精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期月考试卷 高一数学 一、单选题 1. 某中学有初中生700人，高中生300人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从初中生中抽取35人，则样本容量为（ ） A. 5 B. 30 C. 50 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据直接计算即可. 【详解】由题可知： 故选：C 2. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案． 【详解】由，， 则． 故选：A． 3. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量. 故选：B. 4. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根距离向量的线性运算，得到，结合，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 因为为边上的中线，可得，所以， 所以. 故选：A. 5. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与垂直，由求解. 【详解】解：， 与垂直， ， . 故选：A. 6. 小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ） A. 小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出 B. 小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的 C. 小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高 D. 小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高 【答案】D 【解析】 【分析】条形图各支出占食品支出的比例乘以即是条形图各支出占总支出的比例，由此关系即可逐一判断每一个选项. 【详解】对于A，肉蛋奶的支出占食品开支的， 从而小李这一周用于肉蛋奶的支出占比（总开支是单位1）与用于娱乐的支出占比（总开支是单位1）大小关系为，故A描述正确，不符合题意； 对于B，小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中占比为， 对比其他类型的支出占比可知，B描述正确，不符合题意； 对于C，小李这一周用于主食的支出占比（总开支是单位1）与通信的支出占比（总开支是单位1）的大小关系为， ，故C描述正确，不符合题意； 对于D，小李这一周用于主食和蔬菜的总支出占比（总开支是单位1）与日常支出占比（总开支是单位1）的大小关系为， ，故D描述错误，符合题意. 故选：D. 7. 在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（ ） A. 若P为△ABC的重心，则 B. 若P为△ABC的外心，则 C. 若P为△ABC的垂心，则 D. 若P为△ABC的内心，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用三角形重心性质易得，计算即可判断；对于B，将转化后利用向量数量积计算即得；对于C，先算出边上的高线长，再利用三角函数和勾股定理求得长，即可判断；对于D，先通过等面积求得三角形的内切圆半径，即得长，即可判断. 【详解】 对于A，如图，P为△ABC的重心时，延长交于点. 必有,即，故有，即A正确； 对于B，如图，连接,则, 在中，，故, 于是， 因，则,即，故，故B错误； 对于C，如图，延长交于点,不妨设 在中，,故中， ①， 又,解得，故， 在中， ② ，联立①和②，解得， 故,即，则，C正确； 对于D，如图，设的内切圆半径为， 则由解得，即, 故，即，则，D正确. 故选：B. 8. 已知向量满足，则的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件设出向量,再求出向量,再根据模长公式结合三角函数的值域得出最小值即可. 【详解】不妨设，则， 则，且， 则， 当时，. 故选：D. 二、多选题 9. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算可求出、的值，可得出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项. 【详解】因为向量，，， 所以，，解得，则，， 对于A选项，， 因为，则与不共线，A错； 对于B选项，，则， 故，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，，故，D对. 故选：BCD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16 C. 数据的第70百分位数是23 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断. 【详解】解：对于A，因为样本的方差 所以这个样本有20个数据，平均数是这组样本数据的总和为A正确； 对于B，已知样本数据的标准差为，则， 数据的方差为，其标准差为，故B正确； 对于C，数据共10个数， 从小到大排列为，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故C错误； 对于D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 三、填空题 12. 在中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据极差求得的值，计算，根据百分位数的含义即可确定答案即可. 【详解】由题意得，数据的极差为，因为数据中最小值为， 故应为最大值，为81，则 ， 将数据从小到大排列为： ， 故这组数据的第百分位数为第九个数据. 故答案为：79 14. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求及． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积运算律和数量积定义即可求出； （2）根据向量数量积运算律得，再平方计算即可. 【小问1详解】 ， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由题意知， 解得，， ， 所以． 16. 随着城镇化不断发展，老旧小区改造及管理已经引起政府部门的高度重视，为了解某小区业主对小区物业服务的满意程度，现从该小区随机抽查了户业主，根据业主对物业服务的满意度评分，将评分分成六段：得到如下频率分布直方图.已知评分在之间的有5户. （1）求和的值； （2）从中按分层抽样的方法抽取26人成立物业服务监督小组，则从，中分别抽取几人？ （3）估计满意度评分的平均数和中位数. 【答案】（1） （2）2人，4人，8人，12人 （3）平均数74，中位数为75 【解析】 【分析】（1）由及频率和为1即可求解； （2）确定抽样比即可求解； （3）由平均数、中位数的计算公式即可求解； 【小问1详解】 由题意可知 【小问2详解】 由题意可知抽取比例为. 则若抽取26人，则中抽取2人，中抽取4人，中抽取8人，中抽取12人. 【小问3详解】 平均数： 中位数： 17. 三角形中，分别是角的对边，已知点是AB的中点，点在线段上，且，线段CD与线段交， （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若点是三角形的重心，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. 【小问2详解】 如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设 ， 又因三点共线，故， 所以，故. 【小问3详解】 因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 18. 某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1 已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. （1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ （2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 【答案】（1）18分钟；不能 （2）建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个；求解过程见解析 【解析】 【分析】（1）求出就餐高峰期时选择选餐的总人数，确定平均每个窗口等待就餐的人数即可求得选择选餐同学的最长等待时间；根据频率分布直方图可计算可接受等待时长在15分钟以上的同学占比，即可得结论； （2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，表示出各队伍的同学最长等待时间，根据从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解. 【小问1详解】 由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人； 这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人， 所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟， 由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为， 所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占， 故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％的同学感到满意； 【小问2详解】 假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下： 类别 选餐 套餐 面食 高峰期就餐总人数 100 60 40 各队伍长度（人） 最长等待时间（分钟） 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同， 即得，即有， 而，故， 因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个. 【点睛】关键点睛：本题是一道有关频率分布直方图的应用题，题意的叙述较为复杂，解答的关键是明确题意，理解从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而； （2）设，在，，中由余弦定理得关于的方程，再由解出，最后由面积公式求解即可； （3）设，由得，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出，再结合得到，从而由均值不等式得，从而得到的最小值. 【小问1详解】 由， 得， 得， 得， 得，即， 所以为直角三角形，. 【小问2详解】 由（1）知，所以的三个角都小于， 因为点为的费马点， 所以，设， 在中，， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得， 由， 得 . 【小问3详解】 由（2）知. 设， 由得. 由余弦定理得： 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得， 解得或者（舍去）， 所以实数的最小值为. 【点睛】思路点睛：在本题中，给出了当的三个内角均小于时，确定费马点的方法，即“满足的点为费马点”，由（1）知为直角三角形，再结合点是的费马点知，从而解决（2）（3）两个小题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期月考试卷 高一数学 一、单选题 1. 某中学有初中生700人，高中生300人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从初中生中抽取35人，则样本容量为（ ） A. 5 B. 30 C. 50 D. 100 2. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ） A. 小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出 B. 小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的 C. 小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高 D. 小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高 7. 在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（ ） A. 若P为△ABC的重心，则 B. 若P为△ABC的外心，则 C. 若P为△ABC的垂心，则 D. 若P为△ABC的内心，则 8. 已知向量满足，则的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5 二、多选题 9. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16 C. 数据的第70百分位数是23 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 三、填空题 12. 在中，，则__________. 13. 某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为________. 14. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为______． 四、解答题 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求及． 16. 随着城镇化不断发展，老旧小区改造及管理已经引起政府部门的高度重视，为了解某小区业主对小区物业服务的满意程度，现从该小区随机抽查了户业主，根据业主对物业服务的满意度评分，将评分分成六段：得到如下频率分布直方图.已知评分在之间的有5户. （1）求和的值； （2）从中按分层抽样的方法抽取26人成立物业服务监督小组，则从，中分别抽取几人？ （3）估计满意度评分的平均数和中位数. 17. 三角形中，分别是角的对边，已知点是AB的中点，点在线段上，且，线段CD与线段交， （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若点是三角形的重心，求的最小值. 18. 某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1 已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. （1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ （2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $