专题02 奇函数+M模型问题-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题02 奇函数+M模型问题 【方法技巧总结】 奇函数+M模型通常指函数，其中f（x）为奇函数．解题时，首先利用奇函数的性质，分析函数图象的对称性．然后，结合M的值，判断函数图象的上下平移情况．对于求值或证明问题，可将用替换，简化表达式．此外，还需注意奇函数在原点处的性质，如，这有助于快速求解某些特殊点的函数值．掌握这些方法和技巧，能有效应对奇函数+M模型的相关问题． 【典型例题】 例1．（2025·高三·河南·期中）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得． 故选：D． 例2．（2025·高一·安徽阜阳·期末）若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【答案】A 【解析】设， 因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称， 又 ， 所以是奇函数， 因为在上有最大值，所以在上有最大值为， 所以在上有最小值，所以在上有最小值． 故选：A． 例3．（2025·高一·辽宁鞍山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， 令，则其定义域为，又， 所以为奇函数，则， 所以，则． 故选：B． 例4．（2025·高三·山东淄博·阶段练习）函数与函数的图象交于不同的两点，．若点满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是一次函数，且函数图象过原点，所以的图象关于原点对称，为奇函数， 函数的定义域为，关于原点对称， ，所以函数为奇函数，函数的图象关于原点对称． 又因为函数与函数的图象交于不同的两点和， 所以和关于原点对称，设，则， 因为，所以，， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当时等号成立． 故选：A． 例5．（2025·高三·河南·阶段练习）已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】，定义域为， 令， 因为，所以函数为奇函数， 设的最大值为，最小值为， 所以， 因为，函数的最大值与最小值之和为， 所以，解得． 故选：B 例6．（2025·高三·全国·专题练习）设函数的最大值为a，最小值为b，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】∵， 设，则，即，所以为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称， ∴， 从而， 故选：D． 例7．（2025·高三·全国·专题练习）设函数，（为常数），曲线和恒有交点时，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，令，即，令， 因为，所以是奇函数， 所以，故． 故选：B． 例8．（2025·高三·广东清远·开学考试）已知函数，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】由，其定义域为R， 又， 所以，则． 故选：D 例9．（2025·高三·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【答案】4048 【解析】令，得，令，则， 所以，令， 所以，为奇函数，． 令， 则， 即为奇函数，所以． 而， 所以． 故答案为：4048 例10．（2025·高一·天津和平·期末）已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 ． 【答案】 【解析】因为，， 令，，则， 因为定义域关于原点对称，， 所以是在上的奇函数， 故由奇函数的性质得， 所以， 所以，则． 故答案为：． 例11．（2025·高一·广东汕头·期末）函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 令，定义域为关于原点对称， ∴， ∴为奇函数，∴， ∴， ，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 例12．（2025·高三·西藏拉萨·阶段练习）已知函数，若，则 ． 【答案】 【解析】由，则， 又，故． 故答案为： 例13．（2025·高三·北京·强基计划）设函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由于， 于是函数是一个单调递增的奇函数， 而． 故答案为： 【过关测试】 1．（2025·全国·一模）设函数的最大值为a，最小值为b，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】∵， 函数为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称，∴， 从而， 故选：D． 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】D 【解析】定义域为的函数有最大值和最小值，所以．则，令，则是奇函数，故，故，又，故． 所以． 故选：D 3．（2025·河南·模拟预测）若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（    ） A．有最大值12 B．有最大值6 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【解析】设， 因为，所以的定义域为，关于原点对称， ， 即为奇函数，且， 因为在上有最小值，所以在上有最小值， 由奇函数的对称性知，在上有最大值， 所以在上有最大值， 故选：A 4．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值与最小值之和为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】若将函数图象上所有的点向左平移一个单位得到， 则， 令，， 因为， 所以为奇函数， 则在区间上的最大值和最小值之和为0， 则在区间上的最大值和最小值之和为， 故在区间上的最大值和最小值之和为，则， 解得． 故选：C 5．（2025·高三·全国·专题练习）若存在常数，，使得函数对定义域内的任意值均有，则的图象关于点对称，函数称为“准奇函数”．现有“准奇函数”，对于，则函数的最大值与最小值的和为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】令，则，所以的图象关于点中心对称． 令，则，所以为奇函数． 因为，设在处取得最大值，则在处取得最小值， 所以， 所以的最大值与最小值的和为6． 故选：B． 6．（2025·高三·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， 令， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为， 因为， 所以函数是奇函数， 所以，即，所以． 故选：B． 7．（2025·高三·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（    ） A．4 B．8 C．6 D．12 【答案】B 【解析】，．有， 取，则，故， 取，则，故， 令，则，故为奇函数， ，设， ，故为奇函数，故为奇函数， 故， 则， 故 故函数在上的最大值和最小值的和是8， 故选：B． 8．（2025·全国·模拟预测）设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】B 【解析】由恒成立可知函数的定义域为， 由可知为奇函数， 则． 故选：B 9．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【解析】函数， 设， 因为， 所以， 则在上是奇函数，且最大值与最小值之和为零， 当时，函数的最大值与最小值的和为 ． 故选：B． 10．（2025·高三·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 由复合函数单调性的判断方法，知此函数在上为增函数 又，所以为上的奇函数，故其最大值加最小值为0， 所以． 故选：C 11．（2025·高一·湖南株洲·期末）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【解析】令，则，得； 令，则， 所以；令， 则， 所以为奇函数，故，即， 所以． 故选：B． 12．（2025·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为（    ） A．2 B．e C． D． 【答案】C 【解析】， 令，定义域关于原点对称， 于是，故为奇函数， 所以在区间上的最大值与最小值之和为0， 故函数在区间上的最大值与最小值之和为2． 所以，于是 ，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． 故选：C． 13．（2025·山西临汾·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由，得，令函数， 由，得，令函数， 在函数图象上任取点，该点关于直线对称点， 显然，而， 即点在函数的图象上，因此函数图象与函数的图象关于直线对称， 而点在函数的图象上，点在函数的图象上， 又函数在R上单调递减，函数在R上单调递增，所以的值唯一， 于是点与点关于直线对称，所以． 故选：C 14．（2025·高一·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【解析】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 15．（2025·高三·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【解析】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以． 故答案为：6． 16．（2025·高三·福建莆田·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 【答案】 【解析】因为， 设， 则， 设， 则， 所以是上的奇函数，最大值为，最小值为， 所以， 由，得， 故答案为： 17．（2025·高三·安徽·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 【答案】1 【解析】， 设，则， 记， 因为， 所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：1． 18．（2025·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】 ， 令，， 因为定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0， 则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即． 又，， 所以 ， 当且仅当，，即，，等号成立． 故答案为： 19．（2025·全国·模拟预测）已知定义在R上的增函数满足对任意的，都有，且，函数满足，，且当时．若在上取得最大值的x值依次为，，…，，取得最小值的x值依次为，，…，，则 ． 【答案】2600 【解析】因为， 令，可得， 令，可得， 因为，所以，． 因为，可知的图象关于点对称， 又因为当时，，则在上单调递增，且， 所以在上单调递增，且． 因为，则的图象关于直线对称， 所以在上单调递减，且， 故在上的最大值为4，最小值为0． 由得，则， 所以，得， 故的一个周期为4，且在处取得最小值0，在处取得最大值4， 所以． 故答案为：2600． 20．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 ． 【答案】/ 【解析】已知，， 则，故函数在定义域内为非奇非偶函数， 令， 则， 则在定义域内为奇函数， 设的最大值为，则最小值为，则的最大值为，最小值为， 则，∴， 所以， ∴当时，， ∴关于中心对称， 故答案为： 21．（2025·安徽安庆·三模）若，都有成立，则函数在上的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【解析】依题意，，都有成立， 令，则，所以； 令，，即 令，则的定义域为， 且， 故为上的奇函数， ， 令，则的定义域为， 且，故为上的奇函数， 故为上的奇函数，由奇函数的图象关于原点对称，故在上的最大值与最小值的和为 故为上的最大值与最小值的和为， 故答案为： 22．（2025·高三·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【解析】，， 构造函数，则， 令，可得，，令，则， ，所以，函数为奇函数，即， 所以，，得， 所以，， 则函数的图象关于点对称，则该函数最高点和最低点也会关于这个点对称， 因此，，故答案为． 23．（2025·高一·江苏泰州·阶段练习）已知函数x的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝ ． 【答案】2 【解析】，又为奇函数 ∴的图象关于点对称， ∴最大值对应的点与最小值对应的点也关于点对称 ∴，即 故答案为2 24．（2025·高一·广东湛江·期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值 ． 【答案】 【解析】由题意知，（）， 设，则， 因为，定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以． 故答案为：． 25．（2025·高一·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【解析】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以． 故答案为：4． 26．（2025·高三·全国·专题练习）函数在上的最大值和最小值分别为，则 ． 【答案】2 【解析】， 令，，为奇函数，所以关于对称， 所以关于对称， 所以． 故答案为：2． 27．（2025·高三·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】1 【解析】易知，设，则为奇函数，． 于是，， 由奇函数的图象关于原点对称，得， ∴．因此． 故答案为：． 28．（2025·高一·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4046 【解析】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， 因为，， 所以． 故答案为：4046． 29．（2025·高三·全国·专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ． 【答案】2 【解析】当时，，当或时，， 所以的定义域为． 又， 设，则，∴g（x）为奇函数；设g（x）的最大数值为M，最小值为N， 则，则的最大数值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为，得． 故答案为：2． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 奇函数+M模型问题 【方法技巧总结】 奇函数+M模型通常指函数，其中f（x）为奇函数．解题时，首先利用奇函数的性质，分析函数图象的对称性．然后，结合M的值，判断函数图象的上下平移情况．对于求值或证明问题，可将用替换，简化表达式．此外，还需注意奇函数在原点处的性质，如，这有助于快速求解某些特殊点的函数值．掌握这些方法和技巧，能有效应对奇函数+M模型的相关问题． 【典型例题】 例1．（2025·高三·河南·期中）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 例2．（2025·高一·安徽阜阳·期末）若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 例3．（2025·高一·辽宁鞍山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（2025·高三·山东淄博·阶段练习）函数与函数的图象交于不同的两点，．若点满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例5．（2025·高三·河南·阶段练习）已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例6．（2025·高三·全国·专题练习）设函数的最大值为a，最小值为b，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 例7．（2025·高三·全国·专题练习）设函数，（为常数），曲线和恒有交点时，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例8．（2025·高三·广东清远·开学考试）已知函数，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 例9．（2025·高三·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 例10．（2025·高一·天津和平·期末）已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 ． 例11．（2025·高一·广东汕头·期末）函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是 ． 例12．（2025·高三·西藏拉萨·阶段练习）已知函数，若，则 ． 例13．（2025·高三·北京·强基计划）设函数，且，则 ． 【过关测试】 1．（2025·全国·一模）设函数的最大值为a，最小值为b，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．6 3．（2025·河南·模拟预测）若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（    ） A．有最大值12 B．有最大值6 C．有最小值 D．有最小值 4．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值与最小值之和为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·高三·全国·专题练习）若存在常数，，使得函数对定义域内的任意值均有，则的图象关于点对称，函数称为“准奇函数”．现有“准奇函数”，对于，则函数的最大值与最小值的和为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．（2025·高三·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·高三·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（    ） A．4 B．8 C．6 D．12 8．（2025·全国·模拟预测）设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 9．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（    ） A． B．6 C．2 D． 10．（2025·高三·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·高一·湖南株洲·期末）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 12．（2025·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为（    ） A．2 B．e C． D． 13．（2025·山西临汾·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 14．（2025·高一·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 15．（2025·高三·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 16．（2025·高三·福建莆田·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 17．（2025·高三·安徽·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 18．（2025·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ． 19．（2025·全国·模拟预测）已知定义在R上的增函数满足对任意的，都有，且，函数满足，，且当时．若在上取得最大值的x值依次为，，…，，取得最小值的x值依次为，，…，，则 ． 20．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 ． 21．（2025·安徽安庆·三模）若，都有成立，则函数在上的最大值与最小值的和为 ． 22．（2025·高三·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为 ． 23．（2025·高一·江苏泰州·阶段练习）已知函数x的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝ ． 24．（2025·高一·广东湛江·期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值 ． 25．（2025·高一·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 26．（2025·高三·全国·专题练习）函数在上的最大值和最小值分别为，则 ． 27．（2025·高三·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 ． 28．（2025·高一·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 ． 29．（2025·高三·全国·专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$