精品解析：湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度上学期武汉市重点中学5G联合体期末考试 高二数学试卷 考试时间：2025年1月17日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 在四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 3. “两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 阿基米德不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A B. C. D. 5. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为 11. 在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（ ） A. 若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 C. 若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则 D. 三棱锥外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知数列满足，且．若是数列的前项积，当取最大值时，__________． 14. 已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知． （1）求并写出的表达式； （2）记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值． 16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线交点为M、N，求线段MN的长． 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，， ，点为中点，． （1）求证：平面； （2）已知点为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值； （3）求证：． 19. 已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于． （1）分别判断数集与是否具有性质 （2）证明：，且 （3）当时，若，若数集具有性质，求数集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期武汉市重点中学5G联合体期末考试 高二数学试卷 考试时间：2025年1月17日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 2. 在四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算法则求解 【详解】连接,, 由已知得 ， 故选：D 3. “两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项和向量共的坐标表示，结合条件及充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若向量与共线，则有，当， 显然有与共线，此时，，不是等比数列， 即“两个向量与共线”推不出“，，成等比数列”， 若，，成等比数列，则有，此时两个向量与共线， 即“，，成等比数列”可以推出“两个向量与共线”， 所以“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 5. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，求平面的法向量，再求向量在法向量上的投影向量的大小即可得结论. 【详解】设平面的法向量为， 则，又，， 所以， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以向量在法向量上的投影向量的大小为， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 6. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以 故选：C. 7. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 8. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数以及二倍角公式可得，进而根据数量积的定义得，换元，即可求解，进而根据图形关系,结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以，故舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知， 且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的首项和公差，列方程即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 依题意， 解得, 所以, 对于A，由上面可知，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 故当时，取得最小值为，故，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 10. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点的坐标，根据抛物线的定义可得可判断C的真假；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将条件转化成坐标代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图， 对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为， 所以，，抛物线，焦点，故A正确； 对于B，根据抛物线的定义，，所以， 当三点共线时等号成立，取得最小值，故B正确； 对于C，记准线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以. 根据抛物线的定义：，，所以，故C错误； 对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即. 代入抛物线得，整理得. 设则， 由，点在第一象限，得.解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（ ） A. 若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 C. 若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则 D. 三棱锥外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可证明平面，点到平面的距离为定值，可判断A正确，将正方体展开再利用勾股定理计算可得B正确，根据平面与平面间夹角的定义可分别计算出各夹角的正弦值，可知C错误，找出三棱锥外接球的球心位置，再根据线面垂直关系以及勾股定理即可计算出外接球的半径，可知D正确. 【详解】对于A，连接交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，直接展开如下图： 此时，其余展开方式均大于，故B正确． 对于C，取的中点，连接，如下图： 则，，所以，所以平面就是平面， 因为平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 因为平面，平面，所以， 所以为二角面的平面角，为二面角的平面角， ，， 所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为， 与前后两个平面所成二面角的正弦值为， 与左右两个平面所成二面角的正弦值为， 所以，故C错误； 对于D，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可证， 由选项A可知，所以，， 因为，平面，所以平面， 设为等边三角形的外心，如下图所示： 则， 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上， 设球心为，连接，过作于， 则，， 设三棱锥外接球的半径为，则， 设，则， 因为， 所以， 解得，，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于确定出三棱锥外接球的球心位置，再根据线面垂直关系以及勾股定理得到等量关系解方程，即可计算出外接球的半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数；再根据诱导公式和特殊角三角函数值即可解答. 【详解】由可得：， 则. 故答案为：. 13. 已知数列满足，且．若是数列的前项积，当取最大值时，__________． 【答案】10或11 【解析】 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以数列为等比数列，公比为， 则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 则或时，取最大值. 故答案为：10或11. 14. 已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】由题设易得，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值，进而得解. 【详解】因为短轴长是长轴长的，故， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，， 则的周长等于， 其中， 则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，得， 又，故， 设，则， 故， 解得，故， 则的周长为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求并写出的表达式； （2）记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数后建立的方程求解，即可求解函数解析式. （2）先根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，再利用导数的几何意义求出的切点坐标，代入的解析式求解即可. 【小问1详解】 由，求导可得 由，解得，则. 【小问2详解】 ，求导可得， 由得，故在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为，化简可得， 令，解得，将其代入切线方程可得， 代入得，所以得，解得. 16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，， ，点为中点，． （1）求证：平面； （2）已知点为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理证明平面，结合已知利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明平面，再根据勾股定理及线面垂直的判定定理证明即可. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据向量法求解两面所成角的余弦值. 【小问1详解】 连接.因为，且，所以， 因为，所以．因为是棱的中点，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以． 由题意可得，则，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以． 因为，所以，所以． 因为平面，且，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，. 从而，，. 设平面法向量为， 则，即，令，得， 因为平面，平面的法向量为. 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角为的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解； （2）设出过点R的切线方程，与椭圆方程联立可得关于x的一元二次方程，由相切知从而得到关于切线斜率的方程，利用韦达定理求解即可； （3）设，可得，联立过点R的切线方程和椭圆方程，由相切知从而得到关于切线斜率的方程，利用韦达定理写出，，将证明转化为证明即可. 【小问1详解】 由题意：． 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 设过点的切线方程为：，即， 由，消去，得：， 整理得：， 由， 整理得， 整理得：，所以. 【小问3详解】 设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则． 设过点的椭圆的切线方程为：，即， 由消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立，即成立. 19. 已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于． （1）分别判断数集与是否具有性质 （2）证明：，且 （3）当时，若，若数集具有性质，求数集． 【答案】（1）数集不具有性质，具有性质. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义直接判断． （2）由已知得与中至少有一个属于，从而得到；再由，得到，3，，．由具有性质可知，2，3，，，由此能证明，且． （3）根据（2），只要证明即可求得集合． 【小问1详解】 由于与均不属于数集，3，， 所以数集，3，不具有性质． 由于，，，，，，，，，都属于数集，2，3，， 所以数集，2，3，具有性质． 【小问2详解】 数集具有性质，则与中至少有以一个属于，由于，所以，所以，从而，即，即 ，所以 由数集具有性质，得 从而 【小问3详解】 由（2）知，当时， 有，，即， ，，， 由具有性质可知． 由，得， 且，， 即，，，， 是首项为1，公比为等比数列， 即有集合，2，4，8，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $