重点专题4.2 平行与垂直的证明与应用（存在性，轨迹，截面）- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学下·人教A版必修第二册·重难点专题突破

重点专题4-2 平行与垂直的证明与应用(存在性，轨迹，截面) 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 模块一 平行与垂直的证明与辨析 题型一 证明线面平行的几种常用方法 【方法1】由中位线得出平行关系 【方法2】构造平行四边形得到平行 【方法3】由面面平行得出线面平行 【方法4】由线面平行得出线线平行（反推找线） 题型二 其它平行证明与判定 【类型1】平行关系辨析 【类型2】线线关系辨析 【类型3】面面平行 【类型4】证明四点共面 【类型5】两平面交线相关的平行证明 题型三 垂直的证明 【类型1】垂直与平行关系的辨析 【类型2】证明线面垂直 【类型3】面面垂直的证明 【类型4】面面垂直的性质 【类型5】证明异面直线垂直 模块二 平行与垂直的应用 题型四 平行关系的应用 【类型1】等积变形求体积 【类型2】平行的存在性（确定位置） 【类型3】平行的存在性（动点轨迹） 【类型4】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 题型五 垂直的应用 【类型1】垂直的存在性（确定位置） 【类型2】垂直的存在性（动点轨迹） 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 知识点01 平行关系的性质与判定 1. 转化关系思维导图 2. 图形展示，符号语言与文字语言 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 3. 平行常用结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． (4)若α∥β，m⊂α，则m∥β. 【现学现用】如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中点． （1）证明BE//平面PAD 方法一：作相交平面找线 解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE 【简析】若BE//平面PAD，则必有BE//PG，所以所以要证明BE//平面PAD，只需证明BE//PG即可.（2）若F是DC的中点，证明PA//平面BEF（中位线法） 【简析】若PA//平面BEF，则必有PA//EM，所以要证明PA//平面BEF，只需证明PA//EM即可.（中位线） 方法二：BE//平面PAD（正向平移法：构造平行四边形） 【简析】将BE向平面PAD中平移，易知将线段BE沿BA平移，可得E点轨迹，取PD中点M，由平行四边形可得BE∥AM，故BE//平面PAD. 方法三：BE//平面PAD（反向平移法：构造面面平行） 【简析】将PD，AD平移，使之与BE共面，可得平面BEH，易知BH∥AD，EH∥PD，则平面EHB//平面PAD，故BE//平面PAD. 知识点02 垂直关系的判断与性质 1. 线线垂直 （1）勾股定理逆定理；（2）等腰三角形三线合一 （3）菱形对角线互相垂直；（4）结合余弦定理得出直角 2. 线面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质一 如果一条直线与一个平面内垂直，那么该直线与此平面的任何一条直线垂直 性质二 垂直于同一个平面的两条直线平行 3. 面面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 4. 垂直常用结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 知识点03 截面问题 1. 如何做截面？ 作出过EFG三点的截面 法一：作平行线并标出棱上的交点 法二：作延长线并标出棱上的交点 2. 如何确定截面是否已经“搞定”？ （1）题目所要求的点是否都用上？ （2）你所画的线是否围成了一个封闭图形？ （3）这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？ 知识点04 存在性问题 1. 平行存在性问题：过定点构造出平行平面（过相关点作2次平行） 2. 垂直存在性问题：过定点构造垂直平面（先作投影，再过定点作投影的垂线） 模块三 核心题型·训练 模块一 平行与垂直的证明与辨析 题型一 证明线面平行的几种常用方法 【方法1】由中位线得出平行关系 【例题1】已知在正四棱柱中，，，点是的中点，求证：平面 【例题2】（23-24高一下·河北石家庄·期中）如图，正方体的棱长为，是的中点，证明：平面 【巩固练习1】如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.    求证：平面； 【巩固练习2】已知在正四棱柱中，点是的中点，求证：平面 【方法2】构造平行四边形得到平行关系 【例题2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，，分别是，的中点.求证：平面；    【巩固练习1】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：：平面； 【巩固练习2】如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. 若为的中点，证明：平面； 【方法3】由面面平行得出线面平行 【例题3】如图，已知三棱柱为直三棱柱，为AC的中点.证明：平面 【巩固练习1】由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，求证：平面；    【巩固练习2】如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面 【方法4】由线面平行得出线线平行（反推找线） 解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE 【例题4】如图，在直三棱柱中，D为的中点，证明：平面. 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点．求证：平面 【巩固练习2】如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 题型二 其它平行证明与判定 【类型1】平行关系辨析 【例题1】已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线． 若 则下列说法正确的是（　　） A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交 【例题2】（23-24高一下·山东·期中）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：    ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习1】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（    ） A． B．； C． D．. 【巩固练习2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则； B．若，，则； C．若、是异面直线，，，，，则； D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则． 【巩固练习3】（23-24高一下·广东佛山·期中）（多选）在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是相交直线 C．存在点，使，，，四点共面 D．存在点，使平面 【类型2】线线关系辨析 【例题2】如图，在正方体中，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线和平行，和相交 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 【巩固练习1】（多选）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．直线与是相交直线 B．直线与是平行直线 C．直线与是异面直线 D．直线与是异面直线 【巩固练习2】我国古代数学名著《九章算术》中有“堑堵”一说“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示的“堑堵”中，，，分别为棱，的中点，则直线与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法判断 【类型3】面面平行 【例题3】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：平面EFA1平面BCHG. 【巩固练习1】如图：已知三棱柱中，D为BC边上一点，为中点，且∥平面．证明：平面平面． 【类型4】证明四点共面 【例题4】如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 【例题5】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由． 【巩固练习1】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面；(2)求证：、、、四点共面； 【巩固练习2】如图，在长方体中，点分别在棱上，2DE＝ED1 ，BF＝2FB1 ，证明：点C1在平面AEF内． 【巩固练习3】（23-24高一下·福建厦门·期中）如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， 求证：共面； 【类型5】两个平面交线相关的平行证明 【例题6】如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且PD⊥面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． 证明：l∥CB 【例题7】（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，直棱柱中，为的中点，，，． (1)求棱柱的表面积； (2)求证：平面； (3)在图上做出平面与平面的交线，并写出作图步骤． 【巩固练习1】如图，，，设平面与平面的交线为，求证：； 且，且平面，,且， 【巩固练习2】在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与不重合，是线段的两个三等分点，且．若平面和平面的交线为，证明：平面. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②平行，证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解； （2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； ②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解. 【详解】（1）∵， ∴为直角三角形， ∵平面，且平面，平面，平面， ∴，，， ∴和为直角三角形， ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ∴为直角三角形， ∴三棱锥为鳖曘. （2）① 连接，∵点分别为的中点， ∴， 且平面，平面， 所以直线平面， ②平行， 证明：平面，平面，平面平面=， 所以. （23-24高一下·江苏无锡·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 题型三 垂直的证明 【类型1】垂直与平行关系的辨析 【例题1】已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【例题2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列命题正确的是 .（填序号） ①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ②垂直于同一条直线的两直线平行； ③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面； ④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在； ⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直； ⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个. 【巩固练习1】已知l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【巩固练习2】（多选）已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【类型2】证明线面垂直 【例题2】如图，在三棱锥中，平面，．求证：平面PAB；    【例题3】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，．求证：平面． 【巩固练习1】如图，在三棱锥中，底面，且为棱的中点.证明：平面 【巩固练习2】如图，三棱柱中，，，，点M，N分别为AC，AB的中点，且，．