精品解析：上海市存志学校2024—2025学年下学期3月月考八年级数学试题

存志学校2024学年第二学期初二数学阶段检测一试卷 （时间：100分钟，满分：150分）2025.3.17 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式方程 B. 是二元二次方程 C. 是无理方程 D. 是二项方程 3. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 5. 用换元法解方程时，设，则原方程可化为（ ） A. B. C. D. 6. 正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 若函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，则______． 8. 已知一次函数经过点，并且与直线平行，那么这个一次函数的解析式为________． 9. 已知直线上两点，，当时，有，那么的取值范围是________． 10. 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是________ 11. 若一次函数的图象过点，不经过第一象限，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则函数解析式为________． 12. 方程的解是________ 13. 方程的根是________ 14. 当________时，关于x的方程的解是一切实数 15. 按照解分式方程的一般步骤解关于x的方程，出现了增根，则________ 16. 关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是________． 17. 若实数x满足，那么__________． 18. 在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是________ 三、解答题（满分78分） 19. 解下列关于x的方程 （1） （2） （3） （4） 20. 已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示． （1）图中的线段l1是 （填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向 千米处； （2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差； （3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度. 21. 已知直线和直线．求： （1）这两条直线的交点A的坐标； （2）这两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 22. 如图所示，直线与两坐标轴分别交于点A、B，双曲线的图象与该直线交于点C、D，已知，点C的横坐标为2． （1）求a，k的值； （2）点E在y轴上，满足，求点E的坐标； （3）点M在x轴上，满足，求点M的坐标． 23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． （1）分别求直线和直线的表达式； （2）若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在中，，，，点在上，现有两个动点分别从点和点同时出发，其中点以的速度沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，谁先到达终点，运动随之停止，过点作交于点，联结．设动点运动时间为秒． （1）当点从点运动到点的过程中，设的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围： （2）在运动过程中，若，求的值； （3）当为何值时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 存志学校2024学年第二学期初二数学阶段检测一试卷 （时间：100分钟，满分：150分）2025.3.17 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据图像经过第一象限，且与轴负半相交，可得函数图象经过一、三、四象限，即可得到，的取值范围，进而得到答案． 【详解】解：∵图像经过第一象限，且与轴负半相交， ∴函数经过一、三、四象限， ∴， 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式方程 B. 是二元二次方程 C. 是无理方程 D. 是二项方程 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程、二元二次方程及无理方程的概念．根据分式方程、二元二次方程及一元二次方程的概念进行判断即可， 【详解】解：A、为一元二次方程，所以A选项的说法错误； B、为二元二次方程，所以B选项的说法正确； C、是一元二次方程，所以C选项的说法错误； D、是一元二次方程，所以D选项的说法错误． 故选：B． 3. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解无理方程，分式方程．分别解无理方程，分式方程及二次根式的意义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵， 去分母整理得， ∵， ∴方程无实数解； 即无解，该选项不符合题意； B、∵， ∴，， ∴且， ∴无解，该选项不符合题意； C、∵， ∴， 解得该不等式组无解， ∴无实数解；原方程不符合题意； D、∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故方程有实数根，符合题意； 故选：D． 4. 下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数、增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数性质． 根据反比例函数、一次函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：A、函数，当时，随自变量的值增大而减小，或当时，随自变量的值增大而减小，故A错误，不符合题意； B、函数，，随自变量的值增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数，当时，随自变量的值增大而增大，或当时，随自变量的值增大而增大，故C错误，不符合题意； D、函数，，随自变量的值增大而增大，故D错误，不符合题意； 故选：B． 5. 用换元法解方程时，设，则原方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，关键是利用平方关系寻找与y的关系． 考查了换元法解分式方程，用换元法解分式方程时一种常用的方法，它能够使方程化繁为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能够熟练变形整理． 【详解】解：设， 则有：，， 所以方程变形为， 故选：C． 6. 正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据点运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积与的关系式是解题的关键，也是本题的难点． 分点在边、、、上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出与的关系式，再根据一次函数图象解答． 【详解】解：如图： ①点在边上时，即，； ②点在边上时，点到的距离为， 即， ③点在边上时，点到的距离不变为， ， ④点在边上时，点到的距离为， ， 纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 若函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义和增减性，解一元二次方程，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，反之，y随x的增大而减小．先根据一次函数的定义，得出，求出m的值，再根据增减性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：， ∵y随着x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 8. 已知一次函数经过点，并且与直线平行，那么这个一次函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求解一次函数解析式的知识．根据两条直线平行，k值相等，即可求出k，再根据与y轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴，即， ∵图象经过点， ∴，即， ∴这个一次函数的解析式是：． 故答案为：． 9. 已知直线上两点，，当时，有，那么的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，随增大而增大；当时，将随的增大而减小．先根据当时，有，得到随的增大而减小，所以的比例系数小于0，那么，解不等式即可求解． 【详解】解：当时，有 随的增大而减小， ， ． 故答案是：． 10. 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数经过的象限求参数范围．根据一次函数经过的象限可得，，进而即可求得的范围． 【详解】解：∵次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， 解得， 故答案为：． 11. 若一次函数的图象过点，不经过第一象限，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．设此一次函数的解析式为，先根据一次函数图象过点，求得，再用k表示出函数图象与y轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设此一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴此一次函数的图象与y轴交于点， ∵与两坐标轴围成的三角形的面积为5， ∴， 解得：， ∵不经过第一象限， ∴， ∴，， ∴此一次函数的解析式为． 故答案为：． 12. 方程的解是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义的应用．整理后，利用立方根的定义计算即可． 【详解】解：， 整理得， 开方得， 解得． 故答案为：． 13. 方程的根是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解无理方程，无理方程要对根进行检验．先把无理方程化为或，分别求解，再检验，即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 检验：为方程的根，不是方程的根， 故答案为：． 14. 当________时，关于x的方程的解是一切实数 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．由方程的解为一切实数，确定出a的值即可． 【详解】解：方程整理得：，即， 由方程的解是一切实数，得到， 解得：， 故答案为：2． 15. 按照解分式方程的一般步骤解关于x的方程，出现了增根，则________ 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 即或， 把代入整式方程，可得：， 解得：， 把代入整式方程，可得：， 解得：， 故答案为：或5． 16. 关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 解得， 关于x的方程的解是正数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 17. 若实数x满足，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程化为，再令，进一步将原方程化为，解方程求出的值，即可得到，即可求出原式的值． 【详解】解： 令，则原方程为，整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法． 18. 在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用．利用勾股定理可得，由折叠得，即可得出点D的坐标． 【详解】解：把代入得， 把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 故答案为：． 三、解答题（满分78分） 19. 解下列关于x的方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4），方程无解；， ， 【解析】 【分析】（1）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为一，检验即可． （2）根据移项，两边平方，再两边平方，检验即可． （3）设，则，原方程可化为，去分母得，解得，，再分别解和，然后进行检验确定原方程的解． （4）移项得到，在分别计算：时； 时， 即可解答． 本题考查了解分式方程，解无理方程，换元法将分式方程转化为整式方程，公式法解一元二次方程，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 方程两边同时乘得，， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， 再两边平方得：， ， 解得：，， 经检验是原方程的增根，舍去， 故答案为：． 【小问3详解】 设，则， ∴原方程可化为， 去分母得， 解得，， 当，，此方程无实数解， 当，，解得，， 经检验、是原方程的解， ∴原方程的解为，． 【小问4详解】 ， ， 当时，，，方程无解， 当时，，，解得，． 20. 已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示． （1）图中的线段l1是 （填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向 千米处； （2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差； （3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度. 【答案】（1）乙；3；（2）甲先到达，到达目的地的时间差为小时；（3）速度慢的人提速后的速度为千米/小时. 【解析】 【详解】分析： （1）根据题意结合所给函数图象进行判断即可； （2）由所给函数图象中的信息先求出二人所对应的函数解析式，再由解析式结合图中信息求出二人到达C地的时间并进行比较、判断即可得到本问答案； （3）根据图象中的信息结合（2）中的结论进行解答即可. 详解： （1）由题意结合图象中的信息可知：图中线段l1是乙的图象；C地在B地的正北方6-3=3（千米）处. （2）甲先到达. 设甲的函数解析式为s=kt，则有4=t， ∴s=4t. ∴当s=6时，t=. 设乙的函数解析式为s=nt+3，则有4=n+3，即n=1. ∴乙的函数解析式为s=t+3. ∴当s=6时，t=3. ∴甲、乙到达目的地的时间差为：（小时）. （3）设提速后乙的速度为v千米/小时， ∵相遇处距离A地4千米，而C地距A地6千米， ∴相遇后需行2千米. 又∵原来相遇后乙行2小时才到达C地， ∴乙提速后2千米应用时1.5小时. 即，解得： ， 答：速度慢的人提速后的速度为千米/小时. 点睛：本题考查的是由函数图象中获取相关信息来解决问题的能力，解题的关键是结合题意弄清以下两点：（1）函数图象上点的横坐标和纵坐标各自所表示是实际意义；（2）图象中各关键点（起点、终点、交点和转折点）的实际意义. 21. 已知直线和直线．求： （1）这两条直线的交点A的坐标； （2）这两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的交点的问题，与坐标轴围成的三角形面积问题： （1）联立函数解析式，解方程组即可求解交点坐标； （2）分别求出两直线与轴交点坐标，即可确定三角形的底，再用面积公式求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：， ∴交点坐标； 【小问2详解】 解：对于，当时，，解得：， ∴直线与轴交于点； 对于，当时，，解得：， ∴直线与轴交于点， ∴两条直线与x轴所围成的三角形的面积为． 22. 如图所示，直线与两坐标轴分别交于点A、B，双曲线的图象与该直线交于点C、D，已知，点C的横坐标为2． （1）求a，k的值； （2）点E在y轴上，满足，求点E的坐标； （3）点M在x轴上，满足，求点M的坐标． 【答案】（1），； （2）点E的坐标为或； （3）点M的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）先求得和，利用待定系数法求得直线，再求得，据此求解即可； （2）联立求得，根据三角形面积公式列式得到，求得，据此求解即可； （3）设，利用勾股定理列式得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴直线， 当，则， ∴， ∵双曲线的图象经过点， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得双曲线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，即， 整理得， 解得或， ∴点M的坐标为或． 23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． （1）分别求直线和直线的表达式； （2）若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线：；直线： （2）的坐标；，， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于，令交轴于，则，由角平分线的性质得出，由得出，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当时；当时，作轴于，连接交于；当时；分别画出图形，利用全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：直线：与直线：相交于点， ，， 解得：，， 直线：；直线：； 【小问2详解】 解：①如图，作于，令交轴于，则， 点的坐标为， ，， ， 平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； ②如图，当时， 此时，， 轴， ， ； 如图，当时，作轴于，连接交于， ， ，， 垂直平分， 设，则，，， 将代入得：， 解得：， 由勾股定理得出， ， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 故； 如图，当时， 由（1）可得：， ， ， ， ，， 设，则， 解得：或（舍去）， 故； 综上所述：，，． 24. 在中，，，，点在上，现有两个动点分别从点和点同时出发，其中点以的速度沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，谁先到达终点，运动随之停止，过点作交于点，联结．设动点运动时间为秒． （1）当点从点运动到点的过程中，设的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围： （2）在运动过程中，若，求的值； （3）当为何值时，为直角三角形． 【答案】（1）； （2）的值为4或7； （3）当或时，为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，利用，求解即可； （2）先求得，，分和两种情况讨论，结合（1）的结论，列出一元二次方程，解方程即可； （3）先求得，再分两种情况讨论，利用线段的和与差列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 设动点运动时间为秒， ∴，， ∴， 当点在线段上，即时，， ∴， 当点在线段上，即时， ∴， 综上，； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 综上，的值为4或7； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 设动点运动时间为秒， ∴，， ∴，， 分两种情况讨论， 如图，当时， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了解直角三角形，一元二次方程的应用，二次根式的混合运算，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $