2025年上海市中考数学一轮复习专题19：四边形

专题19：四边形 一、选择题： 1.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是(    ) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 2.已知一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 3.已知四边形的对角线、相交于点，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.已知四边形中，，下列判断中的正确的是(    ) A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果平分，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 5.如图，过对角线的交点，交于点，交于点，若的周长为，，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 6.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了其中两块碎玻璃，其编号应该是(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知四边形的对角线互相垂直，如果适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形，那么这个条件可以是    ． A. B. C. D. ，互相平分 8.如图，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案(    ) A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 9.如图，在中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，分别向终点，运动，且始终保持点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，在整个过程中，四边形形状的变化依次是(    ) A. 菱形平行四边形矩形平行四边形菱形 B. 菱形正方形平行四边形菱形平行四边形 C. 平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形 D. 平行四边形菱形正方形平行四边形菱形 11.小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形如图，，则图中对角线的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 12.在菱形中，，则 ______ 13.如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是__________度． 14.如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则            15.如图，，是对角线上的两点，请你添加一个适当的条件：          ，使四边形是平行四边形． 16.图形的密铺或称图形的镶嵌指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图所示的是一种五边形密铺的结构图，图是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数是          ． 17.将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形图中阴影部分的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是______． 18.我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，、、三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点也在格点上，那么边的长为           ． 19.如图，在▱中，，，，点是上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为______． 20.在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为          ． 21.如图，在边长为的正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则           ． 22.如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为          ． 23.在菱形中，点为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点落在点处，延长交边于点如果的延长线恰好经过点，那么的值为          ． 三、解答题： 24.如图，在四边形中，，求证：四边形是平行四边形． 25.如图，在中，，求证：四边形是平行四边形． 26.同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形直角三角板互不重叠． 求：两个直角三角形的直角边结果用表示； 平行四边形的底、高和面积结果用表示； 请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：不与给定的图形状相同；画出三角形的边． 27.如图，四边形中，垂直平分，垂足为点，为四边形外一点，且，． 求证：四边形是平行四边形 如果平分，，，求的长 28.如图，已知在中，，为的中点，在图中作点，使，且，在上取点，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 29.簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． 已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形          填序号正三角形     正四边形     正五边形     正六边形 小强发现某个花纹用个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，小强猜想，如果用个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为______，并简要说明理由 30.已知在中，，，斜边的中点为点，动点、分别在边、上，且． 求证：； 设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围； 若为等腰三角形，请直接写出的长． 31如图，在▱中，是线段中点，连接交于点，连接． 如果． 求证：▱为菱形； 若，，求线段的长； 分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【解答】 解：如图所示： A、， ， ， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、，，， ≌， ， 四边形为平行四边形，故此选项不合题意； 故选：． 4.【答案】  【解析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：如果，那么四边形可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误； B.如果，那么四边形是矩形，错误； C. 如果平分，那么四边形是矩形，正确； D.如果，那么四边形不一定是正方形，错误； 故选：． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】解：，两块含有原平行四边形的一组对角，角的两边互相平行，且只有，两块玻璃中间部分相连， 一组对角的两边延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，从而可以确定平行四边形的形状和大小， 故选：． 根据图形可知只有，两块玻璃中间部分相连且含有原平行四边形的一组对角，再结合平行四边形的判定，即可解答． 本题考查了平行四边形的判定，结合图形分析是解题的关键． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得，即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案：方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形      四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，，   又        四边形为平行四边形． 丙方案： 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ，即      四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 9.【答案】  【解析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得到，即可判断选项；然后证明出是等边三角形，得到，即可判断选项；然后利用含角直角三角形的性质即可判断选项；然后根据勾股定理即可判断选项． 【详解】解：在中，，是斜边的中线， ，故 A正确； 恰好是边上的中线， 是斜边的高， 垂直平分 ， 是等边三角形 ，故 B正确； ，故 C正确； 是等边三角形， ，故 D错误． 故选：． 10.【答案】  11.【答案】  【解析】解：如图，四边形是正方形，， ， 在图中，连接交于， ，， 是等边三角形，则， 四边形是菱形， ，，， ， ， 故选：． 先利用正方形的性质得到，在图中，连接交于，证明是等边三角形得，再根据菱形的性质和勾股定理求得的长即可求． 本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 12.【答案】  【解析】解：四边形是菱形， ， ， ， ． 故答案为：． 由菱形的性质得到，推出，而，由三角形内角和定理即可求出的度数． 本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了多边形的内角和，熟记公式是解题的关键． 根据多边形的内角和公式列出方程求出，再求出中心角 【解析】 解：设它的边数是，根据题意得， ， 解得． 中心角为： 14.【答案】  【解析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意可得，正五边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， ， ． 故答案为：． 15.【答案】   16.【答案】  【解析】，，，，则故答案为． 17.【答案】  【解析】解：如图， 由题意知，，，，， ， ， 故答案为：． 根据四边形内角和为度列式求解即可． 本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形是关键． 18.【答案】或  【解析】解：如图： ， 如图： ． 故答案为：或． 根据定义可以画出两个图，进而得出答案． 本题主要考查新定义问题，多边形和勾股定理，理解新定义是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：如图，作于，过点作于． ，， ， ，， 到的距离和到的距离都是平行线、间的距离， 点到的距离是， 四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知，，，， ，，， ， 在和中， ， ≌； ， ，， ， ， 设，则， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 解得， ， ． 故答案为：． 如图，作于，过点作于可得，可得点到的距离是，证明≌；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可，可得． 本题考查翻折变换折叠问题，平行四边形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20.【答案】  【解析】本题考查的是直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角．根据直角三角形两个锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，，根据等边对等角可得，，再根据三角形的外角的性质可得：． 【详解】解：，， ， ，，为的中点， ，， ，， 是的外角， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 21.【答案】  【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟知全等三角形的判定和性质相似三角形的判定与性质等知识．首先根据全等三角形的判定定理证出≌，得出，再证出≌，得出，再根据证出，并得出，由此即可得出的值． 【详解】四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ≌， ， 在和中， ≌， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 22.【答案】或  【解析】【分析】 分当时和当时两种情况分别画出图形，利用折叠的性质和勾股定理求解即可； 本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及直角三角形的概念，能根据题意正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 【解答】 解：当时，如图， ， 长方形沿折叠，使点落在点处， ， ； 当时，如图， 在中，，， ， 长方形沿折叠，使点落在点处， ，，， 又， 点、、共线，即点在上，， 设，则，， 在中，， ，解得， 即， 综上所述，的长为或． 23.【答案】    【解析】延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，由折叠得，，则，，而，所以，推导出，可证明，得，则，所以，则，再证明，得，再证明，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 点为边的中点， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值为． 故答案为： 24.【答案】证明：在和中， ，四边形是平行四边形．   25.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，且， 又， ， 即， 且， 四边形是平行四边形．  【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质的有关知识，在平行四边形中，易得，，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形． 26.【答案】解：如图，为等腰直角三角板，，则， 如图，为含的直角三角形板，，，，则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， 四边形是矩形， 由图可得，，， ， 故平行四边形的底为，高为，面积为， 如图，即为所作图形．   【解析】解直角三角形即可求解；由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； 根据题意画出图形即可． 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 27.【答案】， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 过作， ， ， ， ， ．   【解析】【分析】分别证明，，得出结论； 利用勾股定理求出，再利用等积法求出，得出结论． 本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键． 28.【答案】解：，证明如下： 在中，，为的中点， ， 在中，，为的中点， ， ， ， ， ， ，即平分， 又，， ， 等腰三角形的三线合一．   【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论． 29.【答案】【小题】 【小题】 解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：．   【解析】  本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． 分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； 【详解】解：正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； 正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 故答案为：；   根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 30.【答案】【小题】 如图，过点作，， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是中点， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ； 【小题】 如图，是中点，， ， ， ， ， 矩形是正方形， ， ，， ， 即； 【小题】 如图，连接， ，， ， 是中点， ，，， ， ， ， ， ， 当是等腰三角形时，也是等腰三角形， 当时，， 点与点重合， ； 当时，成立； 当时，， ，点与点重合， ． 综上，的长为：或或．   【解析】  过点作，，可得四边形是矩形，得到，结合，可得，根据三角形中位线性质可得，，得到，可得，得到；   根据中点性质可得，结合，得到，可证矩形是正方形，得到，根据勾股定理得到，根据，得到；   连接，根据等腰直角三角形性质可得，，得到，结合，证得，可知是等腰三角形，当时，点与点重合，可得；，成立；当时，，可得，点与点重合，得到． 31.【答案】证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ≌， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ▱为菱形； 解：， 是的中线， 为的中点， 是的中线， 点是的重心， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ，解得负值舍去， ， ； 解：如图， ，， 垂直平分，， 由知点是的重心， 设延长线交于点， 在直线上， 是的中线， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ．  【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 证明：如图，连接交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，由菱形的判定可得出结论； 由重心的性质得出，设，则，由勾股定理得出，求出的值，则可得出答案； 得出，由知点是的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$