精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度第二学期高二第一次月考试题 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. D. 2. 曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为（    ） A. B. 1 C. D. 3. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数极值点 C. 是函数极小值点 D. 函数在区间上单调递减 4. 由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 5. 在数列中，，（，），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足．若直线的斜率为，则 A. B. C. D. 7. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为-2024 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 有唯一的零点 C. 若时，恒成立，则 D. 设，为两个不相等的正数，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，则______． 13. 已知数列满足，且，则______． 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）. 如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成（简称为步“雹程”）. “冰雹猜想”可表示为数列满足：（为正整数），.问：当时，试确定使得需要___________步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 16. 已知数列的前项和满足：. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥中，，，，，平面平面. （1）求证：直线平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值． 18. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆C上，且的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与线段AF相交于S，与椭圆交于P、Q两点． （Ⅰ）求t取值范围并证明：； （Ⅱ）若，求点P的坐标． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期高二第一次月考试题 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求. 【详解】由题可得，则. 故选：C. 2. 曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为（    ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到曲线在点处的切线方程，取y=0求得x值即可. 【详解】由，得，则曲线在点处的切线斜率为， ∴曲线在点处的切线方程为， 取，可得． ∴曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为-1． 故选：C． 3. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数的极值点 C. 是函数的极小值点 D. 函数在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C 4. 由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【分析】将路线分为两步，首先确定从“兵”到“炮”的最短路线走法；再确定从“炮”到“马”的最短路线走法，由分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】由题意可知：“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，竖走两步； 其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有种走法． 能顺带吃掉“炮”可能路线共有（条）． 故选：C. 5. 在数列中，，（，），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A 6. 设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足．若直线的斜率为，则 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出直线AF的方程，求得A点坐标，即可求得P点坐标，利用抛物线定义即可求得答案. 【详解】∵抛物线方程为 ， ∴焦点F(2,0)，准线l方程为 ， ∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为 ， 由,可得A点坐标为， ∵PA⊥l，A为垂足， ∴P点纵坐标为,代入抛物线方程,得P点坐标为， ∴ ， 故选:C 7. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线的方程特点，确定曲线的焦点位置，求出相应的基本量，即可逐一判断选项正误. 【详解】由可得，知曲线为椭圆，其焦点在轴上， 且长轴长为8，故A正确； 由可得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为：， 即，故B正确； 对于C，由可得， 由可得，故与的离心率互为倒数，故C正确； 对于D，因曲线的焦点位置不同，故焦点坐标不可能相同，故D错误. 故选：ABC. 10. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为-2024 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求出，再结合等差数列性质公式，利用裂项相消法和分组求和计算判定即可. 【详解】数列的前项和，当时，， 而满足上式，因此. 对于A，，A正确； 对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，数列的前项和为，C正确； 对于D，， 则数列的前2025项的和为，D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 有唯一的零点 C. 若时，恒成立，则 D. 设，为两个不相等的正数，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而求最值；由A选项知函数单调性，结合零点存性定理，即可判断选项B；构造函数，对函数进行求导，结合定点即可判断选项C；将等价变形为即，构造函数，对进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可判断选项D． 【详解】对于A选项：已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，故选项A正确； 对于B选项：由A知，在上单调递增，又时，， 所以恒成立，即在内没有零点， 在上单调递减，又，，所以由零点存在定理可得，在内有唯一的零点，所以有唯一的零点，故B正确； 对于C选项：不妨设，函数定义域为， 可得，因为，由题意因为当时，恒成立， 即当时，恒成立，所以在单调递减， 所以此时，解得， 若，此时恒成立，所以在上单调递减， 则，符合题意， 综上，满足条件的的取值范围为，故选项C正确； 对于D选项：因为为两个不相等的正数，等价变形得， 即，所以， 由A选项知，在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，所以， 不妨设，函数定义域为， 当时，，所以在上是单调递减， 所以，即 因为，所以， 所以，由A选项知，在上单调递减， 整理得，，即，故D错误， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：选项A、B是导数的基础题型，关键是计算仔细；选项C的关键是构造函数，利用导数结合单调性的性质，就能求出参数范围，选项D的关键是等价变形易知恒等式，构造成题干中的函数，得到，然后借助导数进行单调性的分析可最后得出结果. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求导代值求出，回代计算即得. 【详解】， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 13. 已知数列满足，且，则______． 【答案】56 【解析】 【分析】原式变形为，利用迭加法即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 . 故答案为：. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）. 如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成（简称为步“雹程”）. “冰雹猜想”可表示为数列满足：（为正整数），.问：当时，试确定使得需要___________步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为______________. 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据题中条件，由，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果； 由，根据递推公式，逐步计算，即可得出所求集合. 【详解】当时，即，由， 可得，，，，，， ，，，因此使得需要步雹程； 由题意，为正整数， 若，由，解得； 当时，由，解得， 当时，由，解得或； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得或； 当时，由，解得或； 当时，由，解得； 当时，由，解得， 综上，所有可能的取值为， 因此所有可能的取值所构成的集合为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【小问1详解】 ， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 16. 已知数列的前项和满足：. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退一相减法可知数列为等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由已知， 当时，，解得， 当时，， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 所以①， ②， ①②得， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面. （1）求证：直线平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，可得，又，建立空间直角坐标系，利用向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理即可得出； （2）求出平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，利用向量的数量积解得，求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可. 【小问1详解】 证明：∵平面平面，平面平面，， ∴平面， 又∵，故可建立空间直角坐标系如图所示， 不妨设，， 则有，，，， ∴，，， ∴，， ∴， 又，平面， ∴平面. 【小问2详解】 解：由(1)知，平面的一个法向量是，， 设直线与平面所成的角为， ∴，解得. ∵，∴，即， 设平面的一个法向量为，，， 由，， ∴，不妨令，则， ∴，显然二面角的平面角是锐角， ∴二面角的余弦值为. 18. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆C上，且的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与线段AF相交于S，与椭圆交于P、Q两点． （Ⅰ）求t的取值范围并证明：； （Ⅱ）若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）或 【解析】 【分析】 （1）由已知的纵坐标与三角形面积，求得的值，根据的等量关系与方程，可得答案； （2）（I）联立直线与椭圆方程，由根的判别式，可得参数取值，写出韦达定理，根据斜率公式，可得答案；（II）由平行可得等角与等边，根据等腰三角形的性质，可得点所在直线方程，联立椭圆方程，可得答案. 【小问1详解】 由的面积为，得，解得，所以①， 又点在椭圆C上，所以②， 联立①②解得，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （Ⅰ）联立方程，消x得： 因为直线l与椭圆交于P、Q两点， 所以，解得或 又因为直线l与线段AF交于S点，所以 设，，则，， 从而， 则，因，故，又轴， 故. （Ⅱ）由，所以，又， 所以，所以， 所以P为线段AF的中垂线与椭圆的交点， 由，解得：或， 因此，P的坐标为或. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解函数的单调性， （2）根据极值点可将问题转化为有两个不相等的正数根，，即可利用二次方程根的分布求解（Ⅰ），构造函数，求导，结合零点存在性定理即可求解（Ⅱ）. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，故在上单调递增, ②当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （Ⅰ）， ， 令，要使存在两个极值点，， 则方程有两个不相等的正数根，， 所以 ， 解得， 所以的取值范围为. （Ⅱ）由于在上恒成立， 在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则， 当时，， 令，则，在上单调递增， 又，， 存在使得，即，， 故当时，，此时， 当时，，此时， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 从而， 令，，则， 在上单调递增，， 又为整数，故，即整数最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$