精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一学年下学期三月月考（数学试卷） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 3 （ ） A. B. C. D. 4. 为了得到图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 5. 在中，若，则一定（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 6. 已知，且，则下面正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象在区间上恰有2个最高点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（　　） A. 点P所满足的函数表达式为 B. 点P第一次到达最高点需用时5秒 C. P再次接触水面需用时10秒 D. 当点P运动2.5秒时，距水面高度为1.5米 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知角的终边过点，则________． 13. 某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成________（填弧度数）方向前进，速度为_____km/h 14. 在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，，，把分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①； ②； ③的定义域为； ④； ⑤. 四、解答题15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共73分） 15. （1）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 16. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求列表）； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数；若是偶函数，求的最小值. （3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 18. 已知函数 ． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象上的各点________；得到函数的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围． 在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半； ②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位． 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． （1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． （2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一学年下学期三月月考（数学试卷） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在找到与的角终边相同的角，然后写出与终边相同的角的集合即可. 【详解】,所以角与角的终边相同, 所以与角终边相同的角的集合是. 故选：C 2. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 , 故选：D 4. 为了得到图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数平移思想，来求解析式，结合三角函数诱导公式即可得出正确判断. 【详解】因为， 所以把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得 的图象，故B正确； 经检验，ACD错误. 故选：B. 5. 在中，若，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 6. 已知，且，则下面正确的为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知，则可依据其范围求，以及再利用两角和差公式计算. 【详解】对于A，因为，则，A错误； 对于B，因为， 所以，B错误； 对于C， ，故C错误. 对于D，，D正确. 故选：D. 7. 如图，这是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊点及特殊区间的函数值，结合排除法可确定选项. 【详解】B.对于函数，当时，，不合题意，B错误. C当时，，与图象不符，C错误. D.当时，，，，故，与图象不符，D错误. A.令，定义域为， ∵，∴为奇函数， ，与图象相符. 当时，，，故，与图象相符，A正确. 故选：A. 8. 函数的图象在区间上恰有2个最高点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得到，结合正弦函数性质构造不等式即可求解. 【详解】解：由于，所以， 由于图象在区间上恰有2个最高点， 则， 解得：. 所以的取值范围为； 故选：A 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据弧度制、一元二次不等式、全称量词命题的否定、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，化成弧度是，A选项正确. B选项，关于的不等式的解集为， ，所以B选项错误. C选项，命题“，”的否定是，， C选项正确. D选项，若一扇形的弧长为2，圆心角为即， 所以扇形的半径为， 所以扇形面积为，D选项错误. 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于：由函数的图象，可得，且， 所以，又，所以，所以， 又由， 则，，可得，， 因为，可得，所以，故正确； 对于：因为， 所以点是函数的图象的对称中心，故正确； 对于：当，则，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故错误； 对于：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到为偶函数，故正确. 故选：ABD. 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（　　） A. 点P所满足的函数表达式为 B. 点P第一次到达最高点需用时5秒 C. P再次接触水面需用时10秒 D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知角的终边过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边过点，故， 原式， 故答案为：. 13. 某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成________（填弧度数）方向前进，速度为_____km/h 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】利用向量加法法则即可求得此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8km/h. 【详解】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成. 故答案为： ；8. 14. 在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，，，把分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①； ②； ③的定义域为； ④； ⑤. 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】由题设新定义知：，，，由、、、以及正切二倍角公式，即可判断各项的正误. 【详解】 ①，故错误； ②，故正确； ③，即，有，故错误； ④，故正确； ⑤，所以，故正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】关键点点睛：新定义有，，，结合三角恒等变换判断各项的正误. 四、解答题15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共73分） 15. （1）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）3（2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义以及诱导公式化简求值即可； （2）由题意结合两角差的余弦公式以及平方关系、角的范围即可求解. 【详解】（1）因为为终边上一点，则， ； （2）由，，可得， 又，，则， ， 所以. 16. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求列表）； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数；若是偶函数，求的最小值. （3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 【答案】（1），作图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得； （2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值； （3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为，由题意，， 且，解得，则，即有， 将点代入，化简可得，则， 即，因，故得，即. 取函数在一个周期上的五点列表如下： 0 2 0 0 在直角坐标系中作图如下： 【小问2详解】 依题意是偶函数， 故，解得，即， 因，则得，则时，取得最小值为 . 【小问3详解】 由（2）分析可得，因，则， 结合余弦函数的性质可得，故得， 因对任意的，恒有成立，故得， 解得或，即的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间； （2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值. 【详解】（1）， 所以，函数的最小正周期为. 由，可得， 函数的对称中心为； 解不等式，解得. 因此，函数的单调递减区间为； （2）当时，， 当时，即当时，函数取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18. 已知函数 ． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象上的各点________；得到函数的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围． 在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半； ②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位． 【答案】（1）；（2）若选①，；若选②，． 【解析】 【分析】（1）用正弦余弦的半角公式整理可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的，由的值域可得范围； 选②先周期变换后平移变换得对应的，同样由值域得的范围. 【详解】（1），最小正周期为； （2）选①时，， 由，得，故，，有解，故． 选②时， 由，得，故， 有解，故． 【点睛】本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题. 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． （1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． （2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 【答案】（1）， （2）5分钟或25分钟 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得. 【小问1详解】 设 由题意知：， ，故， 可取， 故解析式为：，. 【小问2详解】 令，则，即． 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $