冲刺2025年中考数学之二次函数45°角存在性

冲刺2025年中考之二次函数45°角存在性 思路：①作垂直，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”求出点坐标进而求出直线解析式，联立直线解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标； ②构造相似三角形，利用相似求解； ③直接用夹角公式求解，和的夹角为a 例1、如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P在抛物线上，求当∠CBP＝45°时点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当BP在BC下方时，过点C作CD⊥BC交PB于点D，过C点作EF∥x轴，过B点作BE⊥EF交于E点，过D点作DF⊥EF交于F点，证明△BCE≌△CDF（AAS），可求D（﹣3，2），直线BD与抛物线的交点即为P点；当BP在BC上方时，过C点作CM⊥BP交于M点，过M点作MK⊥y轴交于K点，同理可得△CMK≌△BCO（AAS），求出M（3，4），直线BM与抛物线的交点为P点． 【解答】解：（1）将A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图1，当BP在BC下方时，过点C作CD⊥BC交PB于点D，过C点作EF∥x轴，过B点作BE⊥EF交于E点，过D点作DF⊥EF交于F点， ∵∠CBD＝45°， ∴CD＝CB， ∵∠DCF+∠BCE＝90°，∠DCF+∠FDC＝90°， ∴∠BCE＝∠FDC， ∴△BCE≌△CDF（AAS）， ∴CE＝DF，BE＝CF， 当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解x＝1或x＝﹣3， ∴B（1，0）， ∴DF＝CE＝1，BE＝CF＝3， ∴D（﹣3，2）， 设直线BD的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为yx， 当xx2﹣2x+3时，解得x＝1或x， ∴P（，）； 如图2，当BP在BC上方时，过C点作CM⊥BP交于M点，过M点作MK⊥y轴交于K点， ∵∠CBM＝45°， ∴CM＝BC， 同理可得△CMK≌△BCO（AAS）， ∴MK＝CO＝3，CK＝OB＝1， ∴M（3，4）， ∴直线BM的解析式为y＝2x﹣2， 当2x﹣2＝﹣x2﹣2x+3时，解得x＝1或x＝﹣5， ∴P（﹣5，﹣12）（舍）； 综上所述：P点坐标为（，）． 例2、如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且通过点B（3，﹣3）． （1）求顶点A的坐标； （2）点C为直线AB上方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值； （3）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB＝45°，求点P坐标． 【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式，求得m的值；然后将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到答案； （2）根据题意求得直线AB的解析式，故设设C（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣2n+3），由三角形的面积公式得到S△ABC（﹣n2+4n﹣3）（n﹣1+3﹣n）＝﹣（n﹣2）2+7，根据二次函数最值的求法得到答案； （3）根据全等三角形的判定与性质，可得QH，BH的长，可得Q点坐标，根据待定系数法，可得直线AP的解析式，根据解方程组，可得P点坐标． 【解答】解：（1）把B（3，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+m2得：﹣3＝﹣32+3m+m2， 解得m＝2， ∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， ∴顶点A的坐标是（1，1）； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（1，1）和B（3，﹣3）代入得，， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3， 故设C（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣2n+3）， ∴CQ＝﹣n2+2n﹣（﹣2n+3）＝﹣n2+4n﹣3， ∴S△ABC（﹣n2+4n﹣3）（n﹣1+3﹣n）＝﹣（n﹣2）2+1， 当n＝2时，S△ABC的最大值为1； （3）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴， 分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H， ∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°， ∴∠ABG＝∠BQH． ∵∠PAB＝45°， ∴BA＝BQ． 在△ABG和△BQH中， ， ∴△ABG≌△BQH（AAS）， ∴AG＝BH＝3﹣1＝2，BG＝QH＝1﹣（﹣3）＝4， ∴Q（﹣1，﹣5）， ∴直线AP的解析式为y＝3x﹣2， 联立抛物线与AP，得﹣x2+2x＝3x﹣2， ∴x1＝1（不符合题意的解要舍去），x2＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣8）． 例3、抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标； （3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+4关于y轴对称，AB＝4，得A（﹣2，0），B（2，0），用待定系数法即得抛物线的解析式是y＝﹣x2+4； （2）当AM在AP上方时，过P作PH⊥AP交直线AM于H，作直线BP，过H作HD⊥BP于D，根据∠MAP＝45°，PH⊥AP，可推得△ABP≌△PDH（AAS），得到H（1，5），设直线AH为y＝kx+b，待定系数法得直线AH为yx，从而解得M（，）；当AM在AP下方时，过P作PE⊥AP交直线AM于E，过P作KG∥x轴，过A作AK⊥KG于K，过E作EG⊥KG于G，同理可得M（，）； （3）由平移后顶点在直线y＝x+4上，设平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+t+4，把A（﹣2，0）代入得：0＝﹣（﹣2﹣t）2+t+4，解得t＝0或t＝﹣3，结合函数图象可得﹣3≤t＜0， 把P（2，1）代入得：1＝﹣（2﹣t）2+t+4，解得t或t，结合函数图象可得：t． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4关于y轴对称，AB＝4， ∴A（﹣2，0），B（2，0）， 把A（﹣2，0）代入y＝ax2+4得：0＝4a+4， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+4； （2）当AM在AP上方时，过P作PH⊥AP交直线AM于H，作直线BP，过H作HD⊥BP于D，如图： ∵∠MAP＝45°，PH⊥AP， ∴△APH是等腰直角三角形， ∴AP＝HP，∠APB＝90°﹣∠HPD＝∠PHD， ∵B（2，0），P（2，1）， ∴∠ABP＝90°＝∠HDP， ∴△ABP≌△PDH（AAS）， ∴AB＝PD，PB＝DH， ∵A（﹣2，0），B（2，0），P（2，1）， ∴PD＝AB＝4，DH＝BP＝1， ∴H（1，5）， 设直线AH为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AH为yx， 由xx2+4得：x1＝﹣2（点A横坐标，舍去），x2， 当x时，y＝﹣x2+4＝﹣（）2+4， ∴M（，）； 当AM在AP下方时，过P作PE⊥AP交直线AM于E，过P作KG∥x轴，过A作AK⊥KG于K，过E作EG⊥KG于G，如图： 同理可得△AKP≌△PGE， ∴PG＝AK＝1，GE＝KP＝4， ∴E（3，﹣3）， 设直线AE为y＝k'x+b'，将A（﹣2，0），E（3，﹣3）代入得： ，解得， ∴直线AE为yx， 由xx2+4得x＝﹣2（舍去）或x， ∴M（，）； 综上所述，点M的坐标为（，）或（，）； （3）∵平移后顶点在直线y＝x+4上， ∴设平移后的抛物线顶点为（t，t+4），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+t+4， 把A（﹣2，0）代入得：0＝﹣（﹣2﹣t）2+t+4，解得t＝0或t＝﹣3，如图： 结合函数图象可得﹣3≤t＜0， 把P（2，1）代入得：1＝﹣（2﹣t）2+t+4，解得t或t，如图： 结合函数图象可得：t， 综上所述，抛物线顶点横坐标t的取值范围为﹣3≤t＜0或t． 模考题专练 （2023年济阳一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标； （2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且，求点P的坐标； （3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数的解析式，即可得到A、B两点的坐标； （2）确定， 点P在上，过点P作于点E，设，则，根据，得到，求出，得到，列得方程，求出m，利用勾股定理求出即可； （3）连接，过点C作于点M，过点A作于点N，证明，，得到，进而求出，当A、C、M三点共线，且三点连线垂直时，最小，根据，求出，最小值即为，则问题得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过原点，即过点， 则代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点B的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且过原点， ∴抛物线与x轴的另一交点A的坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，， ∴点P在上， 如图，过点P作于点E， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 连接，过点C作于点M，过点A作于点N， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∴，即， ∴， ∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直时，最小， ∴最小值为，如图所示， ∵， ∴， ∴最小值， 即． （2023年天桥二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线的解析式； 若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； 在的条件下，点是轴正半轴上的一个动点，连接，过做交轴与，是的中点，求的最小值． 【答案】解：将点，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， ， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点坐标为， 设直线的解析式为为常数， 代入点，点， 得， 解得， 直线解析式为， 设点坐标为， 则，， 点坐标为， 点在线段上， ， 解得， ， 点坐标为； 由可知，点坐标为， ， 是直角三角形， 是的中点， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 作线段的垂直平分线，直线与直线交于点，直线与轴交于点， 则坐标为， 当时，取得最小值，如图所示： 设直线的解析式为， 代入点， 得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 代入点， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ， ：：， ，， ∽， ：：：， ， ， 的最小值为．  （2024章丘一模）25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE． （1）求抛物线的解析式； （2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度； （3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0）， ∴， 解得：． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3． （2）令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）． 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：． ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． ∵点D为线段BC上一点， ∴设D（m，m﹣3），则点E（m，﹣m2+4m﹣3）， ∴DE＝（﹣m2+4m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m． ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3． ∴∠OBC＝∠OCB＝45°． ∵DE∥y轴， ∴∠EDB＝∠OCB＝45°， ∴点D不可能是直角的顶点． ①当点B为直角的顶点时，设DE交x轴于点F， ∵∠BDE＝45°，∠EBD＝90°， ∴∠DEB＝45°． ∴△BED为等腰直角三角形． ∴EF＝FD＝DE． ∵DF＝3﹣m． ∴3﹣m＝（﹣m2+3m）． 解得：m＝2或3（m＝3不合题意，舍去）． ∴m＝2． ∴DE＝﹣22+3×2＝﹣4+6＝2． ②当点E为直角顶点时，此时边EB在x轴上，点E与点A重合， ∴m＝1． ∴DE＝﹣12+3×1＝﹣1+3＝2． 综上，当△BDE为直角三角形时，线段DE的长度为2． （3）在抛物线上存在点P，使得∠ACP＝45°，理由： ∵A（1，0）， ∴OA＝1． ∴ABOB﹣OA＝2． ∴AC＝＝． 延长CP交x轴于点F，如图， 由（2）知：∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠AFC+∠FCB＝45°． ∵∠ACP＝45°， ∴∠ACB+∠FCB＝∠ACP＝45°． ∴∠AFC＝∠ACB． ∵∠FAC＝∠CAB， ∴△AFC∽△ACB． ∴． ∴． ∴AF＝5． ∴OF＝OA+AF＝6， ∴F（6，0）． 设直线CF的解析式为y＝dx+e， ∴， 解得：． ∴直线FC的解析式为y＝x﹣3． ∴， 解得：，． ∴点P的坐标为（，﹣）． （2024槐荫二模）25. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的最大值． （3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）根据求出点C的坐标，再把点A，C坐标代入，求出a，c的值即可； （2）求出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值； （3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程的解即可得出点P的横坐标． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 把代入，得：，解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 如图1，过点作于点， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ， 最大值为． 【小问3详解】 存在点使得，此时点的横坐标为1或． 理由如下： 如图2，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 轴， ， ， ， ，， 同理可得，， ， 在中，， 在对称轴上，则， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ，解得，， 存在点使得，此时点的横坐标为1或． （2024市中二模）25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）①请用含m代数式表示线段的长______； ②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； （3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值． 【小问1详解】 抛物线经过两点， 将代入抛物线得， ，解得 抛物线的函数关系式为， 令，得到 解得（舍），，则B点坐标为； 【小问2详解】 ①设直线的解析式为， 由点的坐标得，解得 直线的表达式为：， 设点 则点 则， 而 则 因为， 则 ， 则 ， 故答案为：； ②存在． 如图，过点C作，交直线于D， ， 四边形是矩形， ， ， ， 当时， 则， ， 由①知，， ， 化简得， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ． 【小问3详解】 或． 点的坐标分别为， 解析式 则 ①当时，如图1， 图1 则， ， ， 由勾股定理得， ， 解得或（舍去）， ②当时，如图2， 图2 ， ， 由勾股定理得， 即 （，放舍去） ③当时，点Q在的垂直平分线上， ， ∴点B在的垂直平分线上， ∴点Q和点B重合，不符合题意， 这种情况不存在． 综上，为等腰三角时，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冲刺2025年中考之二次函数45°角存在性 思路：①作垂直，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”求出点坐标进而求出直线解析式，联立直线解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标； ②构造相似三角形，利用相似求解； ③直接用夹角公式求解，和的夹角为a 例1、如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P在抛物线上，求当∠CBP＝45°时点P的坐标． 例2、如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且通过点B（3，﹣3）． （1）求顶点A的坐标； （2）点C为直线AB上方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值； （3）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB＝45°，求点P坐标． 例3、抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标； （3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围． 模考题专练 （2023年济阳一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标； （2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且，求点P的坐标； （3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值． （2023年天桥二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线的解析式； 若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； 在的条件下，点是轴正半轴上的一个动点，连接，过做交轴与，是的中点，求的最小值． （2024章丘一模）25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE． （1）求抛物线的解析式； （2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度； （3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2024槐荫二模）25. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的最大值． （3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． （2024市中二模）25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）①请用含m代数式表示线段的长______； ②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； （3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$