精品解析：山西省长治学院附属太行中学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

太行中学2024—2025学年第二学期第一次月考 高二数学试题 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 温馨提示： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号：非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，宇体工整､笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在的二项展开式中，项的系数为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以项的系数为. 故选：A. 2. 已知集合，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一､二象限内不同点的个数是（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】分集合中的元素作点的横坐标，集合中的元素作点的纵坐标和集合中的元素作点的横坐标，集合中的元素作点的纵坐标两类讨论，根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】分两类情况讨论： 第一类，从集合中取的元素作为横坐标，从集合中取的元素作为纵坐标， 则第一、二象限内的点共有（个）； 第二类，从集合中取的元素作为纵坐标，从集合中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个）. 由分类加法计数原理，所以所求个数为． 故选：D. 3. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得或， 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或. 显然是的真子集， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ） A. 1120 B. 7200 C. 8640 D. 14400 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙. 【详解】甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法， 再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法， 所以共有种不同的排法． 故选：B. 5. 自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的前6位数字设置一个6位数的密码，则不同的密码有（ ）个 A. 360 B. 240 C. 180 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数运算求解. 【详解】因为2出现2次，8出现2次， 所以不同的密码有个. 故选：C. 6. 在二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，，可得展开式的通项公式为，当时为有理项，根据不相邻问题插空法及古典概率模型即可求解. 【详解】解：因为二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以展开式共有7项，， 所以展开式的通项公式为，， 因为的指数幂为整数即时为有理项， 所以展开式的第项为有理项， 所以把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为， 故选：C. 7. 某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 52种 D. 64种 【答案】B 【解析】 【分析】安排方案有两种：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透，再将再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上； 第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检. 【详解】分两种情况：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透，有种方案，再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上，有种方案，故共有种方案； 第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，有种方案，再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检，有种方案，故共有种方案． 则这5名医护人员的不同安排方案有种． 故选：B 8. 年高考考场的规格为每场名考生，分为排列，依照下图所示的方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（ ） 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 25 24 13 12 01 第一排 26 23 14 11 02 第二排 27 22 15 10 03 第三排 28 21 16 09 04 第四排 29 20 17 08 05 第五排 30 19 18 07 06 第六排 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】考虑甲、乙、丙三人使用卷，则这三个人的座位号都为奇数，对三个人选择奇数列的人数进行分类讨论，确定第一、二、三个人选择座位的种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得出三人使用卷的座位排法种数，再由对称性可得出三人都使用卷座位排法种数，综合可得结果. 【详解】先考虑甲、乙、丙三人使用卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况讨论： （1）若这三人都在奇数列，则有一人需在第一列选一个奇数号的座位，有种情况， 然后有一人在第三列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能同在一排，只有种情况， 最后一人只能在第五列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的座位只有一个， 此时，不同的排法有种； （2）三人中只有两人在奇数列，首先在第一、三、五列中选两列，有种选择， 其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 此时，共有种不同的排法； （3）三人中只有一人在奇数列，第一个人在第一、三、五列中随便选择一个奇数号的位置，有种选择， 其次，第二个人在第二列中选择一个奇数号的位置，有种选择，例如第二个人选择号座位， 由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有种选择，即号和号两个位置可供选择， 此时，不同的排法种数为种不同的排法. 综上所述，当三个人都考卷时，不同的排法种数为. 由对称性可知，当三人都考卷时，不同的排法种数也为种. 综上，当三人的考卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为种. 故选：A. 【点睛】易错点点睛：求解分类、分步计数原理需要注意以下几点： （1）处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准； （2）分类时要满足要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准； （3）分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续型. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则正整数x的值是1 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，根据排列数公式直接判断；选项B、D，根据组合数公式及性质直接求解；选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果. 【详解】选项A，因为，故A正确； 选项B，，故B正确； 选项C，由， ，得，故C正确； 选项D，因为，所以或，即或6，故D错误. 故选：ABC. 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用二项式定理中的通项及赋值法即可求解. 【详解】， ∴令，则可得：，故选项A正确； 令，则可得：，即，故选项D正确； 展开式第项的通项， 则当时，，即，故选项B不正确； 由展开式第项的通项可知： 当k为偶数时，，当k为奇数时，， ∴， 令则可得：，故选项C正确. 故选：ACD. 11. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，各项系数的和是________. 【答案】1 【解析】 【分析】令即可得解. 【详解】令可得各项系数的和为. 故答案为：1 13. 若多项式，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得，的系数为，即可求出. 【详解】的系数为，∴，的系数为， ∴，∴. 故答案为：. 14. 已知集合，对它的非空子集，可将中每一个元素都乘以，再求和(如，可求得和为)，则对的所有非空子集，这些和的总和是______. 【答案】2560 【解析】 【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决. 【详解】， 中所有非空子集含有1的有10类： ①单元素集合只有含有1，即1出现了次； ②双元素集合只有1的有，即1出现了次； ③三元素集合中含有1的有，即1出现了次， ⑩含有10个元素，出现了次； 共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 ，故答案为. 【点睛】本题主要考查集合的子集以及组合式的应用，考查了分类讨论思想的应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 用二项式定理证明能被8整除． 【答案】证明： 能被8整除. 所以能被8整除. 【解析】 【分析】根据，按照二项式定理展开，化简后，根据展开式的各式都含有因数8可得它能被8整除. 【详解】略 16. 已知m，n为正整数，的展开式中x项的系数为19． （1）求展开式中项的系数的最小值； （2）当展开式中项的系数取最小值时，求项的系数． 【答案】（1）81 （2）156 【解析】 【分析】（1）根据x项的系数结合二项展开式可得，进而可得项的系数，结合组合数以及二次函数分析求解； （2）根据（1）中结果结合二项展开式可得项的系数为，运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：的展开式为， 的展开式为， 令，则， 由题意可得，即， 令，则， 可得项的系数， 且，则当或时，项的系数取到最小值81. 【小问2详解】 令，则， 由（1）可得：或， 所以项的系数为. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； （2）讨论的零点个数． 【答案】（1） （2） 令，解得或． 设函数． 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点． 当时，易证是R上的增函数， 因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点． 当时，． 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 当时，，所以没有零点，则有唯一的零点； 当时，，所以有一个零点，则有两个零点； 当时，， 因为，， 所以有两个小于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有唯一的零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，通过求导并代入已知条件可求出的值. （2）先根据零点概念计算得到或．再构造函数， 对进行分类讨论，借助导数研究函数单调性和最值，分析函数的零点情况即可. 【小问1详解】 由题意可得，则，解得． 【小问2详解】 略． 18. 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且平面. （1）求三棱锥的体积； （2）分别在线段上，且平行，平面MNC与平面所成角为，与平面所成角为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可根据线线垂直求证平面，进而根据线面平行的性质可得，根据相似以及体积公式即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据空间角的向量法求解角，利用余弦的和角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，平面平面，且平面平面，，平面， ∴平面，平面，则， 又，，平面ABC，则平面， 连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵，∴，易知. ∴三棱锥底面的面积，高， ∴其体积为：. 【小问2详解】 由题意及（1）得，以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图，，则． 由于平行，设，则， 设平面的法向量为， 由，取，则， 平面的一个法向量为， 所以． 又因为，所以． ． 又，所以． 19. 在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程. （1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程； （2）若，，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线于M，交直线于N，证明：； （3）若，，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值. 【答案】（1）或； （2）证明： 当时 ，设,则过A点的切线方程为：, 即,由直线l1的方程得,代入切线方程得到, 设,,则,同理, 因为A在曲线C上，,,所以A为线段MN的中点，所以; （3）0. 【解析】 【分析】（1）利用圆的弦长公式计算求解，注意先验证直线斜率不存在的情况； （2）设,根据已知求得切线方程，联立方程组求得M，N的坐标，证明,得到A为线段MN的中点，进而证得结论； （3）设P(x1,y1),R(x2,y2),则Q(-x1,-y1),E(x1,0),写出EQ的方程，与曲线C的方程联立，根据Q，R的横坐标-x1,x2是这个方程的两实数根，利用韦达定理求得，进而计算可得. 【详解】（1）当时，曲线C的方程为,这是以原点为圆心，r=2为半径的圆， 直线l过点,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为,代入圆的方程得,，∴直线l被圆所截得弦长为2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k,则直线l的方程为，即, 由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l的距离为, 由点到直线的距离公式得,解得,所以直线l的方程为：； （2）略； （3）设,则), 则直线EQ: 代入曲线C的方程并整理得： , Q，R的横坐标是这个方程的两实数根， ∴, ∴, , , 由于, ∴ 【点睛】本题考查已知圆的弦长求直线方程，双曲线和椭圆中的直线与直线，直线与曲线的交点坐标问题，属较难试题，关键难点是第（3）小题中根据Q，R的横坐标-x1,x2是方程的两实数根，灵活使用韦达定理求，要注意准确运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2024—2025学年第二学期第一次月考 高二数学试题 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 温馨提示： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号：非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，宇体工整､笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在的二项展开式中，项的系数为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 2. 已知集合，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一､二象限内不同点的个数是（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 14 3. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ） A. 1120 B. 7200 C. 8640 D. 14400 5. 自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的前6位数字设置一个6位数的密码，则不同的密码有（ ）个 A. 360 B. 240 C. 180 D. 90 6. 在二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 52种 D. 64种 8. 年高考考场的规格为每场名考生，分为排列，依照下图所示的方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（ ） 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 25 24 13 12 01 第一排 26 23 14 11 02 第二排 27 22 15 10 03 第三排 28 21 16 09 04 第四排 29 20 17 08 05 第五排 30 19 18 07 06 第六排 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则正整数x的值是1 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，各项系数的和是________. 13. 若多项式，则________. 14. 已知集合，对它的非空子集，可将中每一个元素都乘以，再求和(如，可求得和为)，则对的所有非空子集，这些和的总和是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 用二项式定理证明能被8整除． 16. 已知m，n为正整数，的展开式中x项的系数为19． （1）求展开式中项的系数的最小值； （2）当展开式中项的系数取最小值时，求项的系数． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； （2）讨论的零点个数． 18. 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且平面. （1）求三棱锥的体积； （2）分别在线段上，且平行，平面MNC与平面所成角为，与平面所成角为，求. 19. 在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程. （1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程； （2）若，，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线于M，交直线于N，证明：； （3）若，，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $