2025年上海市中考数学一轮复习专题18：勾股定理

专题18：勾股定理 一、选择题： 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为(    ) A. B. C. D. 3.下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.已知、、分别是的三边，根据下列条件能判定为直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.如图，在中，，，平分，交的延长线于点，为垂足，则结论：；；；；，其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，中，，于，若，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，若：：，则为(    ) A. B. C. D. 8.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为(    ) A. B. C. D. 10.如图，的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为          ． 12.如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了          米． 13.一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，则此直角三角形的面积是          ． 14.在中，，，，那么的面积为          ． 15.已知在中，，，，点在边上，将这个三角形沿直线折叠，点恰好落在边上，那么______用的代数式表示 16.一副三角板按如图方式摆放，且比大，则______。 3、 解答题： 17.如图，、、三镇在天然气管道的同侧，现要在管道上修建两个泵站、，向、两镇供气，向、两镇供气问两个泵站、应修在管道什么位置，可使所用的输气管线最短？ 18.如图，在四边形中，，，，且，试求的度数． 19.如图，四边形中，，，，，求证： 20.已知一次函数的图像经过点和点． 求一次函数的解析式； 在轴上有一点，且，求点的坐标． 21.如图，在中，，，边的垂直平分线分别交边、于点、，求的长． 22.如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且 求证：≌； 若，求的度数． 23.八班“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：测得从旅杆顶端垂直挂下来的升旅用的绳子比旗杆长米；某队员手抓绳子的一端，将绳子拉直时，测得手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图根据以上信息，求旗杆的高度． 24.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，联结． 如果，，求证：； 如果，平分，，求的长． 25.阅读、理解和应用 中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题． 杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是平方步，已知它的宽比长少步，问长与宽是多少？注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位步尺 解：设宽为步，则长为步，得方程______． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是______平方步，大正方形面积是______平方步，于是矩形的长与宽的和是______步，得到宽即的一个正数解为______步在对应序号处填空，写在答题纸上 请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程求出一个正数解即可． 注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记 26.如图，中，，，于点，于点，与相交于． 求证：； 若，求的长． 27.如图，在中，，直线，垂足为点． 如果点在直线上，且点到两边的距离相等点在的内部，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点； 在第题的条件下，连结和，若，请判断的形状，并说明理由． 28.如图所示，在中，，，，是的角平分线． 求的长； 若点在线段上，是直角三角形，求的长； 若点在射线上，是等腰三角形，直接写出的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况求解即可． 【解答】 解：当顶角为钝角时，如图，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为； 当顶角为锐角时，如图，可求得其顶角为； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 故选D． 2.【答案】  【解析】解：如图，根据三线合一的性质，底边上的中线， 三角形的重心到三角形顶点的距离等于中点距离的倍， 重心到的距离． 故选：． 作等腰直角三角形底边上的高并根据勾股定理求解，再根据三角形重心三等分中线的性质即可求出． 本题主要考查等腰三角形三线合一的性质和三角形重心的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形解答即可． 本题考查了勾股定理的证明，轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 4.【答案】  【解析】根据勾股定理的逆定理，只要满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即为直角三角形． 【详解】，，，因为，所以不能判定为直角三角形； B.，，，因为，所以不能判定为直角三角形； C.，，，因为，所以可以判定为直角三角形； D.，，，因为，所以不能判定为直角三角形； 故选C． 5.【答案】  【解析】解：，， ， 平分， ， 在与中，，， ， ，，， ≌， ； 故正确； 中≌， ， 故正确； 中≌， ，， ， 在中，， ， ， ，即， 故正确； 由可知，是等腰三角形， ， ， 在中，若，则，与中相矛盾， 故BE， 故错误； 由可知，是等腰三角形， ， ， 故正确． 所以四项正确． 故选：． 根据，可知，再由平分可知，在与中，，，可求出，由可求出≌，故可求出； 由中≌可直接得出结论； 由中≌可知，，故AC，，在中，，根据可知，，即可求出，即； 由可知，是等腰三角形，由于，故BE，在中，若，则，与中相矛盾，故BE； 由可知，是等腰三角形，由于，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答． 本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键． 6.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，利用面积法求出，再根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 故选D． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后在中，根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可． 【解答】 解：是的垂直平分线， ， ， ：：， ， ， 在中，． 解得． 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查平移的性质和一元二次方程的应用，解决此题的关键点是：由平移和正方形的性质可得等腰直角三角形；利用重叠部分面积为列一元二次方程． 【解答】 解：设交于点， ，， 是等腰直角三角形． 设，则，， ， 得， 即． 故选B． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键． 解答此题可过作，连接，然后根据角平分线的性质和三角形的面积可得结论． 【解答】 解：点为与的平分线的交点， 点到三边的距离相等， 过作，连接， 则， 又，，为直角三角形， ， ， 解得：． 故选A． 10.【答案】  【解析】本题考查了三角形的中线和重心，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形的重心可得，，，即可由勾股定理得，，得到，即可判断；由直角三角形的性质可得，进而得，即得，即可判断、，据此即可求解，掌握三角形的中线和重心的性质是解题的关键． 【详解】解：的两条中线交于点， 点是的重心， ，，， ，  ，， ，故正确，不符合题意；错误，符合题意； ，是的中点， ，  ， ，故、正确，不符合题意； 故选：． 11.【答案】  【解析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图所示：是直角三角形， 底面半径为半径为，高为， ， 由勾股定理得：， 吸管露在杯口外的长度最少为：， 答：吸管露在杯口外的长度最少厘米， 故答案为：． ． 12.【答案】  【解析】如图，由题意，得米，米，． 由勾股定理，得，则米． 13.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设两条直角边分别为、，根据勾股定理得，解得，则两条直角边分别为、，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：设两条直角边分别为、， 根据勾股定理得：， 解得：负值已舍去， 两条直角边分别为、， 此直角三角形面积， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】此题主要考查勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，作于点，，则是等腰直角三角形，即可得出，进一步即可得到的面积． 【详解】解：作于点，则， ， 是等腰直角三角形， 的面积为， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：过作于点，作于点． 在中，，，， ，， ， 由折叠的性质可得：平分， ， 设， ， ， 解得：， ， ， 故答案为： 首先根据题意作出图形，然后过作于点，作于点，由在中，，，，可求得与的长，由折叠的性质可得：平分，然后由三角形的面积相等，可求得的长，继而求得答案BH的长，然后由勾股定理求得的长． 此题考查了折叠的性质、角平分线的性质、三角形的面积问题以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 16.【答案】  【解析】解：由图知， 比大， ， ， 故答案为：。 由图知，结合已知条件即可得。 本题主要考查直角三角形的性质，平角的定义，关键在于认真的观察图形，根据题意列出关于的方程。 17.【答案】解：分别作点、点关于直线的对称点，， 连接，交直线于，， 则点、即为所求．  【解析】根据轴对称的性质即可得到结论． 本题考查了平面展开最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 18.【答案】  19.【答案】证明： 在中，由勾股定理得 又   为直角三角形                  20.【答案】【小题】 解：将和代入， 得 解得： 一次函数的解析式为； 【小题】 解：设点的坐标为，由勾股定理得，，， ， 在中，， ， 解得， 点的坐标为，   【解析】  本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，解方程等知识． 用待定系数法求解即可；   设点的坐标为，由勾股定理分别求得、、，再由，根据勾股定理得，即可得关于的方程，解方程即可． 21.【答案】解：过点作于点， 垂直平分， ，， ， ，， ， ，， ， ， ．  【解析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，求解的长是解题的关键． 过点作于点，由线段垂直平分线的性质及含角的直角三角形的性质可求解的长，再利用等腰直角三角形及勾股定理即可求解． 22.【答案】证明：在与中， ， ≌                     解：≌， ； ，， ， ．  【解析】根据全等三角形的判定方法斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出≌即可． 首先根据≌，可得；然后根据，，求出的度数，即可求出的度数． 此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握． 23.【答案】解：设米，则米，米，根据题意得： 在中，根据勾股定理得：， ， ． 答：旗杆的高度为米．  【解析】设米，在中根据勾股定理列方程求解即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 24.【答案】证明：是的垂直平分线，， ， 在中，，， ， ； 解：是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ．  【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理的逆定理证明； 根据三角形内角和定理、直角三角形的性质得到，再根据含角的直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 25.【答案】          【解析】解：设宽为步，则长为步，得方程； 由题目条件可知小正方形面积是平方步； 大正方形面积是平方步； 于是矩形的长与宽的和是步， 矩形的宽为步． 故答案为：；；；；； ， ， ，如图所示： ；矩形的面积， ， ， ． 结合杨辉的“画图”方法和矩形和正方形面积公式得出结论；仿造杨辉的“画图”方法解方程． 本题考查了解一元二次方程因式分解法，充分理解杨辉的“画图”方法是解题的关键． 26.【答案】解：，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 连接， ， ， 是等腰直角三角形． ，， ，， ，是的垂直平分线． ， ．  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形底边三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，本题中求证是解题的关键． 先证明是等腰直角三角形，可得，即可求证，即可解题； 连接，根据全等三角形的性质得到，得到是等腰直角三角形，推出，是的垂直平分线，于是得到结论． 27.【答案】【小题】 解：如图，点为所作； 【小题】 解：为直角三角形． 理由如下： ，点到两边的距离相等， ， 即， ， ， ， 为直角三角形．   【解析】  本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理的逆定理． 作的平分线交直线于点，根据角平分线的性质可判断点满足条件；   利用三角形面积公式可得到，即，然后利用勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 28.【答案】【小题】 解：如下图所示，过点作，， 是的角平分线， ，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 解得：， ，， ， 在中，； 【小题】 解：如下图所示，当时， 是的角平分线， ， ； 如下图所示，当时，， 由可知， ， 在中，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，舍去， ， ， ， 综上所述，当或时，是直角三角形； 【小题】 解：如下图所示，当点在线段上，时， 由可知， 则， ； 如下图所示，当点在线段上，时，过点作， 则有， 设，则， 在中，， ， 解得：，舍去， ， 则； 如下图所示，当点在线段的延长线上时，， 则． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或．   【解析】  如下图所示，过点作，，根据是的角平分线，可知，根据可得，根据等腰直角三角形的性质可得；   是直角三角形，有两种情况，一种情况是时，另一种情况是，分情况求出线段的长度即可；   是等腰三角形，有三种情况，第一种情况是当点在线段上，；第二种情况是；第三种情况是当点在线段的延长线上时，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$