3)把四边形改成一个以为一条底边的梯形或平行四边形，并保持面积不变，可怎么改，请在备用图中画图说明． 【答案】(1)这些三角形的面积相等，理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【来源】浙江省宁波市慈溪市西部教研共同体2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的性质与判定： （1）根据平行线间间距相等即可得到结论； （2）①连接，②过点D作的平行线，与的延长线交于点E③连接，则就是适合条件的一个三角形． （3）第一步，把四边形等积变成以为一条边的，①、连接，②、过C作交的延长线于E，③、连接．④、作出的高，⑤、作的垂直平分线，交于G，交于O，⑥、过B作，交于F．由作法知是平行四边形，因为它的高，所以与三角形等面积，也就与四边形等积．补充方法：梯形与四边形等积．（）． 【详解】（1）解：这些三角形的面积相等，理由如下： ∵， ∴的底边上的高相等， ∴这4个三角形同底，等高， ∴这些三角形的面积相等． （2）解：如图2： ①连接， ②过点D作的平行线，与的延长线交于点E ③连接， 就是适合条件的一个三角形． 理由如下：由，可得和的面积相等（同底等高）， ∴四边形与面积相等． （3）解： 第一步，把四边形等积变成以为一条边的， ①、连接， ②、过C作交的延长线于E， ③、连接． 因为与面积相等，所以与四边形面积相等． 第二步，把面积变成以为底边的平行四边形的面积， ④、作出的高， ⑤、作的垂直平分线，交于G，交于O， ⑥、过B作，交于F． 由作法知是平行四边形，因为它的高，所以与三角形等面积，也就与四边形等积． 补充方法：梯形与四边形等积．（）． 7．(21-22八下·浙江嘉兴嘉兴一中实验学校·期中)已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使； (2)如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省嘉兴市嘉兴一中实验学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，点即为所求；    同（1）可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 同法可得：， ∴， ∴， ∴． 8．(23-24八下·浙江宁波兴宁中学·期中)如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点， 作于点，于点 请回答下列问题： (1)选择其中一种你认为正确的方案进行证明； (2)在（1）的基础上，若，，求的面积． 【答案】(1)选择方案及证明见解析 (2)32 【来源】浙江省宁波市兴宁中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，，推导出，则，所以，则，所以． 【详解】（1）解：选甲方案， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 选乙方案， 证明：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积是32． 9．(23-24九下·浙江杭州富阳区·期中)如图，已知，，． (1)求证：； (2)连接，那么相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 【来源】浙江省杭州市富阳区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质． （1）由得，即，由得，进而可得，再用边角边证明其全等即可； （2）由得，，故，得出四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即 ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中 ∴； （2）解：相等．理由如下： ∵ ∴，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴． 10．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)如图1，在等腰中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．    (1)若，求的大小； (2)如图2，作交于点G，连结交于点H． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，求的度数． 【答案】(1)； (2)①见详解；② 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，外角定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由等腰得，再由即可求解； （2）①由等腰的性质及平行线的性质证明出 ，则，故可得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明； ②由四边形是平行四边形，及，得到，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到，最后由外角定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵由题意得， ∴． （2）①证明：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．(23-24八上·浙江温州·期末)如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个等腰三角形． (2)在图2中画一个，使得恰好平分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【来源】浙江省温州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的判定画出图形（答案不唯一）； （2）以为对角线，构造平行四边形，即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． ． 12．(22-23八下·浙江绍兴柯桥区联盟·期中)如图，已知菱形的四个顶点的坐标分别为，，，．    (1)请画出菱形关于原点对称的菱形，并写出点的坐标； (2)在平面直角坐标系中找一点，使，，，能组成平行四边形除外，写出点坐标． (3)求菱形的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)或 (3)8 【来源】浙江省绍兴市柯桥区联盟2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）分别找出，，点关于原点的对称点，和，进而得出菱形； （2）分别过点和点作及得平行线，分别交于和，则和是符合条件的点； （3）求得对角线和的长，进而求得结果． 【详解】（1）如图，    分别找出，，点关于原点的对称点，和，从而得出菱形关于原点对称的菱形， ， ； （2）如图，    分别过点和点作及得平行线，分别交于和，则和是符合条件的点， 或； （3）如图，连接，，   ，，，， ，， ． 【点睛】本题考查了平面直角坐标中确定点的坐标，菱形的性质，中心对称的性质，平行四边形的判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 13．(20-21八下·浙江嘉兴·期末)如图 ，在8×8的正方形网格中 ，三角形和四边形的所有顶点都在格点上．请你仅用一把无刻度的直尺按要求作图 ，并保留作图痕迹． (1)在图1中找一个格点D ，使四边形ABCD是平行四边形． (2)在图2中作一个平行四边形 ，使其面积是四边形面积的2倍 ，且顶点，，，落在平行四边形的边或顶点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省嘉兴市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形． （2）利用数形结合的思想解决问题，画出面积为18的平行四边形即可． 【详解】（1）如图，点D即为所求． （2）连接BD，过点A、C作BD的平行线，如图，平行四边形AMNG即为所求． 【点睛】本题考查格点作图，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 14．(21-22八下·浙江温州第十二中学·期中)作图题：如图，在方格纸中，请按要求画出以为边的格点四边形． (1)在图1中画出一个，使得格点为的对称中心； (2)在图2中画出一个，使得的周长为整数且邻边不垂直． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【来源】浙江省温州市第十二中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）连接BP并延长，取BP=PD，连接AP并延长，取AP=PC，依次连接AD，DC，CB即可求解． （2）根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：连接BP并延长，取BP=PD，连接AP并延长，取AP=PC， 依次连接AD，DC，CB，如图所示： ∵CD=BA，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故边形ABCD即为所求． （2）如图所示： ，， ∵BC=AD，CD=BA， ∴四边形ABCD为平行四边形，且周长=，且邻边不垂直， 故四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查了作图—中心对称图形及平行四边形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 1．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了网格中作平行四边形， （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意作出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 2．(22-23八下·浙江温州洞头区洞头区·期中)如图，在中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省温州市洞头区洞头区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 3．如图，在，点为的中点，延长、交于点，连接，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若为的角平分线，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】【新东方】【2021.5.20】【WZ】【初二下】【初中数学】【WZ00176】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形和全等三角形的性质与判定定理、通过条件作出辅助线逐步推理是解题的关键． （1）通过证明，即可推出平行且相等于，即得证； （2）通过辅助线进行转化得，再通过已知条件算出面积即为的面积． 【详解】（1）证明：由题意得，， ， 又点为的中点， ， 在和中， ， ， 又， 四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； （2）解：如图，过点作的垂线交延长线于点，过点作，过点作， ；， ， 又为的角平分线， ， 又， ， 而， ， ， 由（1）可知， ， 又，， ， 在等腰中，，， ， ， 在中，，， ， ， ． 4．(22-23八下·浙江台州椒江区白云学校·期中)在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线 (2)在图2中，画出的角平分线（F为格点） (3)在图3中，画出线段的垂直平分线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【来源】浙江省台州市椒江区白云学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）连接，相交于点E，即可求解； （2）取格点F，连接即可； （3）取格点P，Q，G，H，连接，相交于点N，连接，相交于点M，作直线即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，相交于点E，则即为所求， ， 理由： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴为中点， ∴是的中线； （2）解：如图2，取格点F，连接，则即为所求， 理由：∵， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即平分； （3）解：如图3，取格点P，Q，G，H，连接，相交于点N，连接，相交于点M，作直线，则即为所求， ， 理由： 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴M为中点，M为中点， 取格点K，O，连接交于L，连接，取格点J， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由M为中点， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，理解题意，灵活运用所学的知识解决问题是解题的关键． 5．(22-23八下·浙江杭州滨江区杭州江南实验学校·期中)如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒． (1) ______ 含的代数式表示； (2)如图，连接，，，当时，求的面积； (3)如图，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为______. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】浙江省杭州市滨江区杭州江南实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据几何动点的速度和时间可得结论； （2）根据四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，可得，再证明，最后利用三角形的面积公式可解答； （3）先证明，再计算两个边界点时点的值；①如图，点与重合，②如图4，在斜边上，由此可得结论. 【详解】（1）解：在中，， 由题意，， . 故答案为：； （2）如图中， 四边形是平行四边形， ∴，， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图2，， ， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 如图，点与重合， 由对称得：， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图4，在斜边上，此时， 由对称得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会取边界点解决实际问题，属于中考压轴题. 6．(21-22八下·浙江温州乐清乐成第一中学·期中)如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，． (1)求，的长度； (2)若，求的长； (3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或12 【来源】浙江省温州市乐清市乐成第一中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据题意，由可列方程并求解，可得，进而得到CE、CQ的长，再由求QE的长度即可；由点Q为中点，可知，可计算BC的长； （2）过点A作于点M，PE交AC于点N，由等腰三角形的性质可知，再证明四边形AMEP为平行四边形，推导，由列方程并求解，可依次求得AP、CQ的长度，由计算BQ的长度即可； （3）分两种情况讨论：当点Q、E在线段BC上时以及当点Q、E在线段CB的延长线上时，根据平行四边形的性质可知，根据题意分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如下图，由题意可知，，即， 解得，即， ∴，， ∴， ∵点Q为中点， ∴； （2）如下图，过点A作于点M，PE交AC于点N， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形AMEP为平行四边形， ∴， ∵， 由可知，， 解得，即， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ①如下图，当点Q、E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴， ∴， 解得； ②如下图，当点Q、E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴， ∴， 解得． 综上所述，当以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形时，或12． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是用方程的思想解决问题． 7．(22-23八·浙江瑞安安阳实验中学·期中)如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：．点D在边上（不与点C重合），，点P在折线上运动，过点P作交边或于点Q，E为中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形是平行四边形时，求点P的坐标． (3)取线段的中点F，作射线．当射线经过点A时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)点P的坐标为或； (3)的面积为3． 【来源】浙江省瑞安市安阳实验中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】（1）由的纵坐标相等，推出轴，再证明，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）分两种情况讨论，当点P在线段上时，此时点点P在线段的中点上；当点P在线段上时，推出四边形是平行四边形，得到轴，再求得直线的解析式，据此即可求解； （3）判断四边形是平行四边形，推出四边形是平行四边形，求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴轴，， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，且， ∴是等腰三角形， ∴， ∵E为中点， ∴， 当点P在线段上时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 此时点P的坐标为； 当点P在线段上时，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵E为中点，，此时四边形是平行四边形，则轴， ∵， 设直线的解析式为，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：连接，根据题意得，线段的中点F在线段上，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵E为线段中点，点F为线段的中点， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴同理，直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点F的坐标为； ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8．(22-23八下·浙江温州瑞安飞云中学·期中)如图，在平行四边形中，，，，点O是对角线的中点．过点O的直线分别交射线和射线于点E，F，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)当平分时，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 或16 (3)7 【来源】浙江省温州市瑞安市飞云中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）证明，在，进而结论得证； （2）由题意知，当是以为腰的等腰三角形时，分和两种情况求解即可； （3）由题意知，则，，如图3，过点D作的垂线于点H ，设为x，则，在中，由勾股定理得，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，, ∴， ∵点O是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由题意知，当是以为腰的等腰三角形时，分和两种情况求解： ①当时，如图1，过点D作的垂线于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得， ∴； ②当时，如图2，过点D作的垂线于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或16； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3，过点D作的垂线于点H ， 由（2）可知， 设为x，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的长为7． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，全等的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．(21-22七下·浙江温州第十二中学·期中)如图，在三角形中，，、分别为、上一点，且，过点作交于点，已知． (1)如图1，判断与是否垂直，并说明理由． (2)在点运动过程中， ①如图2，连接，若，请求出的大小． ②线段可由线段沿着方向平移得到．当点与点重合时，且点恰好落在线段上，则此时______°．（直接写出度数） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【来源】浙江省温州市第十二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据平行线的性质，首先算出，这样得到，证出， 由于，由此得出结论； （2）①过作，交于，根据平行线的性质算出，借助（1）中结论，再结合已知可算出，进而算出求出的大小； ②设交于，连接，根据平移的性质，可证出四边形是平行四边形，进而证出，，根据前面的证明，可证得四边形是平行四边形，进而证出，，然后证得，进而证出，由全等三角形性质，可得，再求出即可求出的大小． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①过作，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②设交于，连接， ∵线段可由线段沿着方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟记各种图形的性质与判定，找到合适的三角形全等是解本题的关键． 10．(21-22八下·浙江温州部分校·期中)如图，在四边形中，为坐标原点，点，分别位于轴，轴正半轴上，，为边的中点，为边上一点（不与点，重合），且，，分别与相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知（4，8），当为等腰三角形时，求的长； (3)当为中点时，连接并延长交于点，若四边形与△的面积差为4，请在横线上直接写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)或4 (3)G（，） 【来源】浙江省温州市部分校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）只需证明BC=DA即可． （2）分EH=EF，EH=HF，EF=FH三种情况求解即可． （3）先证明△CEF≌△ADF，△OCF≌△OAF，得到∠COF=∠AOF，确定直线OG的解析式为y=x，设点G（m，m） ，A（2a，0），则B（a，2a），其中a＞0， 求得直线AB的解析式y=-2x+4a，根据面积差为4，得到求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D是OA中点 ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）由（1）得四边形ABCD是平行四边形， ， ∴∠EHF=∠EBA，∠EFH=∠EAB．设， （I）当EH=EF时，则∠EHF=∠EBA=∠EFH=∠EAB ，故， 根据题意，得， 解得：， 故OE=1； （II）当EH=FH时，则∠EFH=∠EAB=∠FEH ，则， 根据题意，得， 解得：，（均舍去）； （III）当FE=FH时，则∠EHF=∠EBA=∠FEH ，故， 根据题意，得， 解得：，（舍去）， 故OE=4， 所以或4． （3）如图，∵OA=OC=2BC，点D是OA的中点，点E是OC的中点， ∴OE=OD=CE=DA， ∵∠DOC=∠EOA=90°， ∴△AOE≌△COD， ∴∠OEA=∠ODC，∠OAE=∠OCD， ∴∠CEF=∠ADF，∠OAE=∠OCD， ∴△CEF≌△ADF， ∴CF=AF， ∵OC=OA，OF=OF， ∴△OCF≌△OAF， ∴∠COF=∠AOF， 则直线OG的解析式为y=x， 设点G（m，m） ，A（2a，0），则B（a，2a），其中a＞0， 设直线AB的解析式为y=px+q， 根据题意，得， 解得， 故直线AB的解析式为y=-2x+4a， ∵点G（m，m）是直线AB上的点， ∴m=-2m+4a， 解得m=． ∵，， 且四边形与△的面积差为4， ∴， ∴， 解得a=，a= -（舍去）， ∴m==， ∴G（，）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法，熟练掌握平行四边形的判定，灵活进行等腰三角形的边的分类待定系数法是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$