18.2勾股定理逆定理导学案2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

18.2勾股定理逆定理 画一个三角形，使三边长分别满足以下要求： （1）3、4、5；（2）0.8、1.5、1.7。 （1）这三组数满足吗？ （2）用量角器量取最大角的度数。 如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 ∵在△中， ∴△是直角三角形。 1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形： 7，24，25 解：∵最大边是25，， 72242625， ∴， ∴以7，24，25为边长的三角形是直角三角形。 2、若△的三边，，满足，试判断△的形状。 解：∵ ∴ 即 ∴，， ∴ ∴是直角三角形。 勾股数 概念：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数． 注意： 能成为直角三角形三边长度的数不一定是勾股数，勾股数必须满足以下条件： ①三个数必须都是正整数； ②三个数中，较小两个数的平方和等于最大数的平方． 3、已知的三边，，满足下列条件，试判断的形状及，，是否为勾股数． 分析：已知三角形的三边，用勾股定理的逆定理判断它的形状时，应先确定它的最大边，再检验是否符合勾股定理的逆定理． 解：(1)由题意可知，则是最长边. ∵2＋2＝202＋152＝625，2＝252＝625， ∴2＋2＝2，∴是直角三角形，且∠＝90°， ，，是勾股数． (2)∵0，∴2＋220，2＋22－20， 而2＋2＝(2－2)2＋(2)2＝(2＋2)2＝2， ∴是直角三角形，且∠＝90°. ∵，均为整数， ∴，，也均为整数，故，，为勾股数． 4、如图所示,在中,是边上一点,已知,,,,求的长. 解：在△中,∵52122132, ∴222.∴由勾股定理的逆定理知∠90°, ∴∠90°.在△中,∵222, ∴= ∴的长为9. 1.勾股定理是将“形”转化为“数”，勾股定理的逆定理是将“数”转化为“形”. 2.当已知三角形的边长时，应先利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形，再利用勾股定理列出相应的等式，并结合相关知识解决问题． 5、如图，在四边形中，⊥，△的面积为30 2，DC＝12 ，＝3，＝4，求△的面积. 解: ∵△=30 2，DC＝12 . △D2 ∴ 5 . 又∵ ∴△是直角三角形, ∠是直角. ∴△B 6、如图，在港有甲乙两艘渔船，若甲船沿北偏东50方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15 海里的速度前行，1小时后，甲船到岛，乙船到岛，两岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？ 解：由题意得：＝8， ＝15， ∴2＋2＝82＋152＝289． ∵2＝172＝289，∴2＋2＝2． ∴∠＝90°．∴∠＝40°． ∴乙船沿南偏东40°方向航行． 练习 1．下列各组数，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．7，24，25 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A． B． C． D． 3．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　　) A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于180° C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 4．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何?”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈(1丈10尺)，那么门的高和宽各是多少?”如果设门的宽为x尺，根据题意，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　） A． B．2 C． D．3 6．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，树干顶部落在与树干底部距离4米处，这棵大树在折断前的高度为（　　）米 A．5 B．7 C．3 D．8 7．如图所示，长为8 的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升3 至点，则橡皮筋被拉长了(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 8． 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　　） A．2.2米 B．2.4米 C．2.6米 D．2.8米 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC的长是 　 　． 10．如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为　 　． 11．如图，在的网格中，　 　. 12．如上右图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是　 　三角形． 13．棱长分别为3和2的两个正方体如图所示放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱11的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是　 　. 14．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米. （1）求这块空地的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 15．高州市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9，BC＝12，CD＝17，AD＝8，∠ABC＝90°． （1）求空地的面积； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 16．笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，、其中＝，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得＝10千米，＝8千米，＝6千米． （1）判断△的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 17．如图，在△中，=17，=8，=15，将沿折叠，使得点与上的点重合. （1）证明：△是直角三角形； （2）求△的面积. 答案 1．答案:D 解：A、∵12+22≠32，∴A不符合题意； B、∵0.3，0.4和0.5是小数不是整数，∴B不符合题意； C、∵，和不是整数，∴C不符合题意； D、∵72+242=252，∴D符合题意； 2．答案:D 解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股数，故不符合题意； B、∵42+52≠62，∴不是勾股数，故不符合题意； C、∵72+82≠92，∴不是勾股数，故不符合题意； D、∵62+82≠102，∴是勾股数，故符合题意； 3．答案:D 解：设相邻两个结点之间的距离为， 则此三角形三边的长分别为3、4、5， ∵(3)2(4)2(5)2， ∴以3、4、5为边长的三角形是直角三角形. 4．答案:D 解： 设门的宽为尺 ，则门高尺， 由题意得： ， 5．答案:C 解：由题意可得：， ∵10， ∴， ∵＞0， ∴， 6．答案:D 解：如图所示： 根据题意可得：3，4，∠90°， 在直角△中，， ∴这棵大树在折断前的高度为358， 7．答案:A 解：由题意知8， ∵点是的中点， ∴4， ∵⊥， 在△中，4，3， ∴5()， ∵为的中点，⊥， ∴垂直平分， ∴ 5， ∴21082()， ∴橡皮筋被拉长了2. 故答案为：A. 分析：根据题意得8，则4，3且⊥，根据勾股定理可求出的长度，根据是边上的中垂线得，由橡皮筋被拉的长度，即可求解. 8．答案:C 解：标字母如图所示，过作⊥于点. 由题意得：，1米， ∴0.5（米）. 在△中，∴1.2米， ∴1.3（米）， ∴绳长为1.3×22.6（米）. 9．答案:2 解：∵5，2， ∴3， 由尺规作图可得：⊥， ∴∠∠90°， ∴， ∴， 故答案为：. 分析：根据题意先求出3，再根据尺规作图求出⊥，最后利用勾股定理计算求解即可。 10．答案: 解：如图，连接 ， 设小正方形的边长为 ，由勾股定理得： ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为： ． 分析：连接AC，根据设小正方形的边长为 ，由勾股定理得：AC、BC、AB，则 ， ，可得，，可求得 ． 11．答案:45 解：如下图， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为：45. 分析：利用"SAS"证明得到进而利用勾股定理逆定理证明为等腰直角三角形，进而即可求解. 12．答案:直角 解：由图可知：， ，， ， 是直角三角形. 故答案为：直角. 分析：结合图形，先利用勾股定理求出2、2、2，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 13．答案: 解：如图，有两种展开方法： 方法一(如图1）：()， 方法二(如图2)：()， 故需要爬行的最短距离是. 故答案为：. 14．答案:（1）解：连接，如图所示： 在△中，， ∵22521221322， ∴△是直角三角形， ∴这块空地的面积S△ABC-S△ACD=××-××=×5×12-×4×3242； 故答案为：242； （2）解：根据题意可得：24×2004800（元）， 故答案为：4800元. 解析：（1）先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式及割补法求出这块空地的面积即可； （2）利用“总价=单价×总面积”列出算式求解即可. 15．答案:（1）解：∵∠＝90°，＝9，＝12， ∴＝＝15（）， ∵CD＝17，AD＝8， ∴22＝2， ∴△是直角三角形，且∠＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝＝6054＝114（2）， 答：空地的面积为1142； （2）解：150×114＝17100（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 解析：（1）利用勾股定理求出的值，再求出 △是直角三角形，且∠＝90°， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可； （2）根据平均每平方米空地的绿化费用为150元，再结合（1）所求计算求解即可。 16．答案:（1）解：△是直角三角形， 理由是：在△中， ∵228262100， 2100， ∴222， ∴△是直角三角形且∠90°； （2）设千米，则-（6）千米， 在△中，由已知得，6，8， 由勾股定理得：222， ∴2（6）282， 解这个方程，得 ， 答：原来的路线的长为 千米． 解析：（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可。 17．答案:（1）证明：∵2282152289，2289， ∴222， ∴△是直角三角形. （2）解：由翻折不变性可知：，8cm，∠∠∠90°， 设，在△中，∵222， ∴292(15)2，解得 . ∴ ∴S△ABE ×× ×17 . 解析：（1）由题意计算22和2的值，观察它们的值是否相等，再根据勾股定理的逆定理可判断三角形是直角三角形； （2）由折叠的性质可得，，∠∠∠90°，设，在△中， 用勾股定理可得关于的方程，解方程可求得的值，然后根据S△底×高即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$