2025年中考数学一轮复习第12讲 二次函数的图象与性质

第12讲 二次函数的图象与性质 一、选择题： 1.若点都在二次函数的图象上，则(    ) A. B. C. D. 2.抛物线的对称轴是(    ) A. B. C. D. 3.抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方以下结论正确的是(    ) A. B. C. D. 4.二次函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 5.关于的二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 6.已知二次函数是自变量的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是(    ) A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是 8.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：；；；若，则，其中正确结论的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10.已知，是某函数图象上的两点，当时，该函数的解析式可能是(    ) A. B. C. D. 11.已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有(    ) ； 抛物线的顶点坐标为； ； 若，则． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12.已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；多项式可因式分解为；当时，关于的方程无实数根其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 13.如下表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解精确到为(    ) A. B. C. D. 14.如图，抛物线与轴交于点，，其中下列四个结论：；；；不等式的解集为其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 15.如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是则下列结论：；方程一定有一个根在和之间；方程一定有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题： 16.若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是          ． 17.对于二次函数是常数，下列结论：将这个函数的图象向下平移个单位长度后得到的图象经过原点；当时，这个函数的图象在函数图象的上方；若，则当时，函数值随自变量增大而增大；这个函数的最小值不大于其中正确的是          填写序号． 18.直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则           ． 19.二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为          ． 20.已知二次函数的与的部分对应值如表： 下列结论： ； 关于的一元二次方程有两个相等的实数根； 当时，的取值范围为； 若点，均在二次函数图象上，则； 满足的的取值范围是或． 其中正确结论的序号为______． 21.抛物线是常数，经过，两点，且下列四个结论： ； 若，则； 若，则关于的一元二次方程无实数解； 点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是______填写序号． 三、解答题： 22.已知抛物线的对称轴是直线设是抛物线与轴交点的横坐标，记． 求的值； 比较与的大小． 23.已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，且． 若抛物线与轴交点的坐标分别为，，且，试判断下列每组数据的大小填写、或： ______； ______； ______． 若，，求的取值范围； 当时，最大值与最小值的差为，求的值． 24.已知抛物线，为实数． 如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． 如果当时，的最大值为，求的值． 点，点，如果该抛物线与线不含端点恰有一个交点，求的取值范围． 25.已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线． 求二次函数的表达式； 若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 26.已知关于的函数是二次函数． 求的值并写出函数解析式； 用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 27.在平面直角坐标系中，已知抛物线． 当时，求抛物线的顶点坐标； 已知和是抛物线上的两点若对于，，都有，求的取值范围． 28.在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数， 若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； 如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、，连接求证：平分； 当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点若的最大值为，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是轴直线，图象的开口向上，在对称轴的右侧，随的增大而增大，再比较即可． 【详解】解二次函数的对称轴为轴，开口向上， 当时，随的增大而增大， 点都在二次函数的图象上，且， ， 故选． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决． 【解答】 解：抛物线的对称轴是直线， 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由题意，抛物线与轴的交点位于轴上方， 令，，故B错误． 又抛物线的顶点为， 可设抛物线为． ． ，． ， ，即，故A错误． 顶点为， 当时，，故C正确． ，， ，故D错误． 故选：． 依据题意，由抛物线与轴的交点位于轴上方，可令，，故可判断；又抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，即，故，，结合， 故可判断、；由顶点为，从而当时，，故可判断． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4.【答案】  【解析】解：由题意，， 当时，取最小值为． 故选：． 依据题意，由，从而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 5.【答案】  【解析】解：当时，，因为，所以， 函数图象与轴的交点应在轴的上边，故选项D错误； ， 函数图象的对称轴为，因为，所以选项A错误； 当时，函数值为，因此选项B错误，选项C正确． 故选：． 当时，，因为，所以，函数图象与轴的交点应在轴的上边，选项D错误；，函数图象的对称轴为，对应的函数值为，因此选项A、B错误，选项C正确． 本题主要考查了二次函数的图象，关键在于掌握二次函数图象的特征． 6.【答案】  【解析】解：图象经过第一、二、四象限， 且，， 解得， 的取值范围为． 故选：． 由的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 本题主要考查二次函数的性质，进一步能确定的取值范围是解题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、、，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解二次函数的顶点坐标为， 二次函数图象的对称轴是直线，故选项 A错误； 二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是，故选项B错误； 抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ， 当时，， 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是，故选项D正确， 故选D． 8.【答案】  【解析】【分析】 根据对称轴位置及图象开口向上可判断出、、的符号，从而判断； 利用对称轴，可判断； 利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断的正误； 由根的性质即可判断． 【解答】 解：函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， 抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故错误； 二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故正确； 对称轴为直线，， 是最小值， ，故正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； 综上所述，正确的有， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：函数图像开口向上，与轴交于坐正半轴，与轴没有交点 ，，， 对称轴为， ， ， 在轴正半轴上， 当时，， 则在第二象限， 过点和点的直线一定不经过第三象限． 故选：． 根据二次函数图象结合已知条件判断各式即可． 本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：时，， 函数随的增大而增大， A.中，随的增大而减小，故本选项不符合题意； B.中，在第一象限随的增大而减小，故本选项不符合题意； C.中，其图象开口向上，对称轴为：直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大，故本选项符合题意； D.中，其图象开口向下，对称轴为：直线，在对称轴的右侧，随的增大而减小，故本选项不符合题意． 故选：． 由已知条件可得到，当时，函数随的增大而增大，据此分析个选项即可作出选择． 本题考查正比例函数，反比例函数，二次函数的性质，掌握相关函数的增减性是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意，有两实根，， ． 得，． ，故正确． ． 抛物线的对称轴是直线． 抛物线的顶点为． 又，， ，即． 顶点坐标为，故正确． ， ． 又，， ． ，故错误． ， ． 对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ． ． ，故错误． 综上，正确的有共个． 故选：． 依据题意，由有两实根，，可得，从而可得，即，故可判断；又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为，再结合，，可得，故可判断；依据题意可得，又，，进而可得，从而可以判断；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 12.【答案】  【解析】解：由图像可知：，，， ，故正确， 时，， ， ，故正确， 函数图象经过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 多项式可因式分解为，故错误， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 观察图象可知当时，关于的方程无实数根，故正确． 故选：． 根据图像信息一一判断即可． 本题考查二次函数图像与系数关系，解一元二次方程因式分解法，根的判别式，二次函数图像上的点坐标特征，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由更接近于即可得出结论． 【解答】 解：当时，；当时，． 更接近于， 方程的一个近似根为． 故选B． 14.【答案】  【解析】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴， ，，， ， 正确； 当时，， ， 错误； 抛物线过点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 正确； 如图： 设，， 由图知，时，， 故正确； 综上，正确的结论有：，共三个， 故选：． 利用二次函数的图象和性质依次判断即可． 本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故正确； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间， 与轴的另一个交点在，之间， 方程一定有一个根在和之间，故错误； 抛物线与直线有两个交点， 方程一定有两个不相等的实数根，故正确； 抛物线与轴的另一个交点在，之间， ， 图象与轴交点的纵坐标是， ， ， 故错误． 综上，正确的结论有，共个． 故选：． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 利用根的判别式列不等式求解即可． 【解答】 解：抛物线与轴没有交点， ， 即， 解得， 的取值范围是． 故答案为． 17.【答案】  【解析】解：将二次函数是常数的图象向下平移个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故正确； 二次函数是常数， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故错误； ， 顶点为， ， 故正确． 故答案为：． 根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断；利用函数的性质即可判断；求得顶点坐标即可判断． 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 18.【答案】或  【解析】根据直线解析式可得都经过点，分别讨论直线与轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解． 【详解】解：由，可得直线与抛物线交于点， 直线与轴重合满足题意，则直线与轴交点为，如图， ， 为等腰直角三角形， ， 点坐标为， 将代入得， 解得． 设直线解析式为， 令，  ， 当时满足题意． ， 把代入得， 直线与轴交点坐标为，即， 作交直线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， 又， ， ， ， 点坐标为． 将代入得， 解得． 故答案为：或． 19.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把、、的坐标代入，求出、、，然后把的坐标代入可得出、的关系，即可求解． 【解答】 解：把，，代入， 得， 解得 ， 把代入， 得， ， ， 故答案为：． 20.【答案】  【解析】解：把，，代入得： ， 解得 ，故正确； ，，， ， 当时，， ， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为， 又， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数取最大值， 与时函数值相等，等于， 当时，的取值范围为，故错误； ， 点，关于对称轴对称， ，故正确； 由得，即，画函数和图象如下： 由， 解得， ，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 利用待定系数法求出、、的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 21.【答案】  【解析】解：是常数，经过，两点，且， 对称轴为直线， ， ， ， ，故错误； ， ，即，两点之间的距离大于， 又， 时，， 若，则，故正确； 由可得， ，即， 当时，抛物线解析式为， 设顶点线坐标为， 抛物线是常数，经过， ， ， ， ，，对称轴为直线， 当时，取得最大值为，而， 关于的一元二次方程无解，故正确； ，抛物线开口向下，点，在抛物线上，，，总有， 又， 点离较远， 对称轴， 解得：，故正确； 故答案为：． 通过对称轴可判断；，两点之间的距离大于，所以若，则，判断正确；根据抛物线的最大值判断；根据点和点离对称轴的距离判断． 本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌握二次函数性质是解题的关键． 22.【答案】解：抛物线的对称轴是直线． ． 解得； 由知：， 抛物线， 当时，， 解得， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 方法一：直接计算化简， 当时，， ， 即； 当时，， ； 由上可得，当时，；当时，． 方法二：是抛物线与轴交点的横坐标， ， ， ， ， 由，可得， 当时，， 此时； 当时，， 此时．  【解析】根据抛物线的对称轴是直线，可知然后即可求得的值； 方法一：将中的值代入抛物线，求出抛物线与轴交点的横坐标，然后分类讨论与的大小即可．方法二：根据是抛物线与轴交点的横坐标，可以得到，然后即可得到，然后先化简，再计算，最后计算与的大小． 本题考查抛物线与轴的交点、实数的大小，解答本题的关键是明确题意，求出和的值． 23.【答案】      【解析】解：与轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与轴交点的坐标分别为，，且， 即向上平移个单位， ，且， ； ，即； ，即， 故答案为：；；； ，， ， ； 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当在取得最大值，在取得最小值时，有， 解得； 当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有， 解得舍去或； 当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有， 解得舍去或， 综上所述，的值为或或． 根据根与系数的关系得到，以及，即可判断，利用二次函数的图象与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断； 根据题意得到，结合进行求解，即可解题； 根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为直线；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况：当在取得最大值，在取得最小值时，当在取得最大值，在顶点取得最小值时，当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，解题的关键在于熟练掌握二次函数图象与性质． 24.【答案】解：抛物线经过点， ， 解得， ， ， 此抛物线的顶点坐标为； ； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，的最大值为， 当时，， ， 整理得：， 或， 故的值为或； 抛物线与线段恰有一个交点， 或． 或．  【解析】依据题意，利用待定系数法求得的值，即可求得解析式，然后把解析式核查顶点式，即可求得顶点坐标； 依据题意，求得抛物线的对称轴为直线，根据题意当时，，代入解析式求解即可； 依据题意，抛物线与线段恰有一个交点，从而或，进而计算可以得解． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标轴的交点以及顶点坐标． 25.【答案】【小题】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得，   【小题】 解：点平移后的点的坐标为， 则，解得或舍， 的值为  【小题】 解：当时， 最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， 最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，的取值范围为．   【解析】  本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， 采用待定系数法即可求解二次函数关系式；   先求出平移后点的坐标，然后把坐标代入解析式即可；   分为，时，时，建立方程解题即可． 26.【答案】解：根据题意得且， 解得， 所以抛物线解析式为； ， ， 该二次函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线．  【解析】根据二次函数的定义得到且，然后解关于的方程可得到满足条件的的值，从而得到抛物线解析式； 利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 27.【答案】解：把代入 ，得， 抛物线的顶点坐标为 ． 分两种情况： 当时，如图，此时， ， 又， ； 当时，如图，此时， 解得， 又， ； 综上，当或，都有．   【解析】把代入，转化成顶点式即可求解； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 28.【答案】【小题】 解：分别将，代入， 得 解得． 函数表达式为； 【小题】 解：连接，    ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． 【小题】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方如图．      设， 故， 其对称轴为，且． 当时，即． 由图可知：    当时，取得最大值． 解得或舍去． 当时，得， 由图可知：    当时，取得最大值． 解得舍去． 综上所述，的值为．   【解析】  利用待定系数法求解即可；   连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论；   设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$