专题06 菱形（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题06 菱形 题型概览 【经典基础题】 题型01用菱形的性质求解 题型02 菱形的面积 题型03菱形的判定 题型04 与菱形有关的尺规作图 【优选提升题】 题型01 菱形与三角形综合 题型02动点最值问题 ( 题型01 )用菱形的性质求解 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的周长为24，对角线，交于点O，E为的中点，则的长等于 ． 3．（23-24八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． ( 题型02 ) 菱形的面积 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）线段、为菱形的对角线，若，，则菱形的面积等于 ． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知一个菱形的面积为10cm²，它其中一条对角线的长度为10cm，则另一条对角线的长度为 cm． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）若菱形的对角线长分别为与，则菱形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知，在菱形中，点E为上一动点，点F是上一动点，连接．若，是等边三角形，若，则面积的最大值是 ． ( 题型03 ) 菱形的判定 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图矩形的对角线交于点O，过点B作，过点C作，与交于点P，求证：四边形是菱形． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至． (1)如图1，当点落在边边上时，求证：四边形为菱形； (2)如图2，若，，，当，，三点共线时，求的长． ( 题型04 ) 与菱形有关的尺规作图 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点A，B分别在的两条边，上． (1)尺规作图：过点B在内部作射线，并在上截取；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，，若，，，求点A到射线的距离． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕为． (1)尺规作图，作出折痕，点E在上，点F在上． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，中，. (1)作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法.保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，连接，连接，交于点，取的中点，连接．若，，求点到的距离． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，已知，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线的对称点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)求出点D的坐标 ( 题型01 )菱形与三角形综合 1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，连结交对角线于点O．设点P的运动时间为． (1)当时，求出t的值． (2)当t取何值时，四边形是菱形时，并说明理由． (3)当t取何值时，是等腰三角形，并说明理由． ( 题型02 )动点最值问题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的边长为6，，M为的中点，点在上动点，连接，，则的最小值为 ．    2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 菱形 题型概览 【经典基础题】 题型01用菱形的性质求解 题型02 菱形的面积 题型03菱形的判定 题型04 与菱形有关的尺规作图 【优选提升题】 题型01 菱形与三角形综合 题型02动点最值问题 ( 题型01 )用菱形的性质求解 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系． 根据菱形的性质求出，根据互余性质得到，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的周长为24，对角线，交于点O，E为的中点，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为24， ∴，， ∴， ∵点E是中点， ∴， 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定， 根据菱形的性质得出，，然后证明即可． 【详解】证明：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴． 4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，即可得出答案； 对于（2）根据菱形得性质得，再根据勾股定理得，进而得出，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. 在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法． ( 题型02 ) 菱形的面积 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）线段、为菱形的对角线，若，，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，直接利用菱形的面积等于两条对角线的长度之积的一半可得答案． 【详解】解：∵线段、为菱形的对角线，，， ∴； 故答案为： 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知一个菱形的面积为10cm²，它其中一条对角线的长度为10cm，则另一条对角线的长度为 cm． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求菱形的面积．设另一条对角线长为，由菱形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：设另一条对角线长为，由菱形的面积公式得： ， 解得， 即另一条对角线的长为． 故答案为：2． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）若菱形的对角线长分别为与，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，即可求得答案； 【详解】解：菱形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；熟练掌握菱形面积公式是解题关键． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知，在菱形中，点E为上一动点，点F是上一动点，连接．若，是等边三角形，若，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、垂线段最短的性质等知识；根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，证明，求出的最小面积，即可得出的面积最大值． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴和都是等边三角形，由“垂线段最短”可知：当等边三角形的边与垂直时，边最短， 此时，，，． ∴， 又， 同理三角形的高为， 的面积， 则此时的面积就会最大． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ． 故答案为：． ( 题型03 ) 菱形的判定 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图矩形的对角线交于点O，过点B作，过点C作，与交于点P，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定．熟练掌握矩形的性质，菱形的判定是解题的关键． 由矩形，可得，由，，可证四边形是平行四边形，进而结论得证． 【详解】证明：∵矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质得出．根据线段垂直平分线的性质，得出，，即易证，得出，从而即可证明； （2）根据菱形的性质可设，则，结合勾股定理即可求出x的值，即得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵垂直平分，垂足为O． ∴，． 在和中，， ∴，                                 ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则． 在中，， ∴，                                  解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．掌握特殊四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题关键． （1）根据题意可直接证明四边形是平行四边形．根据三角形中位线定理和线段中点的性质可证，即得出平行四边形是菱形； （2）连接，．由菱形性质可得出，．结合（1）可求出，，，从而可求出，最后先根据勾股定理求出，再根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵D，E分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接，．与交于点M． ∵四边形是菱形， ∴，． 由（1）可知，， ∴． 在中，， ∴在中，． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至． (1)如图1，当点落在边边上时，求证：四边形为菱形； (2)如图2，若，，，当，，三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由翻折得，，，由，得，则，所以，则，即可证明四边形是菱形； （2）作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，由翻折得，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图2，作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为6． 【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． ( 题型04 ) 与菱形有关的尺规作图 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点A，B分别在的两条边，上． (1)尺规作图：过点B在内部作射线，并在上截取；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，，若，，，求点A到射线的距离． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）按要求作出图形即可； （2）过点A作于点H，设、交于点J，由（1）得（即），，于是可证得四边形是平行四边形，再结合，进而可证得四边形是菱形，于是可得，，，由勾股定理可得，由菱形的性质可得，于是可得，由此即可求出点A到射线的距离． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）解：如图，过点A作于点H，设、交于点J， 由（1）得：（即），， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 点A到射线的距离为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作角（尺规作一个角等于已知角），作线段（尺规作图），平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，利用菱形的性质求面积等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧及菱形的判定与性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕为． (1)尺规作图，作出折痕，点E在上，点F在上． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，作其垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可； （2）连接，，作于P，则四边形是矩形，结合垂直平分线的性质和折叠的性质可证四边形是菱形．设，，利用勾股定理可得和 ，根据平方差公式即可求得． 【详解】（1）解：如图所示，折痕即为所求． （2）解：连接，，作于P，如图， 则四边形是矩形， ∵垂直平分， ∴， 由折叠得， 则四边形是菱形． 设， ∵，，， ∴3，即有． ∵即， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查已知直线的垂直平分线，折叠的性质，特殊四边形的判定和性质，平方差公式，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉特殊四边形之间的转化． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，中，. (1)作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法.保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，连接，连接，交于点，取的中点，连接．若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点E到的距离是 【分析】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点作的垂线段并延长一倍，得对称点； （2）过点作于，先证明四边形是菱形，根据菱形的性质，勾股定理得到再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：点即为所求； （2）解：过点作于， ， ， 是点关于的对称点， ， ， 四边形是菱形； ， 是的中点，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 故点到的距离是． 【点睛】此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出，的长是解题关键． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，已知，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线的对称点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)求出点D的坐标 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图，坐标与图形，菱形的判定与性质，勾股定理等知识； （1）过B点的垂线，截取即可； （2）连接，，根据轴对称性可得，，根据A、B、C的坐标，可求出，可证明四边形是菱形，得出，再证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图点D即为所求， （2）解：连接，， ∵B、D关于对称， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∴点D的坐标为 ( 题型01 )菱形与三角形综合 1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【答案】(1)； (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据菱形的性质结合，可证明，都是等边三角形，然后利用证明，得到，，延长交于，由，可求出，即，即可证明结论； （2）结论仍然成立，根据题意作出图形，证明过程与（1）类似． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于H，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点H， 同理可得， ∴， 又∵， ∴． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，连结交对角线于点O．设点P的运动时间为． (1)当时，求出t的值． (2)当t取何值时，四边形是菱形时，并说明理由． (3)当t取何值时，是等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)或或，详见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等、勾股定理、特殊四边形的性质等知识， （1）先证出四边形是矩形，根据对边相等列出方程，进而求解； （2）如图，当四边形是菱形时，则，即可求解； （3）分、、三种情况，确定点P的位置即可求解； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，为矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，解得； （2）如图，当四边形是菱形时，， ∴， 在中，， 由勾股定理，得， ∴， 解得， 当时，四边形是菱形； （3）∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 在中，， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴； ∵点O是的中点，取的中点H，连接， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， 由题意得：， 在中，， 当时，即，解得； 当时，，解得， 当时，则点P与点B重合，故，解得， 综上，或或． ( 题型02 )动点最值问题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由菱形的边，高，易求得，进而得到,由折叠得，进而得到，即可得当点在上时，取最小值， 此时易得到，利用等腰三角形的性质求解．题的答案. 【详解】解：如图1，菱形的边，高， ， ， ． 将四边形沿直线折叠，点的对应点为， ． ， ， ， 当点在上时，取最小值． 如图2，点在上时，由折叠的性质可知 , ， ， , , ， 即当的长度最小时，的长为8． 故选：D． 【点睛】本题重点考查菱形的性质、勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明点在上时，取得最小值是解题的关键． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，过点C作，使得，连接．证明，推出，推出，求出即可解决问题．本题考查轴对称-最短问题，全等三角形，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，连接，过点C作，使得，连接． ∵四边形是菱形， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的边长为6，，M为的中点，点在上动点，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用菱形性质是解题关键．首先根据菱形的性质得出是等边三角形以及连接后与的交点即为点，进而利用勾股定理得出的长即可得出答案． 【详解】解：连接，根据轴对称的性质及等边三角形的性质可得当点B、N、M三点共线时最小，如图所示： 菱形的边长为6，， ，， ∴是等边三角形， 点关于的对称点为点，连接交于点，为的中点， ，， ． 故答案为：．    2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$