2025年上海市中考数学一轮复习专题17：一元二次方程

专题17：一元二次方程 一、选择题： 1.以下一元二次方程有两个相等实数根的是(    ) A. B. C. D. 2.方程的二次项系数和一次项系数分别为(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3.关于的一元二次方程的一个根是，则的值(    ) A. 或 B. C. D. 4.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 A. B. C. 且 D. 5.下列说法正确的是(    ) A. 的根为 B. 是的根 C. 方程的根为 D. 没有实数根 6.方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 7.关于一元二次方程有一个根是，则另一个根是(    ) A. B. C. D. 8.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是(    ) A. B. C. D. 9.某省为了实现到年全省森林覆盖率达到的目标，已知年全省森林覆盖率为，设从年起该省森林覆盖率的年平均增长率为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.自年我国正式实施全面两孩政策以来，合肥市学龄儿童人数逐年增长，某校年新生入学人数是人，年新生入学人数达到人，若设入学人数的年平均增长率为，则以下方程正确的是(    ) A. B. C. D. 11.下列方程是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 12.若，则下列说法不正确的是(    ) A. 的倒数为； B. 的有理化因式可以是； C. 是方程的一个实数根； D. 13.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 14.对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 15.双十一期间，某型号的手机连续两次降价，每个手机的售价由原来的元降到元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则可列出方程          ． 16.把一元二次方程：化成一般形式是          ． 17.已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 18.若一元二次方程无实数根，则的取值范围为______． 19.若是关于的方程的解，则的值为          ． 20.已知是关于的一元二次方程，则_________． 21.若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为          ． 22.方程的根是          ． 23.方程的根是_____． 24.方程的解是          ． 25.若为实数，且，则           ． 26.若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是______． 27.如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是          ． 28.已知关于的一元二次方程有一个根为，则          ． 29.若三个整数使得方程的两个根为，则的值为          ． 30.某单位向一所希望小学赠送本课外书，现用，两种不同的包装箱进行包装，单独使用型包装箱比单独使用型包装箱可少用个；已知每个型包装箱比每个型包装箱可多装本课外书，则每个型包装箱可以装书      本 31.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为______． 32.定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”如图，在中，于点，，，，点是边上的“好点”，则线段的长为          ． 三、解答题： 33.解方程组：． 34.已知等腰三角形的两条边，是方程的两根，另一边是方程的一个根，求的值． 35.若非负整数，且关于的方程有两个实数根，求的值和这时方程的根． 36.已知关于的方程． 若是此方程的一根，求的值及方程的另一根； 试说明无论取什么实数值，此方程总有实数根． 37.年月，教育部正式印发义务教育课程方案，劳动教育称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙墙的最大可用长度为米，用长为米的篱笆，围成矩形养殖园如图，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为． 当围成的矩形养殖园面积为时，求的长； 如图，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的根为或， 有两个不等实数根，故A不符合题意； 的根为或， 有两个不等实数根，故B不符合题意； 由知， 有两个不等实数根，故C不符合题意； 由知， 有两个相等实数根，故D符合题意； 故选：． 求出的根为或，的根为或，可知，不符合题意；由得，知不符合题意；由知，知符合题意． 本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足． 2.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案． 【详解】解： 整理得， 二次项系数和一次项系数分别为和． 故选：． 3.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的概念与根的概念以及解一元二次方程，关键是掌握以上概念，本题要注意二次项系数不为零，将根代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得， ， ，   故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出的取值范围． 【解答】解： 因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以， 解得：， 又， 且 故选C． 5.【答案】  【解析】根据方程的根与方程的逻辑关系，逐项判断即可； 【详解】解：、的根为；选项错误，不符合题意； B、是的根；选项正确，符合题意； C、方程无实数根；选项错误，不符合题意； D、当时，有实数根；选项错误，不符合题意； 故选：． 6.【答案】  【解析】通过因式分解法求解方程即可； 【详解】， ， ， 或， ，． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：设另一根为， 由根与系数的关系得：， 解得：， 则另一根为． 故选：． 由一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把代入求出另一根即可． 此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或舍去， 年平均增长率是， 故选：． 9.【答案】  【解析】本题考查用一元二次方程解决实际问题，设从年起该省森林覆盖率的年平均增长率为，则年全市森林覆盖率为，年全市森林覆盖率为，根据“实现到年全省森林覆盖率达到的目标”即可列出方程． 【详解】解：设从年起该省森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意，得 ， 即． 故选： 10.【答案】  【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据年到年新生入学人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键依据一元二次方程的定义进行判断即可． 【解答】 A.该方程中含有分式，不符合一元二次方程的概念 B.当时，不是一元二次方程 C.将原方程整理，得，是一元二次方程 D.将原方程整理，得，是一元一次方程． 故选C． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次根式的运算，涉及解一元二次方程，作差法比较实数的大小，估算无理数的大小等知识，是基础，熟练掌握分母有理化及二次根式的混合运算是解题的关键． 求出的倒数可判断选项A；用乘，根据计算结果可判断选项；求出方程的解，根据方程的解判断选项；先计算，再计算，根据的结果的正负判断大小可判断选项． 【解答】 解：， A、，故A正确，不符合题意； B、， 的有理化因式可以是 ，故B正确；不符合题意； C、解方程得，，， 是方程的一个实数根，故C正确，不符合题意； D、， ， ， ， ， 故D错误，符合题意， 故选：． 13.【答案】  【解析】解：由原方程，得 ， ， 则， 故选A． 先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 14.【答案】  【解析】根据为偶数时，方程有两个实数根，得出即可． 【详解】， 可得：， 因为当为偶数时，已知方程有两个实数根， 所以， 所以， 故选：． 15.【答案】  【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据“每个手机的售价由原来的元降到元，若每次降价的百分率相同”列方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】先利用完全平方公式展开，再把所的项移到等式的左边，合并同类项即可． 【详解】解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 两边同时乘以得： 故答案为 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，由根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【解答】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 18.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的定义得到，然后求出的取值范围． 【解答】 解：一元二次方程无实数根， ， 解得， 的取值范围是． 19.【答案】  20.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点根据一元二次方程的定义列出关于的方程，且，通过解方程即可求得的值． 【解答】 解：根据题意得，且， 解得：． 故答案为． 21.【答案】  【解析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可得到答案． 【详解】解：设关于的一元二次方程为， 一元二次方程的根为， ，，， 该一元二次方程可以为， 故答案为：． 22.【答案】  【解析】此题考查了解一元一次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程移项得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：， 故答案为：． 23.【答案】或  【解析】【分析】 此题考查了高次方程的解法，熟练掌握四次方根计算是解本题的关键． 直接把方程两边开四次方，求解即可． 【解答】 解：， ， 或， 方程的根是或， 故答案为：或． 24.【答案】  【解析】本题考查了解无理方程，先求的范围，再解此方程得或，舍去不符合题意的解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 原方程可化为：或， 解得不合题意，舍去或， 当时，原方程成立． 故方程的根是． 故答案为：． 25.【答案】  【解析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法，先设，可得一元二次方程，然后解一元二次方程并检验即可求解，掌握解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设， ， ， 解得：舍去，， ， 故答案为：． 26.【答案】  【解析】解：依题意，有：且， 解得， 故答案为：． 一元二次方程有两个相等的实数根，判别式，且二次项系数不为零即可求得的值． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 27.【答案】  【解析】解：依题意， 方程有两个相等的实数根， ，解得， 故答案为：． 一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式，即可求值． 此题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个相等的实根，当时，方程有两个不相等的实根，当时，方程无实数根． 28.【答案】  【解析】解：把代入，得：， 解得：， ， ． 故答案为：． 根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定的值． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义． 29.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系是解题关键． 先通过根与系数之间的关系得到，，再通过计算得出的解，进而得出与的解，进而可得到答案． 【详解】解：与是方程的两个根，故通过韦达定理可得到， 故 为整数， 或 故舍， ，故 故答案为：． 30.【答案】  31.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长． 【解答】 解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 解得：，不合题意，舍去 即：原正方形的边长． 故答案是． 32.【答案】或  【解析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确理解“好点”的定义是解题关键．先求出，设，则，，再分三种情况：点在上；点与点重合，点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“好点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：，， ， ， ， 设， ， ，， 如图，当点在上时，则， ， 在中，， 点是边上的“好点”， ， ， 解得或不符合题设，舍去， 此时； 如图，当点与点重合时，则， ，， ，这与点是边上的“好点”矛盾，则的情形不存在； 如图，当点在上时，则， ， 在中，， 点是边上的“好点”， ， ， 解得或不符合题设，舍去， 此时； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 33.【答案】解：， 由，得， 或， 或， 把代入，得， 解得：， 即； 把代入，得， 解得：， 即， 所以方程组的解是，．  【解析】由得出，求出或，求出或，把代入得出，求出，求出，再把代入得出，再求出即可． 本题考查了解高次方程，能根据求出或是解此题的关键． 34.【答案】解：是方程的一个根， ． 分两种情况： 是底边， 方程的判别式， 解得，舍去， ，，满足三角形三边关系定理，符合题意； 是腰， 将代入， 得， 解得， ， ，， ，，满足三角形三边关系定理，符合题意． 故的值为或．   【解析】先解方程，得到，再分两种情况进行讨论：是底边，那么，由方程的判别式列出方程；是腰，那么将代入求出的值． 35.【答案】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：且 非负整数， 原方程为 解得：   【解析】根据一元二次方程的定义以及判别式的意义，得出且，解出关于的不等式组，即可求得的值，然后把的值代入原方程，得出，解出即可得出答案． 36.【答案】【小题】 把代入方程有：， 解得． 故方程为， 设方程的另一个根是，则：， 解得． 故，方程的另一根为； 【小题】 关于的方程中，，，， ， 无论取什么实数值，此方程总有实数根．   【解析】  把已知的根代入方程中，得关于的方程，解方程即可求得的值，再由根与系数的关系即可求得另一个根；   求出关于的方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 37.【答案】【小题】 解：设的长为，则矩形的宽， 由题意得：， 解得．， 墙的最大可用长度为米， ， ， 即的长为； 【小题】 解：不能，理由如下： 设的长为，则矩形的宽， 由题意得：， 整理得：， ， 该方程没有实数根， 此时养殖园的面积不能达到．   【解析】  本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． 设的长为，根据篱笆的总长及的长，可得出的长，利用矩形的面积公式，可列出关于的一元二次方程，解之即可求出结论；   假设养殖园的面积能达到，设的长为，则的长为，利用矩形的面积公式，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即养殖园的面积不能达到． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$