精品解析：甘肃省兰州市学府致远学校2024-2025学年高二下学期阶段性测评数学试卷（一）

兰州市学府致远学校 2024—2025学年度第二学期高二年级阶段性测评 数学试卷 (本试卷满分150分，时间120分钟) 一.选择题（共8小题） 1. 某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是 A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.多选题（共3小题） 9. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取得最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 三.填空题（共3小题） 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，则________． 13. 已知函数，则_________. 14. 若函数有极值，则实数的取值范围是 __________ ． 四.解答题（共5小题） 15. 求下列函数的导数 （1）； （2） （3） 16. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 17. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 18. 已知曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的极值. 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数a； （2）若函数有极大值，且极大值不大于0，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校 2024—2025学年度第二学期高二年级阶段性测评 数学试卷 (本试卷满分150分，时间120分钟) 一.选择题（共8小题） 1. 某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为，即可求得答案 【详解】根据空间直角坐标系中点的位置关系可得点关于平面的对称点是 故选 【点睛】本题考查了对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，属于基础题． 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：A 4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小. 【详解】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 6. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接求导转化为在上恒成立，再分离参数即可得到答案. 【详解】由题意得在上恒成立， 则，因为， 则. 故选：C. 8. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故选：C 二.多选题（共3小题） 9. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可得答案. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B不正确； 对于C，因为，所以C正确； 对于D，因为，所以D正确. 故选：CD. 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取得最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确， 函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误. 故选：AD. 11. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】按照“巧值点”的概念依次判断四个选项即可. 【详解】对于A，由得， 即，，∴该方程无解， ∴函数无“巧值点”，故A符合题意； 对于B，由得，解得， ∴函数有“巧值点”－1，故B不符合题意； 对于C，由得无解，∴函数无“巧值点”，故C符合题意； 对于D，由得， 易知函数与的图象在第一象限内有一个交点， ∴方程有一个解，∴函数有“巧值点”，故D不符合题意． 故选：AC． 三.填空题（共3小题） 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间两点距离公式可得答案. 【详解】由题，. 故答案为： 13. 已知函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求导，代入数值，可得答案. 【详解】由，则求导可得， 所以. 故答案为：. 14. 若函数有极值，则实数的取值范围是 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据极值的概念可转化为导数零点问题，根据判别式可得解. 【详解】由， 则， 由函数有极值， 即有变号零点， 所以， 解得或， 故答案为：. 四.解答题（共5小题） 15. 求下列函数的导数 （1）； （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合对数函数求导公式利用复合函数求导法则求解即可； （2）结合指数函数求导公式利用除法求导法则求解即可； （3）结合三角函数求导公式利用导数求导法则求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值. （2）利用切点和斜率求得切线方程. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，， 所以②， 由①②解得：，． 【小问2详解】 由（1）知， 又因为，， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 17. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和；单调递减区间为. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由解得，再将代入导函数验证是否满足题意； （2）由（1）可得函数的单调区间； （3）由（2）可得函数的极值，再和端点处的函数值比较大小，即可得最值. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，. 因为函数在处取得极值，所以， 即，解得. 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 此时，函数在处取得极小值，故满足题意. 因此，. 【小问2详解】 由（1）可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（1）可知，函数在区间上有极大值，极小值. 又，，因为， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 18. 已知曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极大值为2，极小值为1 【解析】 【详解】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义可得，解之即可得解； （2）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 解：， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以， 解得； 解：由（1）得， 则， 当或时，，当时，， 所以函数在和上递增，在上递增， 所以函数的极大值为，极小值为. 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数a； （2）若函数有极大值，且极大值不大于0，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由导数的几何意义结合垂直关系求解即可； （2）利用导数分类讨论分析函数的单调性，由极值求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为，， 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以，解得：. 【小问2详解】 因为. 当时，，所以函数在上单调递减，所以无极值； 当时，令得；令得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为. 因为极大值不大于0，即， 且，可得， 记，，则， 所以在上单调递增. 而，所以由可解得. 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $