2.3.1 两条直线的交点坐标教材例题变式-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.3.1 两条直线的交点坐标 本专题为：教材P70页例1、P71页例2及P72页练习3 教材P70页例1： 例1求下列两条直线的交点坐标,并画出图形: 解：解方程组 得 所以,与的交点是) 变式1：变换数据 1．求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： （1），； （2），． 教材P71页例2 例2、判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标: (1),; (2), (3),. 分析:解直线的方程组成的方程组,若方程组有唯一解,则与相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则;若方程组中的两个方程可化成同一个方程,则与重合. 解：（1）解方程组得 所以,与相交,交点是. (2)解方程组 (1)-(2)得,矛盾,这个方程组无解,所以与无公共点,. (3)解方程组 (1)得. (1)和(2)可以化成同一个方程,即(1)和(2)表示同一条直线,与重合. 变式1：变换数据 1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 2．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 教材P72页练习3 3. 直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程． 【答案】 【分析】经过直线与直线的交点的直线可设为： ，把代入求出，即可得到直线方程. 【详解】经过直线与直线的交点的直线可设为： 把代入，得：，解得：，所以，所求的直线方程为：. 变式1：原点不变，变换直线方程 1．直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线方程为 . 2．已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程． 变式2：与两直线垂直交汇 1．经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，，求经过与的交点且垂直于的直线的方程． 变式2：与两直线平行交汇 1．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．求经过直线的交点，且与直线平行的直线的方程， 变式3：与直线方向向量交汇 1．经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式4：与点线距离公式交汇 1．已知直线l经过两条直线7x+7y﹣24＝0和x﹣y＝0的交点，且原点到直线的距离为，则这条直线的方程是 ． 2．已知直线，，求经过直线与的交点，且与坐标原点距离为1的直线方程。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.3.1 两条直线的交点坐标 本专题为：教材P70页例1、P71页例2及P72页练习3 教材P70页例1： 例1求下列两条直线的交点坐标,并画出图形: 解：解方程组 得 所以,与的交点是) 变式1：变换数据 1．求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： （1），； （2），． 【答案】（1）交点坐标为，图形见解析；（2）交点坐标为，图形见解析. 【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形； （2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形. 【详解】（1）联立，解得，交点为，如下图所示： （2）联立，解得，交点为，如下图所示： 教材P71页例2 例2、判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标: (1),; (2), (3),. 分析:解直线的方程组成的方程组,若方程组有唯一解,则与相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则;若方程组中的两个方程可化成同一个方程,则与重合. 解：（1）解方程组得 所以,与相交,交点是. (2)解方程组 (1)-(2)得,矛盾,这个方程组无解,所以与无公共点,. (3)解方程组 (1)得. (1)和(2)可以化成同一个方程,即(1)和(2)表示同一条直线,与重合. 变式1：变换数据 1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)；(2)相交，交点为；(3)；(4)重合 【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，，所以与相交．，解得，所以交点为. （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，，所以与重合． 2．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为；(2)重合；(3)平行 【分析】分别联立方程组的，解方程组即可判断直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，且交点坐标为． （2）联立直线与的方程得方程组，因为整理得，即方程②可以化为方程①，所以方程组有无数组解，所以与重合． （3）联立直线与的方程得方程组 由得（不成立），可知该方程组无解．所以与无公共点，即． 教材P72页练习3 3. 直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程． 【答案】 【分析】经过直线与直线的交点的直线可设为： ，把代入求出，即可得到直线方程. 【详解】经过直线与直线的交点的直线可设为： 把代入，得：，解得：，所以，所求的直线方程为：. 变式1：原点不变，变换直线方程 1．直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线方程为 . 【答案】 【分析】联立直线求解交点坐标，从而可得直线的斜率，即可得直线方程. 【详解】解：直线与直线的交点满足 ，解得，故交点坐标为 所以直线的斜率，所以直线的方程为，即. 2．已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程． 【答案】． 【分析】利用两直线的交点坐标的求解方法求出交点坐标，再利用两点式方程求解. 【详解】因为方程组的解为，所以两条直线和的交点坐标为，从而由题意知直线l经过点． 又直线l经过原点，所以直线l的方程为，即． 变式2：与两直线垂直交汇 1．经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为.又垂直于直线的直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 2．已知直线，，求经过与的交点且垂直于的直线的方程． 【答案】 【分析】先求两直线的交点，再由垂直求斜率，可求直线方程． 【详解】解：，，即交点坐标，又直线的斜率为，则垂直于的直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 变式2：与两直线平行交汇 1．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点，再根据平行关系求方程即可. 【详解】联立，解得，即交点为，因为直线的斜率为，所以，所求直线的方程为，即．故选：B． 2．求经过直线的交点，且与直线平行的直线的方程， 【答案】 【分析】联立直线方程后可求，利用平行直线系可求直线方程； 【详解】由可得，故，设所求直线为，代入可得，故与已知直线平行的直线方程为. 变式3：与直线方向向量交汇 1．经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出交点，由方向向量可得斜率，然后由点斜式可得方程. 【详解】联立，解得：，即直线的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故该直线方程为：，即，故选：D. 2．已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程. 【详解】联立，解得，即直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即，故选：B． 变式4：与点线距离公式交汇 1．已知直线l经过两条直线7x+7y﹣24＝0和x﹣y＝0的交点，且原点到直线的距离为，则这条直线的方程是 ． 【答案】4x+3y﹣12＝0或3x+4y﹣12＝0 【分析】先联立方程组，求出两直线交点的坐标，点斜式设出直线的方程，据原点到直线的距离为求出直线的斜率，进而得到直线的方程． 【详解】由，得，∴交点为（，），∵原点到直线的距离为，∴这条直线的斜率存在，设为 k，则所求条直线的方程为 yk（x），即 7kx﹣7y+12﹣12k＝0，由，得 k 或  k， 所求条直线的方程为：y（x），或y（x）， 即 4x+3y﹣12＝0，或 3x+4y﹣12＝0． 2．已知直线，，求经过直线与的交点，且与坐标原点距离为1的直线方程。 【答案】或 【解析】联立，解得，即直线与的交点为， 当所求直线的斜率不存在时，所求直线方程为，符合题意， 当所求直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得，所以直线方程为， 综上所述，所求直线方程为或。 学科网（北京）股份有限公司 $$