精品解析：江西省南康中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

南康中学2024级高一年级开学考试数学学科试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，结合选项，根据实数的性质，即可得到答案. 【详解】由，根据实数的性质，可得，所以最小的数为. 故选：D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：C 3. 如图，是的外接圆，，点在上（点不与点，重合），则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，结合等弦所对的圆周角与圆心角的关系求，再结合关系，及内角和公式求的范围，由此可得结论. 【详解】连接，， 因为， 所以， 又， 因为点不与点，重合， 所以，， 所以， 所以，故， 故选：B. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义运算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：A 5. 命题“R，”的否定是（ ） A. R， B. R， C. R， D. R， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案. 【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“R，”的否定是R，. 故选：C. 6. 已知，，，则的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 7. 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 8. 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是支 B. 平均数是支 C. 众数是支 D. 方差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中位数定义求中位数判断A，根据平均数定义求平均数判断B，根据众数定义确定众数判断C，根据方差定义求方差判断D. 【详解】将20名学生本学期的用笔数量从小到大排列可得 ， 排在第位的数为，排在第位的数为， 所以这名学生本学期的用笔数量的中位数为，A正确； 这名学生本学期的用笔数量的平均数为，B错误， 这名学生本学期的用笔数量的众数为，C正确； 这名学生本学期的用笔数量的方差为 ，D正确； 故选：ACD. 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件； D. 命题“”的是真命题. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据交集、并集的定义判断A，B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，利用特例判断D； 【详解】解：对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，则且，所以，故B正确； 对于C：由，即，所以或或或，故充分性不成立，由可以得到，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：当时，，故D错误； 故选：ABC 11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为1，最小值为0 D. 是R上的增函数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据高斯函数的定义直接计算即可；对于B，根据高斯函数的定义分析判断；对于C，由选项B可知是周期为1的周期函数，再分析在上的解析式，即可判断；对于D，利用特殊值即可判断. 【详解】对于A，由题意得，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数， 则当时，， 当时，， 当时，， 综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，所以C错误； 对于D，，而， 所以，所以在R上不是增函数，所以D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =________． 【答案】 【解析】 【分析】由幂指数的运算及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】， 故答案为：. 13. 若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 14. 设集合，，，则集合的真子集个数为________. 【答案】7 【解析】 【分析】先求出集合C，再根据元素个数即可求出真子集个数. 【详解】，， 有3个元素， 集合的真子集个数为个. 故答案为：7. 【点睛】本题考查集合子集个数的求解，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）利用集合的运算，即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，则或， 又由（1）知，则. 16. 为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题： 分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b （1）本次抽样调查的样本容量为_______，此样本中成绩的中位数落在_______范围内．表中_______，_______； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校共有初中生3000名，若成绩超过80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人． 【答案】（1）50，，， （2）频率直方图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率、频数，中位数的概念即可求解； （2）由表格数据即可求解； （3）由频率分布直方图确定频率即可求解； 【小问1详解】 学生总数是：（人），（人），； ∴本次抽样调查的样本容量为50，成绩的中位数落在范围内，（人），； 【小问2详解】 根据（1）得出的a的值，补图如下： 【小问3详解】 （人）． 该校汉字听写能力为优秀的约有人． 17. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合． （1）求，； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】⑴根据已知条件求函数的定义域为集合，函数 的值域为集合 ⑵先求出的结果，由题意可知，然后求出结果 【详解】(1) 由得，解得， 所以， ， 又，，． (2)由(1)知 ，即 所以实数的取值范围为 【点睛】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，在解题过程中注意条件的转化，由题意可转化为，然后运用子集求出结果． 18. “必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． （1）一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； （2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； （3）已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 【答案】（1）“智勇点”为：，“忠诚点”为： （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义求解即可； （2）由题设易得，，，进而求得的值，即可求解； （3）由题设易得，，进而得到二次函数解析式，再结合对称轴分类讨论求解即可. 【小问1详解】 ∵一次函数是一个“智勇忠诚函数”， ∴根据定义得：得，由得， ∴一次函数图象上的“智勇点”为：，“忠诚点”为：. 【小问2详解】 ∵二次函数图象可以由二次函数平移得到， ∴， ∵二次函数的顶点就是一个“智勇点”，∴， ∴二次函数解析可变为， ∵二次函数图象经过一个“忠诚点”， ∴，∴， ∴P点坐标为， ∴将代入， 得，∴， ∴二次函数解析为或. 【小问3详解】 ∵经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”， ∴直线l上的点横纵坐标相等， ∵二次函数（c，d为常数，c≠0）的顶点为M，与y轴的交点为N， ∴，N点坐标为原点，M，N为“智勇点”， ∴二次函数解析式可变为， 二次函数的图象经过“智勇点”M，N， ∴将代入， ∴，∴（舍去）， ∴二次函数解析式可变为，对称轴为直线， 当时，时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴； 当时，在时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴，∴. 综上所述，或． 19. 已知函数 （1）求的值； （2）请在答题卡给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象直接写出函数的定义域、值域、单调递增区间、单调递减区间； （3）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，的图象与的图象相同，试求出函数在上的解析式. 【答案】（1） （2） 定义域为，值域为，单调递增区间为，单调递减区间为，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，代入准确运算，即可求解； （2）作出函数的图象，结合函数的图象，写出函数的性质； （3）根据题意，结合函数的奇偶性，求得上的解析式，再由，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，所以. 【小问2详解】 解：由题意，作出函数的图象，如图所示： 可得函数的定义域为，值域为 ， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为，，. 【小问3详解】 解：由题意，当时， ， 当时，则，所以， 因为是上的奇函数，则， 又因为，令，可得， 综上，函数的解析式为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康中学2024级高一年级开学考试数学学科试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. －2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的外接圆，，点在上（点不与点，重合），则可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题“R，”的否定是（ ） A. R， B. R， C. R， D. R， 6. 已知，，，则的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 6 D. 7. 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是支 B. 平均数是支 C. 众数是支 D. 方差是 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件； D. 命题“”的是真命题. 11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为1，最小值为0 D. 是R上的增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =________． 13. 若，则的值是________． 14. 设集合，，，则集合的真子集个数为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 集合，. （1）求； （2）求. 16. 为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题： 分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b （1）本次抽样调查的样本容量为_______，此样本中成绩的中位数落在_______范围内．表中_______，_______； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校共有初中生3000名，若成绩超过80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人． 17. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合． （1）求，； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 18. “必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． （1）一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； （2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； （3）已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 19. 已知函数 （1）求的值； （2）请在答题卡给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象直接写出函数的定义域、值域、单调递增区间、单调递减区间； （3）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，的图象与的图象相同，试求出函数在上的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $