27.3位似复习讲义-2024-2025学年人教版数学九年级下册

27.3位似复习讲义-2024-2025学年数学九年级下册人教版 知识小总结 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 跟踪小练习 一、单选题 1．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将扩大为原来的4倍，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4．利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，以点为位似中心，设计“”中字母“”美术字的一种方法．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为，若，则的长度为（   ） A．6 B．12 C．18 D．20 6．如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 8．如图，和位似，位似比为，位似中心是原点O，B点坐标是，则点D的坐标为 ． 9．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为 ． 10．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为，则的面积是 ． 11．如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则 ． 12．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则与的相似比为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点O为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为2:1； (2)在（1）的条件下， ①写出，，的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出； (3)直接写出的面积与四边形的面积之比为：___________． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴的右侧将各边放大为原来的两倍得到． (1)画出； (2)分别写出、、三点的对应点、、的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请在网格中画出； (3)已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为______． 18．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于y轴对称的（点，，分别与点A，B，C对应）； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个（点，，分别与点A，B，C对应），使它与的位似比为，并写出点的坐标． 19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标． (2)以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《27.3位似复习讲义-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B D A B D A 1．A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合，通过计算即可得到答案． 【详解】∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 3．D 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，以原点O为位似中心，将扩大为原来的4倍， ∴， ∴点A的对应点的坐标在第一象限时，即点A的对应点的坐标是 ∴点A的对应点的坐标在第三象限时，即点A的对应点的坐标是， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定是相似图形，利用相似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，前后两个位置的图形相似， ∴； 故选：A． 5．B 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ， ， ， ， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点O为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 故选：D 7．A 【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质，熟练掌握位似图形的对应边成比例相等是解题的关键．利用位似图形得出，再结合，，得出，即可求解． 【详解】解：∵和是位似图形，位似中心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 8． 【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出对应点坐标． 【详解】解：∵和位似，位似中心是原点O，和的相似比为，B点坐标是， ∴点D的坐标为：即． 故答案为：． 9．2 【分析】本题考查了相似三角形的性质，位似三角形的性质，解题关键是“相似三角形周长之比等相似比”． 由与位似可得出与相似，又已知位似比，相似比就等于位似比就等于相似三角形周长比． 【详解】解：与位似， ， ， ， 的周长为4， 的周长为2． 故答案为：2． 10． 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵和位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 11．/ 【分析】本题考查了利用位似图形点的坐标求相似比，利用位似是特殊的相似，求出相似比是，进而即可解答． 【详解】解：∵，点O是位似中心，点A的坐标为，点的坐标为，且， ∴和的位似比为，则和的相似比为， ∴． 故答案为：． 12．/2 【分析】本题主要考查了位似变换、勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式并代入数值，进行计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的相似比． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解． 【详解】解：∵在第二象限内，将矩形以原点O为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形与矩形是位似图形，点B与点是对应点， ∵，，点B的坐标为， ∴点的坐标为， ∵将矩形以原点O为位似中心放大倍，得到矩形， ∴，即， ， ∴， ∴矩形的对角线交点的坐标为， ∴矩形的对角线交点的纵坐标为， 故答案为：． 14．(1) (2)①点，，；②点 【解析】略 15．(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了网格平移作图，位似图形作图，位似图形的性质，相似三角形的性质； （1）按平移的要求作图，即可求解； （2）按位似图形的作法作图，即可求解； （3）由位似图形的性质得，，由相似三角形的性质即可求解； 能熟练在网格中平移作图及作位似图形，并能由位似图形的性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：由（2）得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了作图—位似变换．熟练掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键． （1）由以原点为位似中心，在y轴的右侧将放大为原来的两倍得到，根据位似的性质，可求得点，，的坐标，继而画出； （2）由（1）即可求得，，两点的对应点，，的坐标． 【详解】（1）解：∵以原点为位似中心，在轴的右侧将放大为原来的两倍得到′， ∴，，； 如图，即为所作图形 （2）解：由（1）得：，，． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-位似变换、轴对称变换、一次函数解析式与坐标轴的交点问题． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）先根据两点之间线段最短可知连接与轴交点即为点，利用待定系数法求一次函数解析式，再令，即可求解点M坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如上图，即为所作； （3）解：连接与轴交点即为点， ∵点关于y轴对称， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时点M即为所求， 由位似性质可得：， ∴设经过点C与的一次函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴经过点C与的一次函数解析式为， 当， ∴， 故答案为：． 18．(1)图见详解 (2)图见详解， 【分析】本题考查了轴对称作图、位似图形作图等，会作轴对称和位似图形是解题的关键． （1）按要求作出轴对称图形，即可求解； （2）按位似图形的定义作图，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作， ． 19．(1)如图所示，； (2)如图所示，． 【分析】本题考查了旋转作图和位似作图，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据旋转的性质确定点，的位置，然后连线，再写出点的坐标； （2）先根据位似的性质确定点，，的位置，然后连线，再写出点的坐标； 【详解】（1）解：如图，即为所求，， （2）解：如图，即为所求，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$