精品解析：江西省新余市第四中学2024-2025学年高二下学期第一段考试（3月）数学试题

新余四中2024-2025学年度高二下学期第一段考试 数学试卷 命题人：张明明 审题人：张小保 总分：150 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 2. 已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4. 直线与曲线相切于点,则( ) A. B. C. D. 5. 已知为等差数列，根据下列条件不能求出的是（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（ ） A. 为递增数列 B. 为递增数列 C. 中最小项的值为1 D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得3分，有选错的得0分）. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若，则 D. 曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，则三点、、共线 C. 若，则 D. 若是等比数列，则、、一定成等比数列 11. （多选）将个数排成n行n列的一个数阵，如图： 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为S，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则________． 13. 已知函数，若，则实数的取值范围是________． 14. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是:对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.设，数列的前项积为.若对任意的恒成立，则整数的最小值为_____________. 四、解答题（共5小题，共77分．其中第15题满分13分，第16、17题满分15分．第18、19题满分17分）． 15. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和； 16. （1）已知，求及； （2）求过点与曲线相切的切线方程． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在上恒单调递减，求实数的取值范围． 18. 已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新余四中2024-2025学年度高二下学期第一段考试 数学试卷 命题人：张明明 审题人：张小保 总分：150 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 2. 已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调性及单调性，进而确定其图象. 【详解】由函数的图象，得当或时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确. 故选：D 3. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，进而求得. 【详解】在数列中，， 则， 因此数列是周期数列且周期为3，由，得， 所以. 故选：D 4. 直线与曲线相切于点,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线与曲线相切于点,可得求得的导数,可得,即可求得答案. 【详解】直线与曲线相切于点 将代入可得: 解得: 由,解得:. 可得, 根据在上 ,解得: 故 故选:A. 【点睛】本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 5. 已知为等差数列，根据下列条件不能求出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式判断各项等式是否能求出，即可得答案. 【详解】若等差数列的公差为， A：，能求出，不符； B：，不能求出，符合. C：，能求出，不符； D：，能求出，不符； 故选：B 6. 等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（ ） A. 为递增数列 B. 为递增数列 C. 中最小项的值为1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故. 【详解】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：C． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，得到最大，再变形，利用的单调性比较的大小即可. 【详解】因为，设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减. 所以在时取到最大值， 所以，即. 因为， ， 又因为，所以， 因为在上单调递增， 所以，即，所以. 故选：A 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求出，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，适合上式，所以， ， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 所以， 综上，， 又因为不等式恒成立，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，进而求得的最大值，进而求得实数的最小值. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得3分，有选错的得0分）. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若，则 D. 曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数公式求导可判断ABC选项，根据导数和倾斜角的关系和正切函数图象判断D选项. 【详解】A选项，是个常数，故，A错误； B选项，，令，解得，B正确； C选项，是常数，所以，令得，解得，C正确； D选项，，即，又因为，所以，D错误. 故选：BC. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，则三点、、共线 C. 若，则 D. 若是等比数列，则、、一定成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】计算判断A；结合等差数列前项和公式，借助斜率判断B；利用诱导公式，结合倒序相加法计算判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由，得， ，数列不是等差数列，A错误； 对于B，令为等差数列的公差为，则，， ，，，，所给三点共线，B正确； 对于C，由，得， ，因此，C正确； 对于D，令，是等比数列，而， 数列不是等比数列，D错误. 故选：BC 11. （多选）将个数排成n行n列的一个数阵，如图： 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为S，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列等比数列的通项公式计算判断AB,分别按行、列由等差等比数列计算可判断C,采用分组求和的方法计算可判断D. 【详解】由，，得， 所以或（舍去），故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理得到，再根据等比中项求得的值. 【详解】因为，是方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得， 因为是的等差中项，所以，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以单调递增，再根据，解出的范围. 【详解】定义域，，所以在上单调递增， 又因为，所以，解得，即的取值范围是. 故答案为：. 14. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是:对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.设，数列的前项积为.若对任意的恒成立，则整数的最小值为_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线方程，可得出，结合可求出的值，推导出，可求得，进而可求得整数的最小值. 【详解】由，则，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知点在直线上，所以，， ，则， ， ， 因为函数的零点近似值为r，且函数在上为增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 由题意可知，，故整数的最小值为2. 故答案为: 2 【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于利用导数求出切线方程，得出数列的递推公式，利用数列的递推公式求解. 四、解答题（共5小题，共77分．其中第15题满分13分，第16、17题满分15分．第18、19题满分17分）． 15. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为，公比为，得，，解出后即可得到数列的通项公式； （2），利用乘公比错位相减法求和. 【小问1详解】 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为， 由，，，，可得，， 解得：（负值舍去）， 则，； 【小问2详解】 ，所以数列的前项和， ， 两式相减可得， 即. 16. （1）已知，求及； （2）求过点与曲线相切的切线方程． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算法则及简单复合函数的求导法则计算可得； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义表示出切线方程，求出，即可得到切线方程. 【详解】（1）∵， ∴． ∴； （2）设切线的斜率为，直线与曲线相切的切点坐标为， 则切线方程为， 因为，所以， 又点在切线上，所以， 解得，则， 所以直线方程为，即． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在上恒单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的单调增区间是，单调减区间是和 （2） 【解析】 【分析】（1）定义域为，求导得，分别令和即可得到的单调增区间和单调减区间； （2）由在上恒单调递减得，根据二次函数性质得到最小值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， ， 由，可得， 由，可得或， 所以函数的单调增区间是，单调减区间是和； 【小问2详解】 由题知在上恒成立； 即在上恒成立， 令，易知当，取最小值， 所以， 所以实数的取值范围是． 18. 已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1） 已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）； （3） 已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义证得数列是等比数列； （2）利用累乘法求得数列的通项公式； （3）利用裂项求和法求得，利用反证法证得数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用. 当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公式，再反推原数列的通项公式.这里通过对两边同除以构造出等差数列，是数列通项求解的常用技巧. 对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假设. 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 【答案】（1），； （2），证明如下： 记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）证明如下： 由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 【解析】 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【小问1详解】 因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $