精品解析：四川省德阳成外高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

德阳成外高级中学高2024级高一下期3月月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时贴上条形码. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后将答题卡收回. 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是函数图象的两条相邻的对称轴，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．） 9. 下列各三角函数值符号为负的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到函数的图象 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知点是角的终边上一点，则______． 13. 函数，为偶函数，则的值为______ 14. 若函数在上单调递减，则正数t的取值范围为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）已知 ， 求 的值； （2）已知 ， 求 和 的值. 16. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求的递增区间； （2）当时，求函数的值域. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程; （2）解关于x的不等式; （3）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳成外高级中学高2024级高一下期3月月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时贴上条形码. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后将答题卡收回. 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦的倍角公式，代入即可求解. 【详解】根据余弦的倍角公式，可得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式的应用，其中解答中熟记余弦的倍角公式是解答的关键，属于基础题. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围与三角函数值的符号的关系，即可判断得出结论. 【详解】易知“”可以推出“”，即充分性成立； 而当时，，此时推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 3. 下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性及对称中心分别判断各个选项即可. 【详解】对于A:在上单调递减，A选项错误； 对于B:在上单调递增，且为其对称中心，B选项正确； 对于C:不是0，所以不是的对称中心，C选项错误； 对于D:在上单调递减，D选项错误； 故选：B. 4. 若直线是函数图象的两条相邻的对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可. 【详解】依题意得函数的最小正周期， 解得. 故选：D. 5. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】， ， ， 由在的单调性可知：， 故选：D 6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值. 【详解】， . 故选：A 8. 已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据，求出，，再由在区间上有最小值无最大值，结合周期公式得出，结合选项，检验时，满足题意. 【详解】由题意，是的一条对称轴，所以，即① 又，所以② 由①②，得， 又在区间上有最小值无最大值，所以 即，解得，要求最大，结合选项，先检验 当时，由①得，即，又 所以，此时，当时，， 当即时，取最小值，无最大值，满足题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的性质求参数的值，属于中档题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．） 9. 下列各三角函数值符号为负的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项ABC，通过三角函数值在各象限的符号，逐一判断即可得出是否满足条件，选项D是特殊角的三角函数，可以直接求出函数值，从而进行判断. 【详解】选项A，因为角是第一象限角，所以，故选项A不满足题设条件； 选项B，因为角是第二象限角，所以，故选项B满足题设条件； 选项C，因为，所以角是第二象限角，所以，故选项C不满足题设条件； 选项D，因为，故选项D满足题设条件； 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，结合正弦函数性质求解值域判断A，利用正弦函数的周期性判断B，利用整体代入法求解对称轴判断C，利用图象平移的性质判断D即可. 【详解】对于A，由辅助角公式得， 因为，所以， 则最小值为，故A错误， 对于B，由正弦函数性质得最小正周期，故B正确， 对于C，由已知得， 令，解得， 当时，，则的图象关于直线对称，故C正确， 对于D，将的图象向右平移个单位长度， 则， 得到的图象，故D错误， 故选：BC． 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到函数的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由图像可得最值及周期，据此可判断选项正误；对于B，由A验证是否为奇函数可判断选项正误；对于C，由A，可得时，对应区间t，通过判断在t上的单调性可判断选项正误；对于D，由三角函数图象变换可判断选项正误. 【详解】对于A，由图像可得，∵，，∴， 又，∴，（且）， ∴即．故A正确； 对于B，由A可得为奇函数，故B正确； 对于C，，，当时，，C错误； 对于D，将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍， 得到函数，故D错误． 故选：AB. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知点是角的终边上一点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用诱导公式及终边上的点求函数值即可. 【详解】. 故答案为： 13. 函数，为偶函数，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可求满足的等式，结合的范围可求其值. 【详解】因为为偶函数，故轴为其图象的对称轴， 所以，故， 因为，故， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，若已知正弦型函数图象的对称轴或对称中心，我们一般利用代入法求参数的值，本题属于基础题. 14. 若函数在上单调递减，则正数t的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数解析式，结合余弦函数的单调区间，得到，进一步求得，对的取值分类求得结果. 【详解】 ， 且， 余弦函数所有递减区间， 所以：， ；；；综上：； 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）已知 ， 求 的值； （2）已知 ， 求 和 的值. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）原式的分子、分母同除以即可； （2）根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得. 【详解】（1）∵，∴. 原式的分子、分母同除以，得原式 .故答案为: （2）由，得，即， 解得，而，则， 因此， 所以，. 16. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可； （2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的角差公式，二倍角公式计算. 【小问1详解】 因为为锐角且， 所以， 因为，且， 所以 所以. 【小问2详解】 ，是锐角，则， 于是， 所以， 所以. 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求的递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数的周期公式可求得的值，可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的递增区间； （2）分析函数在上的单调性，求出其最大值和最小值，即可得出该函数在上的值域. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，且，则， 则， 由，得， 所以，函数的递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 所以，函数在上单调递增， 所以，， ， 因此，当时，函数的值域为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程; （2）解关于x的不等式; （3）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1），单调递增区间为；对称轴 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴； （2）结合函数图像解不等式； （3）应用换元法求值域; 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 令，解得， 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 即， 所以，解得. 【小问3详解】 由题知， 则 ， 令，则， 当时，;当时，. 综上可知所求值域为. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 【解析】 【分析】（1）根据，利用三倍角公式结合二倍角正弦公式，可得到关于的方程，即可求得答案； （2）先利用两角和差的余弦公式化简，即可利用三倍角公式得到结果； （3）根据方程的特征，令，利用三倍角公式可得，即可求得的值，继而可得的表达式，利用三角恒等变换公式化简，即可证明结论. 【小问1详解】 ，所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了三倍角余弦公式的应用问题，解答的难点是第三问，要注意根据方程的特点，设，再结合三角恒等变换，将方程的解的问题，转化为利用三倍角公式，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $