专题11.2 正弦定理（六个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题11.2 正弦定理 一、正弦定理解三角形 四、三角形的外接圆问题 二、三角形解的个数判断 五、正弦定理边角互化应用 三、三角形的面积公式 六、正弦定理判断三角形形状 知识点1正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 3.三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 知识点2判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 重难点一、正弦定理解三角形 【例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 【例2】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 由， 可得：， 故选：C 【变式1-1】（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，，所以或. 故选：AB. 【变式1-2】在 中， ， ， ，则 . 【答案】 【详解】在 中， ， ， 由正弦定理得，所以，所以得出， 再应用余弦定理得 则 . 故答案为：. 【变式1-3】已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， c = 2 ，则 的值为 【答案】 【详解】由正弦定理可知，，即, 所以 . 故答案为： 若已知两角一边，则解题步骤为：①根据三角形内角和定理求出第三个角；②根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 若已知两边一角，则解题步骤为：①根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况；②先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三个角；③根据正弦定理求第三条边的长度． 重难点二、三角形解的个数判断 【例3】由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【答案】B 【详解】对于A，因为，可得，，， 则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故A错误； 对于B，由于，即，所以三角形有两解，故B正确； 对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误； 对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误. 故选：B. 【例4】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 【变式2-1】在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 【变式2-2】（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【详解】若满足条件的三角形有且只有一个，则或，即或. 故选：BCD. 【变式2-3】已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 【详解】由正弦定理，已知，，可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 因为，当时，，此时. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值（答案不唯一，只要满足的整数均可）. 故答案为：6 （答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 在中，以为例． （1）若或，则三角形有一解；（2）若，则三角形有两解； （3）若，则三角形无解． 重难点三、三角形的面积公式 【例5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：C. 【例6】在中，角所对的边分别为，且的面积，则（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】D 【详解】因为，， 所以，得， 因为， 所以由余弦定理得，， 所以， 所以，所以， 因为，所以. 故选：D 【变式3-1】在中，的对边分别为，且满足，则的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理， 即，， . 故选：C. 【变式3-2】在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，且为三角形的最大角， 所以，则的面积为. 故选：D 【变式3-3】月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为 （精确到整数位）（参考数据：） 【答案】 【详解】设的外接圆的半径为， 则，得， 因为月牙内弧所对的圆心角为， 所以内弧的弧长， 所以弓形的面积为， 以为直径的半圆的面积为， 所以该月牙泉的面积为． 故答案为： 三角形面积公式 重难点四、三角形的外接圆问题 【例7】已知三点均在圆上，为弦的两个三等分点，若，且.，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设弦中点为，利用中线的向量特点: ， 两式相减即得: 同理可以得到: 两个式子结合一下就可以得到，另外， 则有， 则， 由正弦定理可知，， 故选：. 【例8】在中，角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 可设，则， 所以； （2）由（1）知，，，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理，所以, 所以外接圆的半径为； （3）因为，由（1）知，，则， 所以. 【变式4-1】（多选）如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．四边形ABCD的面积为 C．外接圆的周长为 D． 【答案】BC 【详解】由题意可得， 所以，故A错误； 过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F， ， 则四边形的面积为 =，故B正确； 因， 在直角三角形中，易得， 设外接圆的半径为R，由正弦定理，，解得， 故外接圆的周长为，故C正确； 因，， ，故D错误. 故选：BC． 【变式4-2】半径为的圆内接，，为锐角． (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，又角为锐角，所以． （2）∵为的平分线，， 设点到和的距离为，则，即， ∴， 又∵， ∴，则有， ∴或（舍去），所以， ∴． 【变式4-3】的内角所对的边分别为，点是的外接圆的圆心，，，． (1)求该外接圆的面积； (2)求． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）由，得， 所以，所以， 由余弦定理得 ， 由正弦定理得，所以， 所以圆的面积. （2）取的中点，连接，，则， 所以 ， 由余弦定理得 ， 所以. 利用正弦定理即可求解 重难点五、正弦定理边角互化应用 【例9】在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 【例10】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若的面积为，，求边上的中线长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）已知. 根据诱导公式，可得，则原式变为. 由正弦定理可得，，代入上式可得： ，化简得. 将等式变形为，根据辅助角公式可得， 即，所以. 因为，所以，则，解得. （2）已知的面积为，，根据三角形面积公式， 可得，即，解得. 由余弦定理，已知，， 可得，即，解得. 设中点为，则， 两边平方可得. 可得， 所以，即AC边上的中线长为. 【变式5-1】在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【答案】(1) (2)选①无解；选②或；选③ 【详解】（1）在中，， 又， 由正弦定理得，， 即， 即，由正弦定理得，， 又，所以. （2）选①边上的高为7， 过作于，如图， 由已知，在中，，， 显然这样的三角形不存在，所以无解. 选②，即， 又，，则由正弦定理得，即， 则， 由余弦定理，得， 即，解得或， 当时， 的面积， 当时， 的面积. 选③边上的中线长5， 设的中点为，由（1）知，则， 又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 则，解得， 在中，由余弦定理，， 则， 所以的面积. 【变式5-2】设的内角所对的边分别为，且，． (1)求角； (2)如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴ 由正弦定理可得，即， 即，∴ （2）在中由正弦定理可知， ∴， 在中由正弦定理可知， ∴， 因为四边形的内角和为，且， 所以， 在中， 所以， 则. 在中，∴， ∴. 【变式5-3】如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. （2）因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. ①边化角的条件：当等式或分式中的边均为一次项或存在齐次边关系时，可将边替换为对应角的正弦函数； ②角化边的条件：当问题涉及角的余弦或需要结合余弦定理时，将角的正弦转化为边的关系更直接 重难点六、正弦定理判断三角形形状 【例11】在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由，得，所以； 又，由正弦定理得，所以是等边三角形. 故选：C. 【例12】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【详解】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：． 【变式6-1】的面积为，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形（非等边） B．直角三角形 C．正三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B. 【变式6-2】在中，内角的对边分别为，，，且为内一点. (1)判断的形状； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1)为等腰三角形 (2) 【详解】（1）在中，因为， 所以，由正弦定理得， 即，则， 所以，所以为等腰三角形. （2）由（1）知，中，，又，， 所以是边长为的正三角形，    由为内一点，在中，，， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理，，解得， 则是边长为的正三角形， 又点在圆的劣弧上运动， 如图，设点是在弧上除中点外的一点， 因为， 则当点在中点时，即与弧的交点，取得最小值， 又， 此时， 即的最小值是. 【变式6-3】已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且，若，求的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析； (2). 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 由余弦定理得，而，解得， ，于是， 又，则，所以是直角三角形. （2）令，由（1）知，，由，得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的面积. （1）判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． （2）注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如等． 一、单选题 1．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】在中，由及正弦定理，提， 所以或. 故选：C 2．中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】判断充分性， 由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立.   判断必要性， 若有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，.   所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立.   则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．在中，若的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，因为，则，故，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，， 由三角形的面积公式可得，可得. 故选：B. 4．在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为为的角平分线，所以， 且， ， 则， 可得：. 故选：B. 5．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，则， 所以，即， 设，又，由题意， 所以，故， 又，故，则， 所以， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为. 故选：C 6．在中，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设三边所对的角分别为， 对于A，由，则，再由正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确； 对于C，当时，满足，但，故C错误； 对于D，由A知，，所以， 又，，，故D正确． 故选：C． 7．在中，设，则下列说法错误的是（   ） A． B．边上的高是 C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是 【答案】D 【详解】对于A，，解得，故A正确， 对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确； 对于C，由B知，，所以外接圆的周长是，故C正确； 对于D，由等积法知，，故D不正确. 故选：D. 8．在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 二、多选题 9．已知中，，.则（   ） A．若，则有两解 B．若是钝角三角形，则 C．若是锐角三角形，则 D．的最大值是 【答案】CD 【详解】因为中，，，， 由正弦定理得，，即， 故，所以，故有一解，故选项A错误； 因为，又因为为钝角三角形， 当为钝角时，，即，故B错误； C选项，因为为锐角三角形，所以， 所以，， 又因为即，，故C正确； 因为，当时，的最大值是，故D正确. 故选：CD. 10．在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．外接圆的面积为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于选项A：因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故B正确； 对于选项C：由可得， 且，即，解得，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D：由可得，即， 且，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，有两解，如图示， 则，而，因此，D正确． 故选：ABD 三、填空题 12．在中，内角的对边分别为，且，，，则 ； ． 【答案】 /0.75 【详解】由正弦定理，根据可得， 又，所以. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为，所以. 由余弦定理：，， 得：， 所以或（舍去）. 故答案为：； 13．在中，，，，则外接圆面积为 . 【答案】/ 【详解】在中，已知，，，根据余弦定理可得： 因为为三角形的边长，所以. 由正弦定理可得：,则. 根据圆的面积公式，将代入可得：. 故答案为：. 四、解答题 14．已知在中，. (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【详解】（1）为直角三角形，理由如下： 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以为直角三角形； （2）因为，为以为直角的直角三角形，所以， 设，则，，所以， 所以在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 15．已知的内角的对边分别是，且. (1)判断的形状； (2)若的外接圆半径为，求周长的最大值. 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【详解】（1）由正弦定理并结合已知有. 故，从而. 由于，从而，故由可知，所以一定是等腰三角形. （2）设的外接圆半径为. 一方面，我们有 ， 故； 另一方面，当是边长为的等边三角形时，有，. 此时，，且. 所以周长的最大值是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.2 正弦定理 一、正弦定理解三角形 四、三角形的外接圆问题 二、三角形解的个数判断 五、正弦定理边角互化应用 三、三角形的面积公式 六、正弦定理判断三角形形状 知识点1正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 3.三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 知识点2判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 重难点一、正弦定理解三角形 【例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在 中， ， ， ，则 . 【变式1-3】已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， c = 2 ，则 的值为 若已知两角一边，则解题步骤为：①根据三角形内角和定理求出第三个角；②根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 若已知两边一角，则解题步骤为：①根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况；②先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三个角；③根据正弦定理求第三条边的长度． 重难点二、三角形解的个数判断 【例3】由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【例4】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 【变式2-3】已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 在中，以为例． （1）若或，则三角形有一解；（2）若，则三角形有两解； （3）若，则三角形无解． 重难点三、三角形的面积公式 【例5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 【例6】在中，角所对的边分别为，且的面积，则（    ） A．8 B． C． D．4 【变式3-1】在中，的对边分别为，且满足，则的面积（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为 （精确到整数位）（参考数据：） 三角形面积公式 重难点四、三角形的外接圆问题 【例7】已知三点均在圆上，为弦的两个三等分点，若，且.，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【例8】在中，角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，求的面积. 【变式4-1】（多选）如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．四边形ABCD的面积为 C．外接圆的周长为 D． 【变式4-2】半径为的圆内接，，为锐角． (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，，，求的面积． 【变式4-3】的内角所对的边分别为，点是的外接圆的圆心，，，． (1)求该外接圆的面积； (2)求． 利用正弦定理即可求解 重难点五、正弦定理边角互化应用 【例9】在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【例10】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若的面积为，，求边上的中线长. 【变式5-1】在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【变式5-2】设的内角所对的边分别为，且，． (1)求角； (2)如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的解析式． 【变式5-3】如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. ①边化角的条件：当等式或分式中的边均为一次项或存在齐次边关系时，可将边替换为对应角的正弦函数； ②角化边的条件：当问题涉及角的余弦或需要结合余弦定理时，将角的正弦转化为边的关系更直接 重难点六、正弦定理判断三角形形状 【例11】在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例12】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式6-1】的面积为，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形（非等边） B．直角三角形 C．正三角形 D．钝角三角形 【变式6-2】在中，内角的对边分别为，，，且为内一点. (1)判断的形状； (2)若，，，求的最小值. 【变式6-3】已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且，若，求的面积． （1）判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． （2）注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如等． 一、单选题 1．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（    ） A． B． C．或 D． 2．中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．在中，若的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 5．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 6．在中，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．在中，设，则下列说法错误的是（   ） A． B．边上的高是 C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是 8．在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 二、多选题 9．已知中，，.则（   ） A．若，则有两解 B．若是钝角三角形，则 C．若是锐角三角形，则 D．的最大值是 10．在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．外接圆的面积为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 三、填空题 12．在中，内角的对边分别为，且，，，则 ； ． 13．在中，，，，则外接圆面积为 . 四、解答题 14．已知在中，. (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 15．已知的内角的对边分别是，且. (1)判断的形状； (2)若的外接圆半径为，求周长的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$