证明：平面ABC； 【巩固练习3】如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，. (1)求证：平面 【巩固练习4】如图，在三棱锥中，为上的动点.若，求证：平面； 【类型3】面面垂直的证明 【例题4】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； 平面平面，平面平面 【例题5】（23-24高一下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面；(2)求证：平面平面； 【巩固练习1】如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：平面平面    【巩固练习2】在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； 【巩固练习3】（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，. (1)若，求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，． (1)证明：平面平面; 【巩固练习4】（23-24高一下·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． (1)求证：平面平面； 【巩固练习5】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段AC，AB的中点． (1)若平面平面，证明：∥； (2)证明：平面ABC； 【巩固练习6】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面；(2)证明：平面平面； 【类型4】面面垂直的性质 面面平行主要是判定定理，对性质定理不做过多要求。而面面垂直的性质和判定定理一样重要。 在最近几年有比较重要的考察. 【例题5】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，.求证：平面；    【巩固练习1】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. 证明：； 【巩固练习2】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)求证：平面平面； 【类型5】证明异面直线垂直 方法技巧：异面直线的垂直证明如果能建系就优先考虑建系，建系法思路简单且计算量小，而几何法如果不熟练就容易卡壳 【例题6】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：； 【分析】根据题意易证平面，从而证得； 【详解】连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． 【例题7】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： (1)平面PBC； (2)． 【巩固练习1】如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． (1)证明：； 【巩固练习2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.证明： 所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以． 【巩固练习3】在三棱锥中,底面△ABC为等腰直角三角形,. 求证：AC⊥SB 模块二 平行与垂直的应用 题型四 平行关系的应用 【类型1】等积变形求体积 【例题1】已知正方体的棱长为是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？ 请说明理由 【例题2】如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，三棱锥的体积为________ 【巩固练习1】如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则三棱锥的体积为________ 【巩固练习2】如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内，则三棱锥的体积为________.    【类型2】平行的存在性问题（确定点的位置） 我们经常会遇到这样一类问题：在棱AD上是否存在点N，使MN∥平面 PAB?类似这一类确定点位置的问题，在线面平行类问题中，我们经常会通过证明面面平行来解决问题。 【例题3】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值. 【例题4】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. 在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【巩固练习1】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【巩固练习3】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【巩固练习4】（23-24高一下·重庆·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【巩固练习5】（23-24高一下·江苏泰州·期末）如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. (1)在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 【类型3】平行的存在性问题（确定动点轨迹） 【例题5】（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【例题6】如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为________ 【巩固练习2】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为 ． 【巩固练习3】（23-24高一下·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是 ． 【巩固练习4】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【巩固练习5】（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且∥平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【类型4】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 【例题7】如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为________ 【例题8】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例题9】（多选）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN//平面ABC的是( ) 【例题10】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【巩固练习1】（23-24高一下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 ． 【巩固练习3】（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为 ． 【巩固练习4】（23-24高一下·浙江杭州·期中）在棱长为2的正方体中，则它的外接球的表面积为 ；若E为的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体所得的截面面积为 . 【巩固练习5】如图，正方体的棱长为4，E为的中点，F为线段上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当时，截面S与，分别交于M，N，则 . 【巩固练习6】（23-24高一下·四川成都·期末）在如图所示的直三棱柱中，点和的中点以及的中点所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分， 则小部分的体积和大部分的体积比为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习7】（23-24高一下·江苏南通·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．多面体是棱台 D．平面截正方体所得截面的面积为 【巩固练习8】（23-24高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)若平面平面， ①求证：； ②求三棱锥的体积； (2)若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长. 题型五 垂直的应用 【类型1】垂直的存在性问题（确定点的位置） 【例题1】如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明 【例题2】在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点，且AQ⊥平面，则 . 【巩固练习1】如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【类型2】垂直的存在性问题（确定动点轨迹） 【例题3】如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 　　． 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 【巩固练习3】已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高一下·江西抚州·期末）如图所示，四棱锥中，四边形是菱形，棱长为2，，，. (1)证明： (2)若，求 (3)若，为边的中点，为四棱锥表面上一动点且恒有，求动点的轨迹长． 【课后训练】 1. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2. （多选）设a，b表示两条互不重合的直线，，表示两个互不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）． A．，，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，则 3. 对于D，由，知相交，当为交线时，若，，得， 此时，D错误.（22-23高一下·江苏南京·期末）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ． 4. （23-24高一下·重庆·期中）（多选）如图，过直三棱柱的棱作截面分别与棱，相交于，（，不与顶点重合），则下列判断正确的有（    ）    A． B．直线与直线共面 C．几何体为棱台 D．当为中点时，几何体与三棱柱的体积之比为 5. 如图，正方体的棱长为分别为棱的中点. 请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 6. 如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；    7. （23-24高一下·北京东城·期末）一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为 ． 8. 在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为 ． 10. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 11. 已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是　　；若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是　　． 12. 已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，，则的最大值为 　　；最小值为 　　． 13. （23-24高一下·广东韶关·期末）如图，在正方体中，点M为棱的中点，记过点与AM垂直的平面为，平面将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为，则 . 14. （23-24高一下·福建厦门·期中）（多选）如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点．则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则 B．若平面，则三棱锥的体积为 C．若为线段的中点，且平面，则 D．的最小值为2 15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面；(2)求证：. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.    证明：平面平面. 17. （23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点. (1)求证：平面PBC；(2)求证：平面AFG. 18. （23-24高一下·广东茂名·期中）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． (3)若F为侧棱的中点，求证：平面． 19. （23-24高一下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD． (1)若M，N分别为棱BC和PD中点，求证：平面PAB； (2)若点A到平面PBD的距离为1，求PA的长． 20. 如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 21. （23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知正四棱台，点为棱的中点， (1)若，证明平面； (2)若，求正四棱台的体积． 22. （23-24高一下·湖南·期末）如图，在平行六面体中，. (1)若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） (2)证明：平面平面. 23. 如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. $$ 重点专题4-2 平行与垂直的证明与应用(存在性，轨迹，截面) 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 1 / 111 学科网（北京）股份有限公司 模块一 平行与垂直的证明与辨析 题型一 证明线面平行的几种常用方法 【方法1】由中位线得出平行关系 【方法2】构造平行四边形得到平行 【方法3】由面面平行得出线面平行 【方法4】由线面平行得出线线平行（反推找线） 题型二 其它平行证明与判定 【类型1】平行关系辨析 【类型2】线线关系辨析 【类型3】面面平行 【类型4】证明四点共面 【类型5】两平面交线相关的平行证明 题型三 垂直的证明 【类型1】垂直与平行关系的辨析 【类型2】证明线面垂直 【类型3】面面垂直的证明 【类型4】面面垂直的性质 【类型5】证明异面直线垂直 模块二 平行与垂直的应用 题型四 平行关系的应用 【类型1】等积变形求体积 【类型2】平行的存在性问题（确定点的位置） 【类型3】平行的存在性问题（确定动点轨迹） 【类型4】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 题型五 垂直的应用 【类型1】垂直的存在性（确定位置） 【类型2】垂直的存在性（动点轨迹） 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 知识点01 平行关系的性质与判定 1. 转化关系思维导图 2. 图形展示，符号语言与文字语言 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 3. 平行常用结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． (4)若α∥β，m⊂α，则m∥β. 【现学现用】如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中点． （1）证明BE//平面PAD 方法一：作相交平面找线 解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE 【简析】若BE//平面PAD，则必有BE//PG，所以所以要证明BE//平面PAD，只需证明BE//PG即可.（2）若F是DC的中点，证明PA//平面BEF（中位线法） 【简析】若PA//平面BEF，则必有PA//EM，所以要证明PA//平面BEF，只需证明PA//EM即可.（中位线） 方法二：BE//平面PAD（正向平移法：构造平行四边形） 【简析】将BE向平面PAD中平移，易知将线段BE沿BA平移，可得E点轨迹，取PD中点M，由平行四边形可得BE∥AM，故BE//平面PAD. 方法三：BE//平面PAD（反向平移法：构造面面平行） 【简析】将PD，AD平移，使之与BE共面，可得平面BEH，易知BH∥AD，EH∥PD，则平面EHB//平面PAD，故BE//平面PAD. 知识点02 垂直关系的判断与性质 1. 线线垂直 （1）勾股定理逆定理；（2）等腰三角形三线合一 （3）菱形对角线互相垂直；（4）结合余弦定理得出直角 2. 线面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质一 如果一条直线与一个平面内垂直，那么该直线与此平面的任何一条直线垂直 性质二 垂直于同一个平面的两条直线平行 3. 面面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 4. 垂直常用结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 知识点03 截面问题 1. 如何做截面？ 作出过EFG三点的截面 法一：作平行线并标出棱上的交点 法二：作延长线并标出棱上的交点 2. 如何确定截面是否已经“搞定”？ （1）题目所要求的点是否都用上？ （2）你所画的线是否围成了一个封闭图形？ （3）这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？ 知识点04 存在性问题 1. 平行存在性问题：过定点构造出平行平面（过相关点作2次平行） 2. 垂直存在性问题：过定点构造垂直平面（先作投影，再过定点作投影的垂线） 模块三 核心题型·训练 模块一 平行与垂直的证明与辨析 题型一 证明线面平行的几种常用方法 【方法1】由中位线得出平行关系 【例题1】已知在正四棱柱中，，，点是的中点，求证：平面 【分析】根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 【详解】连接，交于点，则为的中点， 又因为为的中点，连接，则，平面，平面，平面 【例题2】（23-24高一下·河北石家庄·期中）如图，正方体的棱长为，是的中点，证明：平面 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）由等体积法转化为易求底面积的三棱锥，利用体积公式求解即可. 【详解】（1）证明：如图： 连接交于点，连接， 在正方体中，底面为正方形， 所以为的中点， 又因为是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【巩固练习1】如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.    求证：平面； 【分析】连，利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得. 【详解】连，由为中点，为中点，得， 又平面，平面， 所以平面. 【巩固练习2】已知在正四棱柱中，点是的中点，求证：平面 【分析】根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 【详解】连接，交于点，则为的中点， 又因为为的中点，连接，则， 平面，平面， 平面 【方法2】构造平行四边形得到平行关系 【例题2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，，分别是，的中点.求证：平面；    【分析】取的中点，连接，，由平行四边形的判定定理与性质可得，结合线面平行的判定定理即可得证； 【详解】取的中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 又是的中点，是正方形，所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面；    【巩固练习1】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：：平面； 【解析】证明：取的中点，连接，， 根据题意可得，且，， 由三棱柱得性质知，所以，则四边形是平行四边形， 所以，因为面，面，所以面． 【巩固练习2】如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. 若为的中点，证明：平面； 【解析】证明：由已知得，取的中点T，连接， 由N为的中点知，．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面， ∴平面． 【方法3】由面面平行得出线面平行 【例题3】如图，已知三棱柱为直三棱柱，为AC的中点.证明：平面 【简证】取中点 【巩固练习1】由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，求证：平面；    【解析】连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面； 【巩固练习2】如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面 【解析】证明：设中点为，连接， 为中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． 【方法4】由线面平行得出线线平行（反推找线） 解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE 【例题4】如图，在直三棱柱中，D为的中点，证明：平面. 【分析】连接交于点E，证明，再利用线面平行的判定推理即得. 【详解】连接交于点E，则E为的中点， 连接，而为的中点，则，又平面，平面， 所以平面. 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点．求证：平面 【分析】（1）利用中位线定理得线线平行，再运用线面平行的判定定理即可. 【详解】（1）连接交于点，分别为的中点，， 又平面，平面，平面 【巩固练习2】如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【分析】（1）根据重心性质以及线段比可知是的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论； 【详解】（1）连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面 法二：连接CG交AB于H，易证FG∥EH 题型二 其它平行证明与判定 【类型1】平行关系辨析 【例题1】已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线． 若 则下列说法正确的是（　　） A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于AB，平面，，则， 同理可得，则AB错误； 对于C，由AB知道，则C正确； 对于D，由A知道平面，平面，则，故D错误. 【例题2】（23-24高一下·山东·期中）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：    ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据两平行线可确定一个平面判断①；根据两条直线的交点在第三条直线上判断②；由题意可证为平行四边形，可知，可判断③；由③的线线平行可证线面平行，判断④. 【详解】    对于①，连接，在正方体中，因为，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以， 又因为分别是的中点， 所以，所以， 所以与是相交直线，故①错误；    对于②，因为与是相交直线，设交点为， 因为面，所以面， 又面，所以面， 又因为平面平面， 所以，所以相交于一点，故②错误， 对于③，令，故为中点，    因为，分别是，的中点， 所以，又， 则为平行四边形， 所以，而，所以与异面，故③错误； 对于④，由③知，， 又因为平面，平面， 所以平面，即平面，故④正确. 故选：C 【巩固练习1】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（    ） A． B．； C． D．. 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理可判定A，根据面面平行的性质定理可判定B，根据线面平行的判定定理可判定C，根据线面平行的性质定理可判定D. 【详解】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误； 选项B：由面面平行的性质定理可知B正确； 选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误； 选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误 【巩固练习2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则； B．若，，则； C．若、是异面直线，，，，，则； D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则． 【答案】C 【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平行的判定定理可判断C，从而得解. 【详解】因为、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，， 对于A，若，，则与可能相交，故A错误； 对于B，若，，则可能在内，故B错误； 对于C，因为，所以， 又，所以由线面平行的性质定理可知在内存在， 则，进而可得， 因为是异面直线，，所以与相交， 又，所以由面面平行的判定定理得，故C正确； 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，故D错误． 【巩固练习3】（23-24高一下·广东佛山·期中）（多选）在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是相交直线 C．存在点，使，，，四点共面 D．存在点，使平面 【答案】AD 【分析】根据直线与直线的位置关系可判定AB，根据平面基本性质可判定C，根据线面平行的判定定理可判定D. 【详解】连接，，分别是，的中点，所以， 由，可确定平面，平面平面， 而平面内点直线，故平面， 故与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线，故A正确，B错误； 因是的中点，所以，故，，三点确定平面， 平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，故C错误； 由选项A知平面，故平面，只需为中点，有， 则平面，故D正确． 故选：AD. 【类型2】线线关系辨析 【例题2】如图，在正方体中，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线和平行，和相交 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 【答案】B 【分析】利用几何法证明直线的位置关系. 【详解】 由，，，分别是棱，，，的中点， 可知，， 又，故； 延长交直线于点，故， ， 故点在的延长线上，即与相交. 【巩固练习1】（多选）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．直线与是相交直线 B．直线与是平行直线 C．直线与是异面直线 D．直线与是异面直线 【答案】CD 【分析】根据异面直线的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为点在平面外，点在平面内，直线在平面内，不过点，所以与是异面直线，故A错误； 对于B，若直线与平行，则MN与AB共面，又平面，所以直线与不平行，故B错误； 对于C，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故D正确. 故选：CD. 【巩固练习2】我国古代数学名著《九章算术》中有“堑堵”一说“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示的“堑堵”中，，，分别为棱，的中点，则直线与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法判断 【答案】C 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，则有∥，从而可得∥平面，由此可得直线与没有公共点，而，∥，由此可得直线与不可能平行，从而可得结论 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， 所以与平面没有公共点， 因为平面，所以直线与没有公共点，所以直线与不可能相交， 因为，∥， 所以直线与不可能平行， 所以直线与是异面直线， 故选：C 【类型3】面面平行 【例题3】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：平面EFA1平面BCHG. 【分析】利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证. 【详解】∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EFBC， ∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF平面BCHG， ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，， ∴A1GEB，， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB， ∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1平面BCHG. 【巩固练习1】如图：已知三棱柱中，D为BC边上一点，为中点，且∥平面．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接与交于点，由线面平行的性质定理可得，从而为中点，进而可得四边形为平行四边形，，由线面平行的判定定理得平面，再利用面面平行的判定定理证得结论. 【详解】 连接与交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，又为中点，∴为中点， ∵，且， ∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． 又平面,，平面 所以平面平面． 【类型4】证明四点共面 【例题4】如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面基本性质判断各个选项，根据线线平行得出四点共面，根据两直线异面得出四点不共面判断即可. 【详解】对于，故四点共面； 对于B,,故四点共面； 对于C,,故四点共面； 对于D,因为平面,平面,不过,所以与异面，所以四点不共面. 【例题5】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由． 【详解】取DG中点P，连接PA，PF，如图示： 在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE． 又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF ∴四边形ABFP为平行四边形，∴AP∥BF 在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG， ∴B，C，F，G四点共面． 【巩固练习1】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面；(2)求证：、、、四点共面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证四点共面，再证明，由线线平行得到线面平行. （2）连接，结合条件可证，从而证明. 【详解】（1）如图： 连接，因为分别为的中点，所以 在三棱柱中，.所以四点共面. 因为分别为的中点，所以，. 所以四边形为平行四边形. 所以.因为平面平面， 所以平面. （2）如图： 连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点， 所以，又，所以，所以、、、四点共面. 【巩固练习2】如图，在长方体中，点分别在棱上，2DE＝ED1 ，BF＝2FB1 ，证明：点C1在平面AEF内． 【解答】证明：在上取点M，使得＝2AM，连接 在长方体中，有且＝＝． 又2DE＝＝2AM，BF＝∴DE＝AM＝． ∴四边形和四边形EDAM都是平行四边形． ∴且AF＝且AD＝ME． 又在长方体中，有且AD＝ ∴且＝ME，则四边形为平行四边形， ∴且＝ 又且AF＝∴且AF＝ 则四边形为平行四边形， ∴点在平面AEF内 【巩固练习3】（23-24高一下·福建厦门·期中）如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， 求证：共面； 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；【分析】（ⅰ）三点确定平面，证明其余务点都在内； 【详解】（证明：由基本事实1，三点共面，设这三点确定的平面为，    因为，且平面，平面， 所以平面，同理，平面， 又因为平面由棱柱上底面绕中心旋转得到， 所以平面平面，因为平面，所以平面， 若平面与平面相交，设平面平面，则至少与中一条直线相交， 不失一般性，设，则平面，且，由基本事实3知，与矛盾，故平面平面， 若平面，则与平面相交，由平面平面，则与平面相交， 因为平面，所以与相交，与矛盾，所以平面， 即四点共面；同理， 综上，六点共面. 【类型5】两个平面交线相关的平行证明 【例题6】如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且PD⊥面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． 证明：l∥CB 【证明】证明：因为 ABCD 为正方形，∴ BC∥AD， 又∵ BC平面 PAD，AD平面 PAD． ∴ BC∥平面PAD 又 ∵BC 平面 PCB，平面 PAD∩平面 PCB＝l， ∴ l∥CD． 【例题7】（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，直棱柱中，为的中点，，，． (1)求棱柱的表面积； (2)求证：平面； (3)在图上做出平面与平面的交线，并写出作图步骤． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式可得的面积，即可得到结果； （2）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （3）根据题意，在平面中，延长直线，交于点，连接，即可得到结果. 【详解】（1）直棱柱侧面都是矩形，则侧面积为； 中，，又，故 故面积为 故棱柱表面． （2）连接交于点，连接， ∵四边形为矩形，∴为的中点； ∵因为为的中点，∴． ∵平面，平面， ∴平面． （3）在平面中，延长直线，交于点，连接， 则平面平面． 【巩固练习1】如图，，，设平面与平面的交线为，求证：； 且，且平面，,且， 【分析】由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； 【详解】因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. 【巩固练习2】在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与不重合，是线段的两个三等分点，且．若平面和平面的交线为，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用三等分点得中位线可得线线平行，再应用线面平行判定与性质定理证明即可； 【详解】由知为中点，又为中点， 所以，平面，平面， 所以平面，又平面， 由平面平面，且， 故由线面平行的性质定理可得， 由点与不重合，可知平面，故平面， 又平面，所以平面. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②平行，证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解； （2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； ②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解. 【详解】（1）∵， ∴为直角三角形， ∵平面，且平面，平面，平面， ∴，，， ∴和为直角三角形， ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ∴为直角三角形， ∴三棱锥为鳖曘. （2）① 连接，∵点分别为的中点， ∴， 且平面，平面， 所以直线平面， ②平行， 证明：平面，平面，平面平面=， 所以. （23-24高一下·江苏无锡·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②平行，证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解； （2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； ②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解. 【详解】（1）∵， ∴为直角三角形， ∵平面，且平面，平面，平面， ∴，，， ∴和为直角三角形， ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ∴为直角三角形， ∴三棱锥为鳖曘. （2）① 连接，∵点分别为的中点， ∴， 且平面，平面， 所以直线平面， ②平行， 证明：平面，平面，平面平面=， 所以. 题型三 垂直的证明 【类型1】垂直与平行关系的辨析 【例题1】已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】对于A，由只需之间的位置关系即可判断；对于B，由面面垂直的判定即可判断；对于C，由线面位置关系即可判断；对于D，由面面垂直的性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则平行、相交或异面； 对于B，若，则存在，使得，又因为，，而，所以，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，，且如果不在内，则不会有，故D错误. 【例题2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列命题正确的是 .（填序号） ①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ②垂直于同一条直线的两直线平行； ③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面； ④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在； ⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直； ⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个. 【答案】①⑤⑥ 【分析】根据题意，由直线与直线，直线与平面的位置关系，依次分析6个命题，即可判断． 【详解】对于①： 如图，，平面平面，所以，同理，所以， 又因为，所以， 又，所以，所以， 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，故①正确； 对于②：垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故②错误； 对于③：根据面面垂直的性质定理可知，两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点（不在交线上）作交线的垂线，必垂直与另一个平面， 当该点在交线上时，作交线的垂线，得不到该直线与另一个平面垂直，故③错误； 对于④：分3种情况讨论：若两点确定的直线在已知平面内，则过两点与一个已知平面垂直的平面有且只有一个； 若两点确定的直线不在平面内，但与已知平面不垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有一个， 若两点确定的直线不在平面内且与已知平面垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有无数个， 综上，过两点与一个已知平面垂直的平面有一个或无数个，一定存在，故④错误； 对于⑤：设直线、异面，过直线上一点作直线， 使得且，如下图所示： 设直线、确定平面，过空间中任意一点，有且只有一条直线，使得， 因为、，则，，又因为，则， 故过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直，故⑤正确； 对于⑥：到一个四面体的四个顶点的距离相等的平面，可以看作是与一个四面体四个顶点距离相等的平面， 可以是与两条对棱平行，这样的平面有3个， 也可以是与一个底面平行，与另一个顶点距离相等，这样的面有4个， 则到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个，⑥正确． 故答案为：①⑤⑥ 【巩固练习1】已知l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】在A中，与平行或异面；在B中，与相交、平行或；在C中，与相交、平行或；在D中，由面面垂直的判定理得。 【详解】由l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，知： 在A中，若，，，则与平行或异面，故A错误； 在B中，若，，则与相交、平行或，故B错误； 在C中，若，，则与相交、平行或，故C错误； 在D中，若，，则由面面垂直的判定理得，故D正确． 【巩固练习2】（多选）已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：，，，也可能平行，故错误； 对于B：若，，则，正确； 对于C：，，，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直于，故也不一定垂直，故错误； 对于D：由，，可得：，再由，可证，故正确. 【类型2】证明线面垂直 【例题2】如图，在三棱锥中，平面，．求证：平面PAB；    【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. 【例题3】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，．求证：平面． 【分析】设，利用相似三角形的性质结合勾股定理可计算，再由勾股定理可得，由面面垂直的性质定理可得面，继而可得，再运用线面垂直的判定定理即可. 【详解】 设, ,设，则， 由勾股定理得，， M为棱AC的中点，由，得为，的三等分点， ， ，即， 在直三棱柱中，面面，且面面， M为棱AC的中点，， ，又面， 面，又面， ， 又，平面，平面， 平面. 【巩固练习1】如图，在三棱锥中，底面，且为棱的中点.证明：平面 【分析】由平面得，又，可得平面，从而，又，进而可得结论； 【详解】∵平面，且平面，∴， ∵，平面，且， ∴平面，又平面，∴， ∵，且D为的中点，∴， 又，且平面， 因此平面． 【巩固练习2】如图，三棱柱中，，，，点M，N分别为AC，AB的中点，且，．证明：平面ABC； 【分析】（1）根据长度关系可证，，即可证线面垂直， 【详解】（1）连接， 因为，，则，可知， 且点M，N分别为AC，AB的中点，则，∥， 则，可知， 又因为，则， 可得，可知， 且，平面，所以平面ABC. 【巩固练习3】如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，. (1)求证：平面 【分析】取的中点，连接，证明，结合，先证明平面，得到，再证明，最后证明线面垂直； 【详解】（1）证明：作的中点，连接， 因为是正三角形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，因为∥，所以， 又平面，所以平面 【巩固练习4】如图，在三棱锥中，为上的动点.若，求证：平面； 【解析】 在中，，则， 又，所以 由勾股定理可得为直角三角形，, 所以，所以 在中，因为，由余弦定理可得： 则，所以， 又，在中由余弦定理可得： ， 则，所以， 又平面平面， 所以平面 【类型3】面面垂直的证明 【例题4】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； 【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得 ，即，从而证得平面，即可证得结论； 【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面， 在上，， 是圆内接正三角形，，≌， ，即， 平面平面，平面平面 【例题5】（23-24高一下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面；(2)求证：平面平面； 【分析】（1）依题意可得四边形为平行四边形，即可得到，从而得证； （2）连接，即可说明四边形为菱形，得到，从而得到，再由线面垂直得到，从而证明平面，即可得证； 【详解】（1）因为，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）连接，因为，，为的中点， 则，所以四边形为菱形，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【巩固练习1】如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：平面平面    【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； 【详解】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. 【巩固练习2】在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； 【答案】（1）证明见解析； 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. 【详解】 （1）取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. 【巩固练习3】（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，. (1)若，求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，从而可得为平行四边形，即可证明平面； （2）只需证明平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， ∵是菱形的对角线，的交点， ∴，且， 又∵，且， ∴，且， 从而为平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）证明：连接， ∵四边形为菱形，∴， ∵，是的中点，∴， 又，平面， ∴平面，又平面， ∴平面平面. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，． (1)证明：平面平面; 【分析】（1）取中点，连接，根据等比三角形可得，由余弦定理求长，再由勾股定理得，结合面面垂直判定定理证得结论； 【详解】（1）取中点，连接， 因为是正三角形，为中点， 所以，且， 又， 由余弦定理得， 则，故， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面 【巩固练习4】（23-24高一下·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面平面； （2）先根据条件作出二面角的平面角，假设边长后利用即可求出结果. 【详解】（1）证明：由条件有， 且平面，， 平面，又平面，； 又，是的中点，； 又平面，， 平面，平面，． 由已知，且平面，， 平面．又平面， 平面平面． 【巩固练习5】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段AC，AB的中点． (1)若平面平面，证明：∥； (2)证明：平面ABC； 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明； 【详解】（1）因为点O，M分别为线段AC，AB的中点，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 又因为平面，平面平面，则, 所以∥. （2）由题意可知：为边长为4的等边三角形，且O分别为线段AC的中点， 则， 又因为为等腰直角三角形，且斜边，则， 由可知，即， 且，平面ABC， 所以平面ABC. 【巩固练习6】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面；(2)证明：平面平面； 【分析】（1）先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可； 【详解】（1） 连接，，， 又为的中点，，， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面， （2）平面，， 是的中点，，又，平面， 平面， 又因为平面，， 在正方形中，､分别为棱､的中点， ，平面， 平面， 又平面，平面平面. 【类型4】面面垂直的性质 面面平行主要是判定定理，对性质定理不做过多要求。而面面垂直的性质和判定定理一样重要。 在最近几年有比较重要的考察. 【例题5】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，.求证：平面；    【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质可证得，由四边形为菱形，得，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； 【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以. 又，，平面.所以平面. 【巩固练习1】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. 证明：； 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； 【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. 【巩固练习2】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)求证：平面平面； 【分析】（1）利用面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理证明即可得出结论； 【详解】（1）在底面中，因为，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又因为，，，平面， 所以平面 又因为平面，所以平面平面 【类型5】证明异面直线垂直 方法技巧：异面直线的垂直证明如果能建系就优先考虑建系，建系法思路简单且计算量小，而几何法如果不熟练就容易卡壳 【例题6】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：； 【分析】根据题意易证平面，从而证得； 【详解】连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． 【例题7】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： (1)平面PBC； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）连结，证明平面PDN，再根据线面垂直的性质即可得证. 【详解】（1）如图，取的中点，连结， 因为M是PD的中点， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC； （2）连结， 因为，N是BC的中点， 所以， 在中，，，， 所以， 由条件，所以， 又N是BC的中点，所以， 因为DN，平面PDN，， 所以平面PDN， 因为平面PDN，所以． 【巩固练习1】如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． (1)证明：； 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以 【巩固练习2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.证明： 【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证； 【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得， 所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以． 【巩固练习3】在三棱锥中,底面△ABC为等腰直角三角形,. 求证：AC⊥SB 【详解】 法一：利用全等 证明：取的中点为E，连结， ∵，∴， 在和中， ∴，∴， ∵的中点为E，∴， ∵，∴面， ∵面，∴ 法二：构造等腰直角三角形，取SB中点M，易知AM=CM，故EM⊥AC 模块二 平行与垂直的应用 题型四 平行关系的应用 【类型1】等积变形求体积 【例题1】已知正方体的棱长为是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？ 请说明理由 【答案】是定值 【详解】  根据正方体的性质可知，，且， 所以，四边形为平行四边形，则. 因为平面，平面， 所以，平面. 又，所以点到平面的距离为定值. 又的面积确定，， 所以，三棱锥的体积为定值. 【例题2】如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，三棱锥的体积为________ 【答案】 【详解】正方体中有，平面，平面，平面， ， 即三棱锥的体积为 【巩固练习1】如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则三棱锥的体积为________ 【答案】 【详解】易得，因为平面MNB，平面MNB， 所以平面MNB，所以 【巩固练习2】如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】可证得面面，则点到面的距离相等，三棱锥的体积为 【详解】∵，面，面，∴面， ∵，面，面，∴面， 又∵，面，∴面面， 点在平面内，则点到面的距离相等， 三棱锥的体积为   【类型2】平行的存在性问题（确定点的位置） 我们经常会遇到这样一类问题：在棱AD上是否存在点N，使MN∥平面 PAB?类似这一类确定点位置的问题，在线面平行类问题中，我们经常会通过证明面面平行来解决问题。 【例题3】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值. 【解析】连接交于点，连接，如下图所示： 由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面， ，则为的中点，则， 平面平面，平面平面，平面平面， 所以，， 又因为，所以，四边形为平行四边形， 所以，，因此，. 【例题4】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. 在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】在平面中，过点E作，交于， 在平面中，过点作，交于，连接，如图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面，所以平面平面， 平面，所以平面，即为所求的点， 在中，，即，如图所示， 所以，在中，，所以，即此时. 【巩固练习1】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 【巩固练习2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，转化为构造中位线，证明线线平行； （2）通过比例关系，构造线线平行，并证明面面平行，从而证明存在点G，使得平面. 【详解】（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形， 所以O为的中点，而E为的中点， 所以， 又平面，平面； 所以平面； （2）在棱上存在点G，且，使得平面， 证明：上取点，且，因为F为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 【巩固练习3】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明； （2）分析可得在侧棱上是否存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； （2）在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 【巩固练习4】（23-24高一下·重庆·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明面面，即可证明平面； （2）假设在棱上存在点，使得面，由线面平行的性质定理即可得点为棱的中点. 【详解】（1）在上取点，使得，连接， 在中，点、分别为、上的三等分点，则有 又面、面 由线面平行的判定定理：面 又且，∴四边形为平行四边形 则有，又面、面，∴面 由于面、面，，∴面面 又面，∴面 （2）假设在棱上存在点，使得面 连接，交于 ∵面，面，面面 由线面平行的性质定理： 则在中，，易知， ∴，∴点为棱的中点，即 【巩固练习5】（23-24高一下·江苏泰州·期末）如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. (1)在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）不共面，证明见解析 (2)存在，证明见解析 【分析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确； （2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证. 【详解】（1）（i）由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）不共面， 假设共面于， 由四棱柱，得平面平面， 又平面，平面，所以， 又，所以，又，即， 又，且，， 从而四边形为矩形，与矛盾! 所以不共面； （2）取的中点，连接并延长交于， 因为，，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 由是的中点，平面，平面 ， 所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【类型3】平行的存在性问题（确定动点轨迹） 【例题5】（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 【例题6】如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点是平面内一点，且平面，先考虑平面平面，从而得在直线上，取最大值时取最小值，此时，求解即可. 【详解】 正方体中， 连接，交于点，再连接和 由于，且，∴四边形是平行四边形， 所以， 又平面，且平面，， 所以平面，同理证明平面， 因为平面，平面，平面，平面，且， 所以平面平面，且平面平面， 从而得，若平面，点是平面内一点，且平面， 则，即在直线上时，都满足平面， 因为平面，所以， 显然，当最大时，即取最小值时， 此时点满足，连接， 可设正方体的棱长为， 所以． 【巩固练习1】如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为________ 【答案】2 【详解】过点A1作平面的平行平面，即 点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为 【巩固练习2】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】根据条件分别在棱取点，证明平面，同理平面，进而可得平面平面，从而P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为，进一步即可得解. 【详解】在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面， 平面，所以平面． 在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，， 如图所示．同理可得平面， 又，平面，所以平面平面． 所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为． 因为正方体的棱长为3，所以， ， 所以点P的轨迹长度为． 【巩固练习3】（23-24高一下·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】证明平面平面，得点的轨迹，由此可得的最大值为的长，最小值为到平面的距离，求出距离后可得． 【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 平面，则平面， 所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长， 的最小值为到平面的距离， 连接交于点，连接交于点，， 由平面，平面，得， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以，同理， 又因为，平面，所以平面， 同理可证，所以，从而， 故线段的长的取值范围是． 故答案为：． 【巩固练习4】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 【巩固练习5】（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且∥平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得∥，进而可得结果； （2）根据长度关系可得，分析可知二面角的平面角为，进而可得结果； （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）连接， 因为，M为的中点，则， 又因为平面，且平面，则， 由，平面，可得平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则∥，， 且∥，，可得∥，， 可知为平行四边形，则∥， 所以平面. （2）不妨设，则， 且平面，可知， 因为平面，平面，可得， 则，即，则， 可知为矩形，则， 由（1）可知：，则二面角的平面角为， 在中，可得， 所以二面角的正弦值为. （3）连接， 由（1）可知：∥，且平面，平面， 可得∥平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面， 且平面平面，可知点P的轨迹为线段， 即，由题可知：，且为矩形， 则， 在中，因为，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 【类型4】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 【例题7】如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为________ 【答案】等腰梯形 【详解】连接，，易得，所以平面BMN截正方体所得截面为梯形 【例题8】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】把截面补形，利用共面可得结果． 【详解】 延长与直线相交于连接与分别交于点 连接，则五边形即为截面 【例题9】（多选）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN//平面ABC的是( ) 【答案】ABC 【解答】解：选项A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN∥EF∥AC， ∵MN⊄平面ABC，AC?平面ABC， ∴MN∥平面ABC，即选项A正确； 选项B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC∥MD，BC∥ND， ∵AC∩BC＝C，MD∩ND＝D，AC、BC⊂平面ABC，MD、ND⊂平面DMN， ∴平面ABC∥平面DMN， 又MN⊂平面DMN， ∴MN∥平面ABC，即选项B正确； 选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN， ∵MN⊂平面GMN， ∴MN∥平面ABC，即选项C正确； 选项D，连接CN，则AB∥CN， ∴A，B，C，N四点共面， ∴MN∩平面ABC＝N，与MN∥平面ABC相矛盾，即选项D错误． 【例题10】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 【巩固练习1】（23-24高一下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ． 【答案】 【分析】过且过的平面与面的交线平行于即为，由此能求出过点的平面截该正方体所得的截面的周长． 【详解】正方体中，分别是棱的中点， ． 平面平面， 平面， 由正方体的棱长为4， 所以截面是以为腰，为上底，为下底的等腰梯形， 故周长为． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 ． 【答案】 六边形 【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积. 【详解】如图，分别取、、的中点为、、， 连接，则由正方体的结构特征可知： ，且， 又由面面平行的性质定理可知过点E，F，G的截面与正方体上下面的两条交线平行， 与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行， 故六边形是正方体中过点E，F，G的截面, 所以过点E，F，G的截面图形为六边形. 因为， 所以六边形是棱长为的正六边形， 如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6个全等的正三角形，且边长为， 故由正三角形面积公式得截面图形的面积为. 【巩固练习3】（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长. 【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以动点P的轨迹为直四棱柱的截面五边形. 由平行线分线段比例可知：， 故，故为等腰直角三角形， 所以，故，则， . 所以五边形的边长为： . 【巩固练习4】（23-24高一下·浙江杭州·期中）在棱长为2的正方体中，则它的外接球的表面积为 ；若E为的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体所得的截面面积为 . 【答案】 【分析】利用正方体的对角线和外接球的半径的关系，求得外接球的半径，进而求得球的表面积，再利用直线间的平行关系和平面的基本性质，得出截面，进而求得截面等腰梯形的面积. 【详解】在棱长为2的正方体中， 可得其外接球的半径为，所以, 所以外接球的表面积为； 如图所示，过点作，连接， 所以过三点的平面截正方体所得的截面为且为等腰梯形， 过点作于点，过点作，连接， 所以为等腰梯形的高，且, 所以梯形的面积为. 故答案为：；. 【巩固练习5】如图，正方体的棱长为4，E为的中点，F为线段上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当时，截面S与，分别交于M，N，则 . 【答案】 【分析】由面面平行的性质可得截面与平面及平面的交线，后由几何知识可得答案. 【详解】由图，截面S与平面，平面相交，因平面//平面，则相应交线平行. 则过A作EF的平行线，则平行线与交点即为M，与延长线交于H. 注意到，则，又，则. 又注意到，则. 又截面S与平面，平面相交，则同理过M作AE平行线，则平行线与交点即为N. 注意到，则. 则根据勾股定理，. 故答案为：. 【巩固练习6】（23-24高一下·四川成都·期末）在如图所示的直三棱柱中，点和的中点以及的中点所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分， 则小部分的体积和大部分的体积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到四边形为截面，连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥，根据全等和相似关系得到四边形的面积，从而得到四棱锥的体积为，进而得到，小部分几何体的体积等于，求出大部分几何体体积，求出体积之比. 【详解】延长与于点，连接交于点，连接，则四边形为截面， 连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥， 因为为的中点，，故，所以， 又为的中点，故，故，相似比为1:2， 故，，又， 故四边形的面积， 故四棱锥的体积为， 设矩形的面积为， 故， 故， 又，故， 故， 故小部分几何体的体积等于， 故大部分几何体的体积等于， 故小部分的体积和大部分的体积比为. 【巩固练习7】（23-24高一下·江苏南通·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．多面体是棱台 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【分析】由线面平行即可判断A；由线面垂直即可判断B；由棱台的定义即可判断C；由平面截正方体所得截面的作图即可判断D． 【详解】对于A，取中点，连接， 由正方体得四边形为平行四边形，所以， 因为点为的中点，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，取中点，连接，则，所以， 所以，所以， 由正方体得，平面，又平面， 所以， 因为，，平面，， 所以平面，又，所以与平面不垂直，故B错误； 对于C，由正方体得，平面平面，即平面平面，由棱台的定义可知，多面体是棱台，故C正确； 对于D，设直线与直线交于点，连接与交于点，与直线交于点，连接交于点，连接，则五边形即为平面截正方体所得截面， 因为，所以，， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以， 因为，， 所以，故D错误； 故选：AC． 【巩固练习8】（23-24高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)若平面平面， ①求证：； ②求三棱锥的体积； (2)若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长. 【答案】(1)①证明见解析.② (2) 【分析】（1）①利用面面垂直的性质定理证明结合面面垂直的定义求证即可. ②利用两条相互平行的直线其中一条垂直于一个平面，另外一个也垂直于这个平面计算这个三棱锥的高. （2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长. 【详解】（1）①因为平面平面平面平面 又因为底面为直角梯形，其中 所以又因为面 所以面又因为面所以 ②由①知面取的中点设为连结则则面 则点到面的距离为 又因为在直角梯形中，， 解得所以在等腰三角形中 三棱锥的体积 （2）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 题型五 垂直的应用 【类型1】垂直的存在性问题（确定点的位置） 【例题1】如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明 【答案】(1)点为的中点，证明见解析 【分析】（1）当点为中点时，平面平面，依题意可得，从而得到，再由，即可证明平面，从而得证； 【详解】（1）当点为中点时，平面平面， 证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【例题2】在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点，且AQ⊥平面，则 . 【答案】 【分析】证明，证明，证明平面平面，在平面内过点作交于点，根据求出. 【详解】在正三棱柱中，因为点为的中点， 所以，因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 因为平面平面， 所以平面，显然， 所以，所以，所以， 所以. 【巩固练习1】如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证； （2）过点M作垂足为F，根据线面垂直的判定可证平面BMN，然后根据平面几何知识求出，进而求出即可得. 【详解】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得，又， 即，又， 所以，所以， 故当时，平面BMN 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 【类型2】垂直的存在性问题（确定动点轨迹） 【例题3】如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 　　． 【解答】 第一步：先找出过P点且垂直BD1的平面，该平面与侧面的交线即为P点轨迹． 具体操作：三垂线法 如图，将BD1向A点所在的三个侧面作投影，然过A点分别在侧面上作各投影的垂线，得到AC与AH (注：观察可以发现第三个图不好作垂线，并且只需要2条线即可确定平面，所以这里就不作第三个图的垂线了)． 显然，所以平面AHC⊥BD1，故P点轨迹为HC ，所以BP⊥HC时，取到最大值，不难求出此时，故. 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到与BD1垂直的平面，从而得到点P的轨迹即为该面与长方体的交线，即可由三角形面积公式求解. 【详解】连接相交于，取的中点，连接， 由于平面，平面，故， 又，故，平面， 故平面，平面，故， 由，，故， 在中，， 在中，， 故，进而得， 故，由于，故， 又平面，故平面 故点的轨迹为线段，其轨迹所围成的图形为三角形； 其中， 故三角形面积为. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，先证明六点共面，再证明平面，从而可得点的轨迹即为六边形，即可得解. 【详解】如图所示，分别取的中点， 连接， 因为且， 所以四边形时平行四边形， 所以， 因为分别时的中点， 所以， 所以，同理可得， 所以六点共面，且六边形为边长为的正六边形， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 又平面， 所以平面， 因为， 所以点的轨迹即为六边形，其轨迹长度为. 【巩固练习3】已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：在中，，所以当取最小值时，最小． 【法一】点所在的三个面上都能作出垂线 延长CD至Q，且CD=2DQ，tan∠BCE= 【巩固练习4】（23-24高一下·江西抚州·期末）如图所示，四棱锥中，四边形是菱形，棱长为2，，，. (1)证明： (2)若，求 (3)若，为边的中点，为四棱锥表面上一动点且恒有，求动点的轨迹长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，即可证明平面，即可得证； （2）取中点，连接并与交于点，即可证明平面，利用三角形相似求出，最后根据锥体的体积公式计算可得； （3）作出截面图形，再计算相关线段的长度，即可求出轨迹长； 【详解】（1）连接，依题意为的中点， ∵，∴， 又∵四边形是菱形，所以， 因为，平面， ∴平面，平面，∴． （2）取中点，连接并与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴为等边三角形，所以为其重心， ∴为的三等分点且，， 又∵， ∴，又，所以，，平面， ∴平面，又平面，∴， 由（1）知平面，平面， ∴，又，平面， 平面，平面， ∴， ∵，所以， ∴， 又，，则， ∴，又， ∴； （3）作，与延长线交于点，与延长线交于点， 作于，连接，作，则， 与交于点，与交于点， ∵，，，平面 ∴平面， ∵，， 平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， ∴平面， ∴五边形即为动点的轨迹， 易知，，， 又∵，∴，， ∴，， ∴，， ∴，∴， ∴， 由对称性易知， ∴， ，， 所以轨迹长 . 【课后训练】 1. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，根据已知条件推出或，对于B，可以推出或异面，对于C，可以推出或，对于D，根据判定定理可以得到结论. 【详解】对于A，由，则或，故A错误； 对于B，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，，则或，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 2. （多选）设a，b表示两条互不重合的直线，，表示两个互不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）． A．，，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，则 【答案】AC 【分析】利用线面垂直的性质，结合面面平行的性质逐项分析判断即可得结果. 【详解】对于A，，，则，又，则内有直线与b平行，因此，A正确； 对于B，，，则，又知，则或，B错误； 对于C，，，则，又知，则，C正确； 3. 对于D，由，知相交，当为交线时，若，，得， 此时，D错误.（22-23高一下·江苏南京·期末）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ． 【答案】 【分析】根据线线平行，即可求解截面四边形为等腰梯形，由梯形面积即可求解. 【详解】取的中点为,连接,则,又,故,则梯形梯形即为截面四边形， 由于,, 所以梯形为等腰梯形，则高为, 所以面积为，故答案为：    4. （23-24高一下·重庆·期中）（多选）如图，过直三棱柱的棱作截面分别与棱，相交于，（，不与顶点重合），则下列判断正确的有（    ）    A． B．直线与直线共面 C．几何体为棱台 D．当为中点时，几何体与三棱柱的体积之比为 【答案】ACD 【分析】由线面平行的性质定理可判断A；直线与直线为异面直线可判断B；由棱台的性质可判断C；由棱台和棱柱的体积公式可判断D. 【详解】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 又因为平面平面，所以，又因为 所以，故A正确； 对于B，因为平面，平面，平面， 所以直线与直线为异面直线，故B错误； 对于C，因为，所以， 又因为，所以， 又因为，将延长能交于一点，故C正确； 对于D，由C选项知，当为中点时，几何体为三棱台， 设，则， 所以几何体的体积为 三棱柱的体积， 所以，故D正确. 5. 如图，正方体的棱长为分别为棱的中点. 请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【答案】(1)截面，作图过程见解析 【详解】（1）连接并延长交延长线于点，连接并延长交于点，交延长线于点，连接交于点，则截面即为所求.    6. 如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；    【答案】(1) 【分析】将平面延展得到点，再利用相似三角形求解即可. 【详解】由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 所以 因此，所以. 7. （23-24高一下·北京东城·期末）一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，过点作交、于点、，取、的三等分、（靠近、），连接、、，即可得到四边形即为所求截面，再证明平面，即可得到，从而求出截面面积. 【详解】取的中点，连接，，则在上且， 过点作交、于点、，则、为、的三等分点（靠近、）， 取、的三等分、（靠近、），连接、、， 则且，且， 且，且， 所以且，且， 所以四边形即为所求截面， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以，所以四边形为矩形， 所以截面面积为. 故答案为： 8. 在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点，因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，又， 所以，所以，所以. 9. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为 ． 【答案】 【详解】如图，取B1C1的中点M，连接KM，MC，易证四边形KMCA为等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰长AK＝MC＝，则其高为KH＝，所以计算可得其面积为. 10. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据正方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 由题知，所以动点的轨迹长度为. 11. 已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是　　；若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是　　． 【解答】解：取的中点，的中点，连接，，，， 则，， 平面平面， 到平面的距离等于到平面的距离， 正方体棱长为2，，，， ，， ，设到平面的距离为，则， 又， ，即． 到平面的距离为． 平面，的轨迹为线段． ，， 当时，取得最小值， 当与（或重合时，取得最大值． ． 故答案为：，，． 12. 已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，，则的最大值为 　　；最小值为 　　． 【解答】把CF向点所在的三个面上作投影，再过点D作他们的垂线，其中侧面A1ADD1的垂线不太好好作，要解题其实也只需作出2条垂线就行， 得到CF⊥面DPQ，则平面DPQ与平面的交线即E点轨迹 ，则 13. （23-24高一下·广东韶关·期末）如图，在正方体中，点M为棱的中点，记过点与AM垂直的平面为，平面将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为，则 . 【答案】 【分析】做辅助线，根据垂直关系可证平面，可知平面即为平面，进而结合三棱台的体积公式分析求解. 【详解】分别取的中点，连接，则∥， 且∥，，可知为平行四边形，则∥， 可得∥，即四点共面， 因为平面，平面，则， 又因为， 即，可知，可得， 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 且，平面， 可得平面，可知平面即为平面， 设正方体的棱长为2， 则正方体的体积为，三棱台的体积为， 可知，，所以. 14. （23-24高一下·福建厦门·期中）（多选）如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点．则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则 B．若平面，则三棱锥的体积为 C．若为线段的中点，且平面，则 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】由题设易知为正四面体内切球的球心且半径为，应用等体积法可得，即可判断A；结合A可知，即可判断B；根据线面平行的性质得到，设，根据平面向量线性运算得到、，再由求出参数即可判断C；正四面体侧面重心的性质知平面，根据线面垂直的性质有，，即可判断D. 【详解】对于A： 在正四面体中平面，所以， 则点为正四面体内切球的球心， ，则. 设正四面体内切球的半径为， 因为， 所以， 解得，而， 所以，故，故A错误. 对于B： 由A知，故B正确； 对于C： 若为线段的中点，且平面， 又平面平面，平面，所以， 因为 ， 设， 则. 因为，故，即， 又、不共线， 所以，解得，故，故C正确； 对于D：因为平面，平面， 所以，. 当与重合时，取得最小值，最小值为，故D错误. 15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面；(2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，利用中位线的性质先证明四边形为平行四边形，由线线平行证线面平行即可； （2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可. 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为分别为的中点，底面为平行四边形， 则，且， 所以四边形为平行四边形，即， 显然平面，平面， 则平面； （2）易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面与平面的交线为m， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.    证明：平面平面. 【分析】（1）取的中点，连接，.易证、，由勾股定理易证，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据面面垂直的判定定理可证平面平面. 【详解】（1）取的中点，连接，.    因为，，所以为等边三角形. 因为为的中点，所以，. 因为是边长为2的等边三角形，所以， 则，所以. 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 17. （23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点. (1)求证：平面PBC；(2)求证：平面AFG. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证平面，有，再由，可证平面PBC； （2）连接交于点，由，得为中点，可得，线面平行的判定定理得平面. 【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 又，为中点，则， 平面，，所以平面. （2）连接交于点，连接， 由四边形为矩形，分别为中点，所以， 则，即为中点，又因为为中点，有， 平面，平面，所以平面. 18. （23-24高一下·广东茂名·期中）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． (3)若F为侧棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）连接交于O，连接由线面平行的判定定理证明即可； （2）先求出到平面的距离，再代入棱锥的体积公式即可求出； （3）方法一先证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；方法二先证明平面平面，再由面面平行的性质得到结果； 【详解】（1） 连接交于O，连接， 为侧棱的中点，O是的中点， ， 平面平面； 平面． （2）为侧棱的中点， 到平面的距离等于S到平面的距离的一半， 到平面的距离， （3） 法1：设M为侧棱的中点，连结，， 为侧棱的中点，F为侧棱的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平面平面平面． 法2： 设G为侧棱的中点，连结． 为侧棱的中点，G为侧棱的中点， ， 平面平面； 平面．同理可证平面． ，且都在平面内；，且都在平面内， 所以平面平面． 平面平面． 19. （23-24高一下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD． (1)若M，N分别为棱BC和PD中点，求证：平面PAB； (2)若点A到平面PBD的距离为1，求PA的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取PA中点E，连接BE，NE，易得四边形BMNE是平行四边形，所以，由线面平行的判定即可得证； （2）由等体积法，计算可得PA的长． 【详解】（1）取PA中点E，连接BE，NE，如下图所示： 因为点N是PD中点，所以，且 又因为底面ABCD为正方形且点M是BC中点， 所以， 所以四边形BMNE是平行四边形， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB； （2）因为面ABCD且AB，面ABCD， 所以PA就是三棱锥P-ABD的底面ABD上的高，且，， 设点A到面PBD的距离为h，，则， 因为，所以，且正方形ABCD的对角线， 所以， 因为， 所以，即， 所以． 20. 如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、、、，则四边形即为所求； （2）依题意可得四边形为菱形，连接，，求出，，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、、、， 则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面； 取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形， 所以且，且，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面. （2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点， 所以， 所以四边形为菱形，连接，，则， 又，， 所以. 21. （23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知正四棱台，点为棱的中点， (1)若，证明平面； (2)若，求正四棱台的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）点为棱的中点，通过证明，证明平面； （2）由已知条件求出棱台的高，体积公式求正四棱台的体积. 【详解】（1）点为棱的中点，连接，如图所示， 又点为棱的中点，由梯形中位线可得，， ，，则，， 所以，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，所以平面 （2）为底面正方形的中心，为底面正方形的中心，则平面， ，则有， 直角梯形中，过作，垂足为，则， ，有，得正四棱台的高为， 正四棱台上表面面积，下表面面积， 所以正四棱台的体积. 22. （23-24高一下·湖南·期末）如图，在平行六面体中，. (1)若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） (2)证明：平面平面. 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，六边形即为所作的截面，并根据中位线进行证明； （2）作出辅助线，证明出⊥，又，故四边形为菱形，故⊥，从而得到线面垂直，面面垂直. 【详解】（1）取的中点，的中点，的中点，的中点，的中点，顺次连接，六边形即为所作的截面， 理由如下：因为为的中位线，所以， 同理可得， 而，故， 面，面，则面，同理面， 且都在面，故截面平面，则六边形即为所作的截面， （2）设，则， 因为，所以⊥， 又，故四边形为菱形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面. 23. 如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. $$