精品解析：甘肃省兰州市学府致远学校2024-2025学年高一下学期阶段性测评数学试卷（一）

兰州市学府致远学校 2024—2025学年度第二学期高一年级阶段性测评（一） 数学试卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 总体是200 B. 个体是40名学生 C. 样本是40名学生 D. 样本容量是40 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由总体，个体，样本以及样本容量的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意可得，总体是200名学生或他们的年龄，故A错误； 个体是每一名学生或他们的年龄，故B错误； 样本是40名学生或他们的年龄，故C错误； 样本容量是40，故D正确. 故选：D 2. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的第20百分位数是（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】这组数据从小到大的顺序为3，4，5，6，7，8，9，10， 因为，所以第20百分位数是这组数据的第二个数， 所以这组数据的第20百分位数为. 故选：. 3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件． A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样列比例式，解得结果. 【详解】根据分层抽样得应从丙种型号的产品中抽取，选B. 【点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N. 4. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，判断结果. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328. 故选：A. 5. 一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ） A. 225 B. 295 C. 235 D. 305 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件求出数据在内的频数，去掉内的频数即得. 【详解】因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为， 故样本中数据在内的个数为． 故选：C. 6. 用同比例分层抽样的方法对某品牌暖风机同一批次的甲、乙两种型号的产品进行抽样调查，已知样本量为80，其中有50件甲型号产品．若乙型号产品的总数为2100，则该批次产品的总数为（ ） A. 5460 B. 3500 C. 3350 D. 5600 【答案】D 【解析】 【分析】先求出乙型号产品的抽样比，再根据乙型号产品的总数得到该批次产品的总数. 【详解】由题意可得抽取的样本中乙型号产品所占比例为， 所以该批次产品的总数为. 故选：D. 7. 某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400棵，统计这400棵树苗的高度（单位：），将所得数据分成7组：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约是（　　） A. 1680 B. 1760 C. 1840 D. 1920 【答案】B 【解析】 【分析】求出树苗中高度小于的频率，然后根据频数=样本容量×频率可求出结果. 【详解】由频率分布直方图可得，小于的树苗的频率， 所以可推测，4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约为． 故选：B． 8. 已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的计算公式可得原数据的平均数，再根据平均数的计算公式得到新数据的平均数. 【详解】设正数的平均数为， 则方差为 ， 所以，解得， 所以数据，，，的平均数为. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 【答案】AC 【解析】 【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项. 【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 10. 如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平行向量和相等向量的定义求解． 【详解】由正六边形的结构特征可知， 与方向相同，长度相等，，故选项A正确， 与方向相反，，故选项B正确， 由正六边形的性质可知，，故选项C正确， 与不共线，所以不会相等，故选项D错误， 故选：ABC． 11. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由平均数的公式求得，根据中位数的概念求出结果. 【详解】这组数据的平均数为， 有， 可求得. 将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1， 其平均数即中位数是. 故答案为：1. 13. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n=____，频率为的乙组的频数x=____. 【答案】 ①. 144 ②. 24 【解析】 【分析】利用频率公式求解. 【详解】由题意得， 所以， 同理， 解得. 故答案为：144，24 14. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 【答案】37 【解析】 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设是平面上的任意四点，试化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【小问1详解】 解：根据向量的运算法则，可得. 【小问2详解】 解：根据向量的运算法则， 可得. 【小问3详解】 解：根据向量的运算法则， 可得. 16. 某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评满意度最高分分，最低分分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低去年测评的结果单位：分如下 甲校：，，，，，，， 乙校：，，，，，，， （1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数 （2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差 【答案】（1）平均数为100；100；中位数99；99 （2）55.25；29.5 【解析】 【分析】（1）利用平均数、中位数定义及公式直接求即可； （2）利用方差公式直接求即可 【小问1详解】 甲学校人民满意度的平均数为：， 甲校：86,96,97，98,100,103,108,112 甲学校人民满意度的中位数为； 乙学校人民满意度的平均数为：， 乙校：93,94,96,97,101,105,106,108 乙学校人民满意度的中位数为． 【小问2详解】 甲学校人民满意度的方差：， 乙学校人民满意度的方差：． 17. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，，…，后得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用组中值作代表）． （1）根据频率分布直方图求众数； （2）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 【答案】（1）75 （2）11 【解析】 【分析】（1）先根据频率之和为1，可求出，再由频率最大的一组，得到众数； （2）先由题意确定抽样比，进而可求出在分数段抽取的人数． 【小问1详解】 由题意得，，解得， 根据频率分布直方图可知，分段的频率最高，因此众数为75． 【小问2详解】 因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为， 又分数段共有人， 因此在分数段抽取的人数是人． 18. 某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 阅读本数（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： （1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的的值； （3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数. 【答案】（1）50 （2）11；3 （3）32 【解析】 【分析】（1）根据“一般”档次占比与对应人数即得； （2）根据“良好”档次占比与对应人数建立方程，求解即得的值，再由学生总数求得的值； （3）先算出“优秀”档次占比，再由总人数即可计算估计出“优秀”人数. 【小问1详解】 由统计图表可知：当时，“一般”档次占比，对应的学生数为，故学生总人数为人； 【小问2详解】 由统计图表可知：当时，“良好”档次占比，即，解得， 又总人数为人，故，即，； 【小问3详解】 由统计图表可知：“优秀”档次占比为， 故该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数约为人. 19. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）估计总体400名学生中分数小于70的人数； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数； （3）根据该大学规定，把百分之15的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考. 【答案】（1）160 （2）20 （3）55分 【解析】 【分析】（1）根据直方图先求分数不小于70的频率，然后得到分数小于70的频率，然后可得； （2）先计算分数不小于50的频率，结合已知再求分数在区间[40，50）内的人数，然后可得频率，再由频率估算可得； （3）根据百分位数的概念可得. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10＝0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4. 所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160. 【小问2详解】 根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9， 分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×＝20. 【小问3详解】 设分数的第15百分位数为x，由（2）可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50，60），则0.1＋（x－50）×0.01＝0.15， 解得x＝55，所以本次考试的及格分数线为55分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校 2024—2025学年度第二学期高一年级阶段性测评（一） 数学试卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 总体是200 B. 个体是40名学生 C. 样本是40名学生 D. 样本容量是40 2. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的第20百分位数是（ ） A. B. 4 C. D. 5 3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件． A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 4. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 5. 一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ） A. 225 B. 295 C. 235 D. 305 6. 用同比例分层抽样的方法对某品牌暖风机同一批次的甲、乙两种型号的产品进行抽样调查，已知样本量为80，其中有50件甲型号产品．若乙型号产品的总数为2100，则该批次产品的总数为（ ） A. 5460 B. 3500 C. 3350 D. 5600 7. 某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400棵，统计这400棵树苗的高度（单位：），将所得数据分成7组：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约是（　　） A. 1680 B. 1760 C. 1840 D. 1920 8. 已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 10. 如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为______. 13. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n=____，频率为的乙组的频数x=____. 14. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设是平面上的任意四点，试化简： （1）； （2）； （3）． 16. 某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评满意度最高分分，最低分分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低去年测评的结果单位：分如下 甲校：，，，，，，， 乙校：，，，，，，， （1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数 （2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差 17. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，，…，后得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用组中值作代表）． （1）根据频率分布直方图求众数； （2）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 18. 某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 阅读本数（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： （1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的的值； （3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数. 19. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）估计总体400名学生中分数小于70的人数； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数； （3）根据该大学规定，把百分之15的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $