2025年上海市中考数学一轮复习专题21：二次函数与反比例函数

专题21：二次函数与反比例函数 1、 选择题： 1.下列函数是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列函数中，函数值随的增大而减小的是(    ) A. B. C. D. 3.二次函数的最小值是，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.抛物线其中，，，一定不经过的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度米关于水珠和喷头的水平距离米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.抛物线上有两点，下列说法中，正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.下列图象中，有一个可能是函数的图象，它是(    ) A. B. C. D. 8.下列函数中，能同时满足以下三个特征的是(    )函数图象经过点：图象经过第二象限；当时，随的增大而增大． A. B. C. D. 9.反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 10.如果将抛物线向上平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是______． 11.某公司月份产值是万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为__________． 12.在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为，”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 13.将二次函数的图象向右平移个单位，所得图象的对称轴为______． 14.二次函数的图像与轴的交点坐标为          ． 15.已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为          ． 16.若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是          ． 17.已知，当时，函数值随着自变量的增大而减小，那么的取值范围是          ． 18.已知点和都在抛物线是常数上，那么           填“”，“”，“”． 19.如图，抛物线对称轴为直线，如果点为此抛物线上的一点，那么当时，          ． 20.已知点和点在反比例函数的图象上，如果，那么 ______填“”、“”、“” 21.已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小且当时，有最大值则的值为______． 22.二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：；；；点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是          ． 23.如图，点，在反比例函数的图像上，过点，作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，若，的面积为，则值为           24.如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，若点，在同一个反比例函数的图像上，则这个反比例函数的表达式是          ． 三、解答题： 25.已知关于的函数是二次函数． 求的值并写出函数解析式；用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 26.在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． 求平移后新抛物线的表达式； 直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； 如果小于，求的取值范围； 记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点、与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，已知． 求、的值； 将抛物线平移，平移后得到新抛物线与轴负半轴交于点． 如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； 在原抛物线对称轴右侧部分上取一点，使得，记点在新抛物线上的对应点为，如果点在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 28.在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上的两点． ______； 如果该抛物线与轴交于点、点在点的右侧，且，四边形的面积是，求这个抛物线的表达式． 29.已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时， 求关于的函数解析式； 求当时的函数值． 30.电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板踏板质量忽略不计的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为其中，为常数，，其图象如图所示；图的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量温馨提示：导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． 求关于的函数解析式； 用含的代数式表示； 若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 31.“年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离单位：米与滑行时间单位：秒之间的关系式，测得一些数据如下表： 滑行时间秒 滑行距离米 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的个点，并用平滑的曲线连接它们如图所示，小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． 由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； 若将拋物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 32.在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线：经过点． 求点，的坐标； 求，的值； 平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 33.已知抛物线经过点、． 求抛物线的解析式； 若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形． 当与重合时，求到抛物线对称轴的距离； 若在抛物线上，求的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的定义，形如为常数且的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：．不是二次函数，故该选项不符合题意； B.，不是二次函数，故该选项不符合题意； C.是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； D.是二次函数，故该选项符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：选项，的函数值随着增大而增大， 故A不符合题意； 选项，的函数值随着增大而减小， 故B符合题意； 选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而减小， 故C不符合题意； 选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而增大， 故D不符合题意， 故选：． 根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可． 本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】根据已知条件，，判断出该函数图象的开口方向、与和轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第四象限． 【详解】解：、， 该抛物线开口方向向上，且与轴交于正半轴； ，， 二次函数的函数图象的对称轴是直线， 二次函数的函数图象的对称轴在轴左侧； 二次函数的图象一定不经过第四象限． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式． 根据二次函数的顶点式或者对称轴公式即可求解． 【解答】 解：方法一： 根据题意，得 ，   所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是米． 方法二： 因为对称轴为直线， 所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是米． 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查了抛物线的性质，增减性，根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小，判断即可． 【详解】抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 距离对称轴越远，函数值越小， A. 若，无法计算与对称轴的距离，故无法比较大小，不符合题意； B. 若，无法计算与对称轴的距离，故无法比较大小，不符合题意； C. 若，则，符合题意；     D. 若，则，不符合题意； 故选C． 7.【答案】  【解析】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题． 根据函数，对、的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题． 【详解】解：在函数中， 当，时，则该函数开口向下，，则顶点在轴左侧，一定经过点，点一定在轴的负半轴，故选项 A、B错误； 当，时，若函数过点，则，得与互为相反数，则，当，则，则该函数与轴的两个交点是或，故选项 D错误； 当，时，若函数过点，则，只要、满足和为即可，故选项C正确； 故选：． 8.【答案】  【解析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，根据一次函数的增减性可得不满足；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足；根据平行于轴的直线的性质可得不满足；根据反比例函数的性质可得满足． 【详解】解：、在中，一次项系数小于，则随的增大而减小，不符合，不符合题意； B、在中，一次项系数大于，常数项小于，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； C、中，不随着的变化而变化，不符合，不符合题意； D、在中，，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足，符合题意； 故选：． 9.【答案】  【解析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案． 【详解】函数的图象经过二、四象限， ， 由图知当时，， ， 抛物线开口向下， 对称轴为，， 对称轴在左侧， 当时，． 故选B． 10.【答案】  【解析】解：抛物线向上平移个单位得到． 故答案为：． 直接根据抛物线向上平移的规律求解． 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 11.【答案】  【解析】解：由题意可得， ， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：根据题意，满足甲同学说法的反比例函数解析式为：， 故答案为：． 根据甲同学的说法确定，得到反比例函数的解析式即可． 本题考查了根据实际问题列反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 13.【答案】直线  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案． 【解答】 解：将二次函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：， 故其图象的对称轴为：直线． 故答案为：直线． 14.【答案】  【解析】求出自变量为时的函数值即可得到二次函数的图象与轴的交点坐标． 【详解】把代入得：，     该二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题考查了正比例函数图象、反比例函数图象的对称性，熟记才能灵活运用．根据反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称， 另一个交点的坐标与点关于原点对称， 即该点的坐标为． 故答案为：． 16.【答案】且  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可． 【详解】解：当时，，此时是一次函数，与轴有一个公共点； 当时，是二次函数， 函数与轴有两个公共点， ， ． 故答案为：且． 17.【答案】  【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，函数值随着自变量的增大而减小，得到，即可得出结果． 【详解】解：当时，即：，此时，不符合题意； 当时，则：为二次函数，对称轴为轴， 当时，函数值随着自变量的增大而减小， 抛物线的开口向下， ， ； 故答案为：． 18.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 19.【答案】  【解析】首先根据对称轴方程确定点和点关于对称轴对称，然后求得其纵坐标的值即可． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，如果点为此抛物线上的一点， 点和点关于对称轴对称， ， 当时，， 故答案为：． 20.【答案】  【解析】解法一：点和点在反比例函数的图象上， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 解法二：对于反比例函数在每一象限内，随的增大而减小， 点和点在反比例函数的图象上，且， ． 故答案为：． 方法一：将点和点代入之中得，，则，再根据得，，进而得，则，由此可得出答案； 方法二：对于反比例函数在每一象限内，随的增大而减小，再根据点和点在反比例函数的图象上，且得，由此即可得出答案． 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 21.【答案】  【解析】解：二次函数， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 开口向上，， 当时，有最大值， 当时，， ， 解得或， ， 的值为． 故答案为：． 求出对称轴为直线，根据当时，随的增大而减小，即可得到开口向上，，由当时，有最大值，可知当时，，即可得到，解方程组即可求得的值． 本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得到关于的方程是解题的关键． 22.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点，则， 故正确； 根据题意可得：，， 顶点坐标， ， ， 故错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， 抛物线图象与的图象没有交点，则，故正确； 顶点坐标， 当是，有最大值， 点是抛物线上任意一点， ， ，故正确． 故答案为：． 23.【答案】  【解析】的面积可以分为和的面积之和． 【详解】设，即 ， ， ， ， 故答案为：． 24.【答案】  【解析】【分析】 设，根据题意得点坐标，，再把、点坐标代入可求得的值，从而得出的坐标，代入可 得答案． 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点． 【解答】 解：，设，， 正方形的边长为， ， B、在反比例函数的图象上， ， 解得，舍 ， 反比例函数解析式为． 故答案为． 25.【答案】解：根据题意得且， 解得， 所以抛物线解析式为； ， ， 该二次函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线．  【解析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式．也考查了二次函数的性质． 根据二次函数的定义得到且，然后解关于的方程可得到满足条件的的值，从而得到抛物线解析式； 利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题． 26.【答案】解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入， 可得：，解得：， 新抛物线为； 如图，设，则， ， 小于， ， ， ， ； ， 平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位， 由题意可得：在的右边，当时， 轴， ， ， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则，过作于， ， ∽， ， 设，则，，，， ， 解得：不符合题意舍去； 综上：．  【解析】设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入，可得答案； 如图，设，则，，结合小于，可得，结合，从而可得答案； 先确定平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案；如图，当时，则，过作于，证明∽，可得，设，则，，，再建立方程求解即可． 本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 27.【答案】【小题】 解：令时，，即， ， ， ，， 将，代入， 得：，解得： 即：，； 【小题】 设平移后的解析式为，且经过， ，即：； 令，则，即：， 又在轴负半轴，则，即， ，， 平移后的对称轴为直线 它的对称轴与以为圆心，长度为半径的相切， ，即， 解得：，则， 平移后新抛物线的解析式； 连接交轴于， 由可知原抛物线的解析式为， ，则， ，则， ，即， 设直线的解析式为，代入，， 得：，解得： 直线的解析式为， 可得：，解得：或 ， 过点作，则轴， ， 设，则， 新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 即，新抛物线解析式为：， 又， ，则， 解得：，舍去， 平移后的新抛物线解析式为：， 新抛物线的顶点坐标为．   【解析】  由题意得，，根据，可知，，再利用待定系数法即可求解；   设平移后的解析式为，且经过，可得；由题意可知，其在轴负半轴，则，可得，，平移后的对称轴为直线，根据切线的性质可知，求出，即可求解； 连接交轴于，由可知原抛物线的解析式为，根据，结合解直角三角形求得，即，进而求得，直线的解析式为，可得，过点作，则轴，结合解直角三角形可知，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即，新抛物线解析式为：，由题意知，代入解析式求得的值，即可求得解析式，进而可得顶点坐标． 28.【答案】  【解析】解：，是抛物线上的两点， ． 故答案为：． 由得，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 该抛物线与轴交于点、， 点，关于直线对称， ， ，． ，， ，，． 四边形的面积是， ， 解得， ． 将，代入， 得， 解得， 这个抛物线的表达式为． 结合抛物线的对称性可得． 根据题意合抛物线的对称性可得，，由已知条件可得，，，进而可得，求得，即，再利用待定系数法求二次函数解析式即可． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 29.【答案】【小题】 解：由题意可设， 则，解得 则，即． 【小题】 解：当时，．   【解析】  先根据正比例关系、反比例关系可设，再将两组的值代入求解即可得；   将代入函数解析式即可得． 30.【答案】【小题】 解：由题意得：可变电阻两端的电压电源电压电表电压， 即：可变电阻电压， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ． 化简得：， ， ． 【小题】 解：将，代入， 得： 解得：． ， 将代入， 得：， 化简得：； 【小题】 解：中，且， 随的增大而增大， 取最大值的时候，千克．   【解析】  本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于求解一次函数和反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．第问除应用反比例函数的增减性解题外，也可以将与的关系式转化为关于的不等式，再代入中，求出电子体重秤可称的最大质量． 通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为关于的函数解析式；   先利用待定系数法求出，，把第问求出的与的函数解析式代入第中的与的关系式中消去，然后变形；   利用第问中与的关系式，结合和关于的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量． 31.【答案】【小题】 解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． 【小题】 解：由得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即．   【解析】  本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 用待定系数法求解即可；   依据题意，根据，再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 32.【答案】解：直线与轴交于点，轴交于点， 当时，得， ， 当时，，解得， 所以， 设， 则可设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点， 将代入得：， ， ， 即， 将代入， 整理得：， 所以， 如图： 轴，点在轴上， 设，， 点，分别平移至点，， 点，点向下平移的距离相同， ， 解得：， 由知， ， 抛物线的函数解析式为：， 将代入可得：， 抛物线的函数解析式为：或．  【解析】根据题意，分别将，代入直线即可求得 设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得， 进而可得到抛物线解析式为，即可求得，； 根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即可求得，，然后得到抛物线解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出和的值． 33.【答案】解：将、代入， 得 解得， 抛物线的解析式为； 过作于，交轴于，如图， 当与重合时，，， 是等腰直角三角形， 和也是等腰直角三角形， ， ， 而抛物线的对称轴是轴， 到抛物线对称轴的距离是； 过作于，如图： 设直线的解析式为，将、代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 当，时，则， 将代入得， 解得或与重合，舍去， ，，， 点坐标为， 当，时，， 则点坐标为， 由可知， 此时、、重合，舍去， 点坐标为  【解析】本题考查二次函数的综合，坐标与图形性质等知识． 将、代入即可得抛物线的解析式为； 过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是； 过作于，先求出直线为，设，则，分和两种情况讨论即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$