精品解析：江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二下学期月考（一）（3月）数学试题

南昌二中2024-2025学年度下学期高二数学月考（一） 命题人：胡文敏 审题人：刘三红 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 若实数数列：，，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 公比不为的等比数列中，若，则不可能为 A B. C. D. 3. 已知，证明不等式时，比多的项数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　 ） A B. C. D. 5. 已知数列满足＝1，且，则等于( ) A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则的前20项和（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是等差数列，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 在等比数列中，，若函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记数列前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列前项和为 D. 数列的前2025项的和为 10. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. （） C. D. 数列的前100项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若，则___________． 13. 已知数列满足，（），，则数列的前项和__________． 14. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 下图为函数及其在点P处切线的图象， （1）求切线方程； （2）求． 16. 已知数列前n项和为，，． （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，，. （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值. 18. 已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. （1）求的离心率； （2）一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 19. 已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. （3）设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌二中2024-2025学年度下学期高二数学月考（一） 命题人：胡文敏 审题人：刘三红 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 若实数数列：，，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列求出公差，求出，，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】解：由数列：，，7成等差数列得，，∴， 从而，，则曲线方程：， ∴， ∴， ∴. 故选：D 2. 公比不为的等比数列中，若，则不可能为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到，且，即可求解，得到答案． 【详解】由，根据等比数列的性质，可得，且， 所以可能值为或或， 所以不可能的是6，故选B． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中熟记等比数列的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 3. 已知，证明不等式时，比多的项数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出和进行比较可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以比多的项数是. 故选：B. 4. 下列运算正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的求导法则逐一验算即可. 【详解】对于A，因为，所以A错误； 对于B，因为，所以B错误； 对于C，因为，所以C错误； 对于D，因为，所以D正确． 故选：D. 5. 已知数列满足＝1，且，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件构造等差数列即可﹒ 【详解】∵， ∴ ∴数列{}是以为公差，1为首项的等差数列， ∴＝8， ． 故选：A﹒ 6. 已知数列满足，则的前20项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察可得，，，，再利用分组求和，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】 . 故选：D. 7. 已知数列是等差数列，且，则的最大值为（ ） A B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设数列的公差为d，结合题设易得，进而结合求解即可. 【详解】设数列的公差为d，由，得， 整理得， 把该式看作关于d的一元二次方程， 则，解得． 故选：A． 8. 在等比数列中，，若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设,则，可得，而，利用等比数列的项的性质即可求得. 【详解】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且，， 于是， 故， 所以，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据前项和求，利用通项公式判断A，求出判断B，利用裂项相消法求和判断C，利用分组求和判断D. 【详解】数列的前项和， 当时，， 而满足上式，因此. 对于A，，A正确； 对于B，，， 则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，， 数列的前项和为，C正确； 对于D，， 则数列的前2025项的和为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC 11. 如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. （） C. D. 数列的前100项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求得，，， 即可得解； 对于B，由每层球数变化规律可知（）即可得解； 对于C，根据 B选项利用累加法可得（），由利用累积法即可得解； 对于D，由，分组累加即可得解. 【详解】对于A，，，，，A正确． 对于B，由每层球数变化规律可知（），B错误． 对于C，当时，， 当时，满足，（）． ， ，C正确． 对于D，，则其前100项和为，D正确． 故选:ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列前n项和为，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前n项和计算得解. 【详解】等差数列中，， 由，得，所以. 故答案为： 13. 已知数列满足，（），，则数列的前项和__________． 【答案】 【解析】 【分析】对已知式子取倒数可得数列为等差数列，求得通项，利用裂项相消法求和即可求得答案. 【详解】由题设可得，即，则数列是首项为1，公差为2的等差数列，故，即， 所以， 故答案为：． 14. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 【答案】和 【解析】 【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 故答案为：和 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 下图为函数及其在点P处切线的图象， （1）求切线方程； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线过点、可得答案； （2）求出、可得答案． 【小问1详解】 由题意得，直线过点、， 所以切线方程为， 即； 【小问2详解】 因为切线的斜率为， 所以，又， 所以． 16. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意及，整理可得，即可得证； (2)根据(1)中可求出分类讨论求出的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得. 【小问1详解】 因为，又， 所以，整理得． 由题意得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故， 即． 【小问2详解】 由（1）可， 当时，， 当时，， 所以， . 当，代入满足公式， 综上， 17. 如图，四棱锥底面为菱形，，. （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判断定理可证平面PDE，继而得到，又即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间面面角的向量表达式进行计算即可. 【小问1详解】 证明：设BC中点为E，连接BD，DE，PE， 底面ABCD为菱形，且， 为等边三角形，故， ，， 又，，平面PDE， 平面PDE， 又平面PDE ，又， ； 【小问2详解】 过P作于点F， 由（1）得平面PDE，， 又，DE，平面BCD， 平面BCD， 由，，得，， 又，， ， ，以DA，DE分别为x轴，y轴，过D作z轴， 建立如图空间直角坐标系， 故，， ，，，… 设平面APD的一个法向量， 则，即，令， 则， 设平面CPD的一个法向量为 则，即， 令,则 则， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. （1）求的离心率； （2）一组平行于直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）可利用待定系数法或定义法来求各参数，从而可得离心率； （2）可用直线与双曲线联立方程组结合韦达定理来求解，也可以用点差法来求解. 【小问1详解】 解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. 【小问2详解】 解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 19. 已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. （3）设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出公差公比，由已知建立方程组，再由等差、等比通项公式求解即可； （2）通过错位相减法和裂项相消法求和即可； （3）通过裂项相消求和，再参变分离求最值即可求解. 【小问1详解】 设的公差为d，的公比为q．则，∴ ∴； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 令， ， 两式相减可得：， 所以， 令 ， 所以， 【小问3详解】 ， 所以， 由恒成立可得： 恒成立， 即求当时的最小值， 对于，显然当递增，当时取最小15， 令，则， 显然当时，， 即当时取最大为， 所以的最小值为11， 所以， 所以实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$