2025年上海市中考数学一轮复习专题22：相似形

专题22：相似形 一、选择题： 1.依据下列条件不能判断 和 的相似是(    ) A. ，，， B. ，，，， C. ，，，， D. ，，，，， 2.如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的相似比为的位似图形，则顶点的坐标是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 5.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示单位：尺，已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳两条尺长和相等可测量零件的内孔直径如果，且量得，则零件的厚度为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.如果，那么的值为________． 8.已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是          ． 9.已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则           度． 10.在中，，，，点、分别在边、上．如果为中点，且，那么的长度为          ． 11.如图，已知中，点、、分别在边、、上，，如果，，那么 ______． 12.如图，在中，，，为中点，在线段上，，则          ． 13.如图，在中，上的中线相交于点，如果，那么的值为          ． 14.如图，在中，是斜边上的高，若，，则 ______． 15.我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为          米． 16.如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为          ． 17.九章算术中记载了一种测量井深的方法如图，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得，，，那么            18.中，，点在边上，取射线上一点，将沿直线翻折至的位置，延长交边于点，射线交边于点若，且点在边上，则线段与线段长度的比值为          ． 三、解答题： 19.如图，花丛中一根灯杆上有一盏路灯，灯光下，小明在点处的影长米，沿方向走到点，米，这时小明的影长米，如果小明的身高为米，求路灯离地面的高度． 20.近期黑神话：悟空正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米；步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 21.已知：点在内，且满足，． 求证：； 如果，，求的值． 22.如图，已知是斜边上的中线，过点作，过点作，两线相交于点． 求证：； 若，，求的长． 23.如图，是半圆的直径，，，，在直径上任取一点不与端点、重合，过、、三点的圆与相交于除点以外的另一点，连结并延长交射线于点，连结、、． 求证：∽ 求证： 试问当点在何位置时， 24.如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点点在左边，以为一边作． 求的长； 当点是的重心时，求的值： 如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 25.位似图形：如图甲，如果一个图形的点、、、、和另一个图形上的点、、、、分别对应，并且它们的连线都经过同一个点，且，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． 下列各图，是位似图形的有______ 由可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是” 如图乙，，下列说法不正确的是______ A.两个三角形是位似图形 B.点是两个三角形的位似中心 C.两个三角形的位似比为： D.点与点，点与点是两个位似图形的对应顶点 请在图丙中作出符合要求的图形用尺规作图，留下作图痕迹：以点为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】，，， ， ，不符合题意； B.，，，， 又 ，不符合题意； C.，，，， 但 不能判断和相似符合题意； D. ，，，，， ，不符合题意； 故选C． 2.【答案】  3.【答案】  【解析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：由，可判定，故 A选项正确，不符合题意； B.由可判定，故 B选项正确，不符合题意； C.由可得，但没有夹角相等，故 C选项错误，符合题意； D. 由可得且，可判定，故 D选项正确，不符合题意． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：在三角形纸片中，，，． A、，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； C、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； D、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； 故选：． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 5.【答案】  【解析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明是解题的关键．根据题意可证明得到，然后代入数值即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ， ，即， 故选： 6.【答案】  【解析】求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 外径为， ， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：， ， ， 故答案为：． 由已知可得，再将代入要求的式子中化简即可． 本题考查比例的性质，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键． 8.【答案】    【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：，它们对应中线的比， 它们的周长比是， 故答案为：． 9.【答案】  【解析】本题考查了相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用三角形内角和求出的度数，再利用相似三角形的性质可得到的度数． 【详解】解：，， ，顶点、、分别与、、对应， ， 故答案为： 10.【答案】或  【解析】根据已知比例式先求出的长，再分两种情况：为的中点，可直接得出的长；点在靠近点的位置，过点作于点，证明∽，得出，从而可得出的长，再分别根据勾股定理得出，的长，从而可得出结果． 【详解】解：在中，根据勾股定理得，， 又是的中点，， ， ，． 分以下两种情况： 当点在如图所示的位置时，即点为的中点时，， 故此时； 点在如图所示的位置时，，过点作于点， ，， ∽， ，即，． 在中，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 11.【答案】  【解析】解：，，， ∽， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 由，证明∽，则，求得，再证明四边形是平行四边形，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 12.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例． 利用平行线分线段成比例及等边三角形的判定及性质，分两种情况解答即可． 【解答】 解：为中点， ．当时， ． 当与不平行时， ， 在中，，， ，， 是等边三角形， ，， ， ． 故答案是：或． 13.【答案】  【解析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，先证明，再证明，则，证明，则，设，则，得到负值舍去，进一步得到，则，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ， 上的中线相交于点， ， ， ，， 设，则， ， 负值舍去， ， 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：在中，，， ． ， ． ， ∽， ， 即， 解得． 故答案为：． 先根据勾股定理求出，再证明∽，然后根据相似三角形对应边成比例得出答案． 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 15.【答案】  【解析】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 【详解】解：如图：由题意得： 米，米，， ， ． ， ， ， ． ， ． ， 米， ． 米， 灯杆的高度为米， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的应用，正确求出的长是解本题的关键． 先利用含角的直角三角形的性质，勾股定理，求出， 再利用相似三角形的判定和性质列出比例式求解可得答案． 【解答】 解：由题意可得：  ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 17.【答案】  18.【答案】或  【解析】连接，设，根据正弦的定义和勾股定理可得，，由翻折的性质得，得到，，进而得到，得到，设，在中利用勾股定理解出的值，表示出和，根据题意对点的位置分种情况讨论：在点左侧；在点右侧，分别过点作交于点，过点作交于点，交于点，再利用相似三角形的知识分别求出对应和的值，最后利用即可求解． 【详解】解：连接， 在中，， 设，则， ， 由翻折的性质得，， ，， 点在射线上， ， 又， ， ， 点在边上，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ； 若在点左侧，则， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ， ； 若在点右侧，则， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点，   同理中的方法可得：，， ； 综上所述，线段与线段长度的比值为或． 故答案为：或． 19.【答案】解：， ， ，即， ， ， ，即， 由得，解得， ， 解得． 答：路灯离地面的高度为．  【解析】此题考查相似三角形的应用，中档题 根据相似三角形的判定，由得，利用相似比有，同理可得，然后解关于和的方程组求出即可． 20.【答案】解：设米，米， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米．   【解析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明得到对应边成比例，列方程解决即可． 21.【答案】【小题】 证明：， ， ， ， ； 【小题】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ．   【解析】  由已知和等量代换得，再根据可证明；   由可得，通过变形得到，再利用，求得，得出，则可得出的值． 22.【答案】【小题】 解由题意： ， ， 又， ， 在中，是边上的中线， ， ， ， ． 【小题】 ，， 利用勾股定理得： 在中，是边上的中线， ， ，即， ．   【解析】  先证出，，再利用是斜边中线，可得，证得，从而，进而可以证明；   先利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得，再利用相似三角形的对应边成比例得，即可求得答案． 23.【答案】证明： 四边形是小圆的内接四边形， ， ， ， 为圆的直径， ， ， ， ． 证明：， ， ， ， ． 由， ， ，即， ． 易得∽， 则：：，即， ， ， 则，， 同理可得，即， ， ∽， ， 当时，．  【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质定理的应用，通过相似三角形来得出已知和所求相关的线段成比例是解题关键． 由于四边形是小圆的内接四边形，那么，证两三角形相似需再得出一组对应角相等，由于，都垂直，因此可通过这两条平行线得出，而又和同为的余角，因此可得出，这样两组对应角相等可得出两三角形相似． 根据的相似三角形，可以得出关于，，，的比例关系式，然后通过相似三角形和可得出关于，，，的比例关系式，那么通过置换相等的量，就可得出，由此得证． 本题是求，的比例关系，当时，根据三角形相似可得，，，同样可得出，，因此，即可得 ． 24.【答案】【小题】 解：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， ，，， ，， 点是边的中点， ， 在中，，， ， ， ， 在中，； 【小题】 解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 点是的三条中线的交点， 是的中线， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小题】 解：若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况： 当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图： ， ， ， ， ， ， 即， ，， 过作，垂足为， ， ， ， ， ； 综上，为或．   【解析】  过点、作的垂线，垂足分别为、，通过解直角三角形求出、，利用勾股定理求出，即可解答；   连接并延长交于点，根据题意得到是的垂直平分线，证明，列出比例式即可解答；   若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：当时，证明，求出，即可解答；当时，证明，求得，，过作，垂足为，求出，即可解答． 25.【答案】  一定是  不一定是    【解析】解：由题意，可知：为位似图形，的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； 由可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ， ∽， 又对应点，和对应点，的连线交于点， 两个三角形是位似图形，点为位似中心，点与点，点与点是两个位似图形的对应顶点，位似比为：； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故答案为：； 如图，矩形即为所求． 由作图可知：， 矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为：． 根据位似图形的定义，进行判断即可； 根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； 连接，，交于点，作线段的中垂线，交于点以为圆心，的长为半径，画弧，分别交，，于点，，，连接，，，，则矩形即为所求． 本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$